八下第九章《中心对称图形——平行四边形》尖子生提优训练(一)(有答案)

1、八下第九章中心对称图形一一平行四边形 尖子生提优训练（一）班级：姓名：得分：、选择题1.在边长为5的正方形ABCD中，以A为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形的个数为（）2.A. 3B. 4C. 5如图，正方形ABCD的边长为定值，E是边CD上的动点（不 与点C, D重合），AE交对角线BD于点F, ?= ? BC 于点G, ?! ?点？?现给出下列命题： ？?= ?？?的长度为定值.则（）A.是真命题，是真命题B.是真命题，是假命题C.是假命题，是真命题3.D.是假命题，是假命题如图，E, F, M分别是正方形 ABCD三边的中点，CE与D

2、F交 于N,连接AM ,AN, ?的于下列四个结论：？的？?/?？?，?？?=?？的?/?？=?/?中正确的是A.B.4.C.D.如图，已知菱形 OABC的两个顶点的?（0,0）,?（2,2）,若将菱形绕点O以每秒45°的第22页，共21页速度逆时针旋转，则第 2018秒时，菱形两对角线交 点D的纵坐标为（）A. v2B.-五C. 1D. -15.如图所示，点P是正方形ABCD的边BC延长线上任意一点,?|?？的百p 且 1 /、1)1L*.?=?？若?= 2 ,则 ?面积为A. 2V2D. 3V26 .如果要证明平行四边形 ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形

3、的基础上，进一步证明()A. ? ?L?B. ? ? ?C. / ? / ? ?D. AC 和 BD 互相垂直平分7 .如图，已知？AOBC的顶点？(0,0), ?(-1,3),点B在x轴的正半轴上，按以下步骤 作图：以点。为圆心、适当长度为半径作弧，分别交 OA、OB于点D, E；分1别以点D, E为圆心、大于2?长为半径作弧，两弧在 /?受于点F；作射线OF ,交边AC于点？?则点G的坐标为()D.（司-3,3）10.如图,?（0°将正方形 ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形 ？?？旋转角为< ?< 180 ),连接？?？ ?D,若？?？= ?则 / ?.A. (

4、 v10,3)B. (v10- 1,3) C. (4 - V10, 3)8 .如图，将两张长为 9,宽为3的矩形纸条交叉，使重叠部分是 一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的面积有最小值9,那么菱形面积的最大值是()A. 27B. 13.5C. 20D. 15二、填空题9 .如图，菱形ABCD的面积为120?,正方形AECF的面积为50?,则菱形的边 长为 cm.12 .在正方形 ABCD中，E在BC上，？?= 2, ?= 1 , P是BD上的动点，贝"? ? 最小值是.13 .如图，?/? 90°, ?= ? ?在 ?出一个正方形 ？， 使点？，？分别在AC, BC边

5、上，边?在AB边上；在?再截出第二个正 方形？，使点？?？分别在？?？ ？?边上，边？?在？?|初上；，依此 方法作下去，则第 n个正方形的边长为 .r修G &国5 814.如图，将两张长为 8,宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是 个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值 那么菱形周长的最大值是 .15.动手操作：在矩形纸片 ABCD中，？?= 3, ?= 5.如图所示,折叠纸片，使点 A落在BC边上的点？?处，折痕为？?苦点？?在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点 P、Q分别在AB、AD边上移动，则点？滁BC边上可移动的最大距离为16.如图，已知：矩形

6、ABCD中，AC, BD相交于点O,AE 平分 / ?若 / ?15 °,则 / ?度数为17.如图，在一张长为8?宽为6 ?矩形纸片上，现要剪下一个腰长为5?等三、解答题18 .如图 1,在那BC 中，AB=BC= 5, AC= 6.延长 BC 到 D,使得？? ?以 AC、CD为邻边作平行四边形 ACDE,连接BE交AC于点O.(1)求证：四边形ABCE为菱形;(2)如图2,点P是线段BC上一动点(不与点B、C重合)，设？? ?处接PO并延 长，延长线交线段 AE于点？.四边形PQED的面积是否随点若不变，求出四边形 PQED的面积;P的运动而发生变化？若变化，请说明理由;当x为

