中考复习专题二次函数经典分类讲解复习以及练习题-(-含答案).

1、1、二次函数的定义定义： y=ax 2 bx c（ a、 b、 c是常数，a 0）定义要点： a 0最高次数为2代数式一定是整式练习： 1、 y=-x 2， y=2x2-2/x ， y=100-5 x 2， y=3 x 2-2x 3+5, 其中是二次函数的有_个。m2m2. 当 m_时 , 函数y=(m+1) - 2 +1 是二次函数？2、二次函数的图像及性质y0抛物线顶点坐标xy=ax2+bx+c(a>0)b , 4acb22a4ay0xy=ax2+bx+c(a<0)2b , 4acbb直线 x直线 xb对称轴位置开口方向增减性最值2a由a,b和 c的符号确定a>0,开口向

2、上在对称轴的左侧,y随着 x的增大而减小.在对称轴的右侧, y随着 x的增大而增大.当xb时, y最小值为 4ac b22a4a2a由 a,b和 c的符号确定a<0,开口向下在对称轴的左侧 ,y随着 x的增大而增大 . 在对称轴的右侧 , y随着 x的增大而减小 .当xb 时, y最大值为 4ac b22a4a例 2：已知二次函数y1x232x2（ 1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。（ 2）设抛物线与 y 轴交于 C 点，与 x 轴交于 A、B 两点，求 C， A，B 的坐标。（ 3） x 为何值时， y 随的增大而减少， x 为何值时， y 有最大（小）值，这个最大（小）值是

3、多少？（ 4） x 为何值时， y<0？ x 为何值时， y>0？3、求抛物线解析式的三种方法1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解析式为_y=ax2+bx+c(a 0)2, 顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k ），通常设抛物线解析式为_ 求出表达式后化为一般形式 .y=a(x-h)2+k(a 0)3, 交点式 : 已知抛物线与 x轴的两个交点 (x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 _ 求出表达式后化为一般形式 .y=a(x-x1)(x-x2) (a0)练习：根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过 (0 ， 0)， (1，-2)， (2 ，3)三点；(2)、

4、图象的顶点 (2 ， 3) ，且经过点 (3 ， 1)；(3)、图象经过 (0 ， 0)， (12， 0)，且最高点的纵坐标是3 。例 1 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的最大值是 2，图象顶点在直线y=x+1 上，并且图象经过点（ 3， -6 ）。求 a、b、 c。解：二次函数的最大值是2抛物线的顶点纵坐标为2又抛物线的顶点在直线y=x+1 上当 y=2 时， x=1顶点坐标为（ 1， 2 ）设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2又图象经过点（3，-6 ） -6=a (3-1)2+2 a=-2二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2即： y=-2x2+4x4、 a， b， c 符

5、号的确定抛物线 y=ax2+bx+c 的符号问题：（ 1） a 的符号：由抛物线的开口方向确定（ 2） C 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定.（ 3） b 的符号：由对称轴的位置确定（ 4） b2-4ac 的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定（ 5）a+b+c 的符号：因为x=1 时 ,y=a+b+c, 所以 a+b+c 的符号由x=1 时，对应的y 值决定。当 x=1 时， y>0, 则 a+b+c>0 当 x=1 时， y<0，则 a+b+c<0 当 x=1 时， y=0，则 a+b+c=0(6)a-b+c的符号： 因为 x=-1 时,y=a-b+c,所以

6、a-b+c 的符号由x=-1 时，对应的 y 值决定。当 x=-1 ， y>0, 则 a-b+c>0 当 x=-1 ， y<0, 则 a-b+c<0 当 x=-1 ， y=0, 则 a-b+c=0练习、二次函数 0) 的图象如图所示，则A 、 a<0,b>0,c>0B、 a<0,b>0,c<0C 、 a<0,b<0,c>0D、 a<0,b<0,c<0a、b、 c的符号为（）2、二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象如图所示，则a、 b、 c 的符号为（）A 、 a>0,b>0,c

7、=0B、 a<0,b>0,c=0C 、 a<0,b<0,c<0D、 a>0,b<0,c=03、二次函数y=ax2+bx+c(a 0) 的图象如图所示，则a、 b、 c 、 的符号为（）A 、 a>0,b=0,c>0, >0 B 、a<0,b>0,c<0, =0C 、 a>0,b=0,c<0, >0 D 、a<0,b=0,c<0, <0熟练掌握 a， b， c ，与抛物线图象的关系 ( 上正、下负） ( 左同、右异 ) 4. 抛物线 y=ax2+bx+c(a 0) 的图象经过原点和

8、二、三、四象限，判断 a、 b、 c 的符号情况： a 0,b 0,c 0.5. 抛物线 y=ax2+bx+c(a 0) 的图象经过原点 , 且它的顶点在第三象限，则 a、 b、 c 满足的条件是： a0,b0,c0.6. 二次函数 y=ax2+bx+c 中，如果 a>0，b<0， c<0，那么这个二次函数图象的顶点必在第象限先根据题目的要求画出函数的草图，再根据图象以及性质确定结果（数形结合的思想）7. 已知二次函数的图像如图所示，