7、何值时，APOC为等腰三角形?19 .如图，在矩形 ABCD 中，?= 4? ?= 8?点 P 从点D出发向点A运动，运动到点 A即停止；同时点 Q从点B出发向点C运动，运动到点 C即停止.点P、 Q的速度的速度都是1?/?连结PQ, AQ, CP,设点 P、Q运动的时间为？?(?)(1)当t为何值时，四边形 ABQP是矩形？(2)当t为何值时，四边形 AQCP是菱形？(3)分别求出(2)中菱形AQCP的周长和面积.20 .在边长为8的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿着折线？?一？?一？勺路线向终 点C运动，连接DM交AC于点N,连接？?已点M运动所经过的路程为 x。(1)如 图1 ,若/

8、 ?60° ,当点 M在AB边上运动时.求证：?刍？?若?面积为?(? 0),求S与X的函数关系式，并直接写出自变量 值范围；若Q是AD中点，P为AC上一动点，求？?+ ?最小值。(2)如图2,若/ ?90°,在整个运动过程中，求使得 Cp-一产?等腰三角形时x的值.、x的取21 .如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与 点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点 Q.求证：工；(2)过点 E 作？?/? PB 于点 F,连接 AF,当？= ?,求证：?/?请判断四边形 AFEP是否为菱形，并说明理由.22 .如图 1,在口?顶点

9、B 是它们的公共顶点，/?/ ?60 °,?= ?= 4, ?= ?= 2 V3 + 2.【特例感悟（1）当顶点F与顶点D重合时（如图1） , AD与BG相交于点M, BC与 ED相交于点N,求证：四边形 BMDN是菱形；【探索论证】（2）如图2,当/?30。时，四边形GCFD是什么特殊四边形？试 证明你的结论；【拓展应用】（3）试探究：当/?于多少度时，以点 C, G, D, F为顶点的四边 形是矩形？请给予证明.答案和解析1. C所以大小不同的等腰三角形的个数5个.2. A证明：连接CF,在正方形 ABCD 中，？? ?,?/?=?/?45° , 在? ?,?= ? /

10、 ?/ ?45 °, ?= ?. “？睾?？（？?）.?= ? / ?/ ?.?L ? ?180 °,.在四边形 ABGF 中，/?/ ?360 ° - 90 - 90 ° =又. /?/?180° ,/ ?/ ?/ ?/ ?.?= ? ?.?= ? ?(2)连接AC交BD于O.四边形ABCD是正方形，？?！ ? .?/ ?90 o,?/ ?90 °, / ?/ ?90. / ?/ ?. ?= ?“？誓?？?.? ?定值, 故正确.3. A.四边形ABCD是正方形,.? ?= ?= ? / ?/ ?/ ?/ ?90 °, .

11、? ?= ?= ?在? ?赳,?= ? / ?/ ?= ?.? ?/ ?/ ?. / ?+?也？/ ?也?90 o,.?L?故 正确. ?= ? ?/?四边形AECM为平行四边形，.?/?故 正确.若 / ?=? / ?U / ?=? / ? 2 / ?. ./?30 °, /?60这个显然不可能，故 错误.如图，.?L ? ?，？?L ?.?= ?.?= ?.?= ?，？?是线段AN的垂直平分线, .? ?.?= ?敢 正确.综上所述正确.4. C解：菱形 OABC的顶点？?(0,0), ?(2,2),得D点坐标为(1,1).每秒旋转45° ,则第60秒时，得45

12、76; X 2018 +360 = 252.25 周，OD旋转了 252周外力口 0.25周，即由当前位置再逆时针旋转90度,菱形的对角线交点 D的坐标为(-1,1),5. B解：由图可知,? ? ?输形? ? ? ? ?设？= ?妾? 1 X22 + 2 x?x (?+ 2) - 1 x?x (?+ 2) = 2,6. B解：A、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能判断平行四边形ABCD是正方形；B、根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以 能判断四边形ABCD是正方形；C、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线

13、相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形ABCD是矩形，不能判断四边形 ABCD是正方形；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所 以不能判断四边形 ABCD是正方形.7. B解：.?AOBC 的顶点？?(0,0), ?(-1,3), . .? 1 , ? 3,. .?, ?= vlO, 由题可得，OF平分/ ?/ ?/ ?又. ?/?/ ?/ ?/ ?/ ?.? ?= vO',.?= /O- 1 , .,.?(4O- 1,3),解：如图,此时菱形ABCD的面积最大.设?= ? ?= 9 ? ?= 3七/一)则由勾股定理得到：,+(9-?) 2=?

14、, 解得？?= 5,8. D?!大=5X3=15；9. 13【解析】【分析】本题主要考查正方形、菱形的知识，解答本题的关键是知道正方形、菱形面积的计算方 2X120.一 法，先求出？= v2 X50 = 10? ?= zo= 24?然后再求菱形的边长.【解答】解：因为正方形 AECF的面积为50?,所以?= v2 X50 = 10?因为菱形 ABCD的面积为120?,所以？ =0 = 24? 10所以菱形的边长=，唠2 + (24)2= 13?10. 60解：作？?！？，乎?H,交？?否G,如图,.正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转到正方形? ' ?漩转角为?. ?='? /

15、 ?. ? ' =? ' , ?. ?' =? ', ?.四边形？?？期E型形:.? ?',?在？?？冲，？ 1 ?=？?22，?30 o,?60 o, 即？?= 60°.11. 4解：由作法得 MN垂直平分AC, 连接 AE,则?= ?= 5,在?, ?= v?- ?= V52 - 32 = 4.12. v13解：如图，连接 AE,交BD于？?；此时？ +?' =? ?尚值最小,四边形ABCD是正方形，A、C关于BD对称，.? ' =?.? ' +? ' =? ' +? ' =?.? 2, ?=

16、 1 ,.? ?= 2+1 = 3,.?=，？? ?="堂 + 22 = V13,.?+ ?尚最小值是,13. (>?3解：设正方形？?？的边长为X,”?1?和 ?都是等腰直角三角形,.?= £? ?= V2?.£?+ V2?= ?解得？?=三?3即第1个正方形的边长为 U?设正方形？的边长为V,”？和？?？?都是等腰直角三角形，v2不，？ = ？ ？2 = v2？.（？+ v2？= 2？解得？=（京2？即第2个正方形的边长为（32？同理可得第3个正方形的边长为（）3？ "CC.第n个正万形的边长为（彳/？.314. 17解：当两张纸条如图所示放置

17、时，菱形周长最大，设这时 菱形的边长为X,在？,由勾股定理：？ = （8 - ？2 + 22,17解得：？= I4-4？= 17,即菱形的最大周长为17.15. 2解：当折痕PQ的Q点与点D重合时，？点到点B距离最近，如图1 ,由对折可得？ =？= 5,.矩形 ABCD,.?= ? 5, ?= ?= 3, / ? 90°,4,在？?？ ?正？由勾股定理得？，?V? 2?=，52 - 32 = . .?' =? ? ' =?5 - 4=1,当折痕PQ的P点与点B重合时，？?点到点B距离最远，如图2, 由对折可得？ ?= 3,.,点？?在BC边上可移动的最大距离 =3-

18、1 = 2.16. 75解：在矩形 ABCD 中，？?？分/? .?/ ?45 °,又知 7?15° ,?=>?60 o, .? ? ."?为等边三角形， .?= ? ?/ ?45 °, /?90 °, .”?为等腰直角三角形，.?= ? ?.? ? / ?30 °, / ?=>?/ ?此时 / ?=?75° .25 ，17 .万或5v6或10解：分三种情况计算：(1)当？? ?= 5 厘米时,.?=? 1?= 2x5X5= £厘米亨;(2)当？? ?= 5厘米时，如图?= V? ?=- 12 = 2

19、V6厘米，？?=) 1 ?= 1x5 X2v6 = 5v6厘米5;(3)当？= ?= 5厘米时，如图4厘米,1.1，？?万 2?= 2X5X4= 10 厘米季；18 .解：(1)四边形ABCE是菱形，证明如下：.平行四边形 ACDE 中，?/?且？=? . .?？且？= ?四边形ABCE是平行四边形，又？?？= ? .四边形ABCE是菱形.(2)四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：由菱形的对称性知，4?.? ? ?彷?."?由 ?得至U得，.,.?/?= ?= 6,又. ？!_? .?!_ ?.?四边形？=?彷?+? ?四边形？?彷?+? ?四边形？?彷?112 X ?<

20、 ?= 2X8X6= 24. 当？= ?的，？?= 2,当？= ?= L.105当?= ? ?= 2 5 I ."1、 . 19.解：(1)当四边形 ABQP是矩形时，？?？ ？?？即：？ 8 - ? 解得？ 4.答：当？ 4时，四边形 ABQP是矩形； (2)设t秒后，四边形AQCP是菱形当？? ?,?即，42+ ?= 8- ?时，四边形AQCP为菱形.解得：？ 3.答：当？ 3时，四边形 AQCP是菱形；(3)当？?= 3时，?= 5,则周长为：4?= 20?面积为：4X8 - 2X2X3X4 = 20(?).20.解：(1)如图:四边形ABCD是菱形， .? ? Zl= Z2,

21、 又. ?= ?.一?刍？? 如图：作？?L?垂足为 巳 . / ?60 °, ?= ?= 8,."?等边三角形， .?L ? ?.?= V82 - 42 = 4v3, . ?= ? ?= 8 - ?11h.?= 2? ? 2X4v3 X(8 - ?= -2 v3?+ 16会, 1. 0 < 8- ?< 8,.0 < ?< 8；连接BQ,作？?L?垂足为F, BQ交AC于P,连接DP,.? ?.?+ ? ?+ ?= ?则BQ的长度即为？? ?最小值, .?/? ?/ ?/ ?50.?!_ ?.?= 90°,?30 °,. ?= 1

22、?= 4?,? V?2? ?= 4V5,?在AD的中点，.? 4,.? 8,.?= V?- ?= 4v7;(2)?90 °,.菱形ABCD是正方形，?45 °如图：下面分三种情形：（I ）若？?= ?则/?？/? 45° , 此时，点M恰好与点B重合，得？?= 6；（n ）若？?= ?,?则 / ?/ ?45 °, 此时，点M恰好与点C重合，得？?= 12;（出）若？ ?= 6,贝U /1= Z2, .?/? ?.1.Zl= Z4,又 :/2 = Z3,，/3= Z4, .? ?.?= 6v2.?= ?= ? ?= 6V2- 6,贝U?= 12 - ?=

23、 12 - (6 v2- 6) = 18 - 6v2.综上所述：当？?=6或12或18 - 6高时，?等腰三角形.21 .解：(1)证明：.四边形ABCD是正方形, .?= / ?90 .?! CD的中点，.? ?,?!ADEP= 1CEQ DE = CE .(2)证明：,. ?= ? / ?/ ?.?/? ?/ ?/ ?/ ?= / ?/ SPDEXQCE ,.?= ?/? ?./ ?/ ?/?= / ?.?= ?.?=!?： 1? ?22.?= ?在 Rt? ?= ?= ?./ ?/ ?./ ?/ ?. ?/? ?四边形AFEP不是菱形.理由：.?/?/? ?/? ?四边形AFEP是平行四

24、边形.设?= ?则?= 1 - ?若四边形AFEP是菱形，则？? ?= ?,. ? 1 , E 是 CD 中点, .?在 Rt?由?+ ?= ?#(1 - ?2 +1 2(2)?,.一 一一 5解得？?=-.853. .? 1 -=88由题可得：？?？? ?= ?. .?等边三角形.?60 ,?30 .在 Rt?邳？ ?妾 1?=之记. 2168四边形AFEP不能是菱形.22 .解： 证明：,. ?/? ?/? 四边形BMDN是平行四边形，在? ?,/ ? / ?,/ ?=? / ?,? ?,."?学？?.?= ? 四边形BMDN是菱形.(2)当/ ?30°时，四边形 GCFD是正方形.证法一：如图，连接 OB交CG于K,在BK上取一点 M,使得？?= ?/ ?30?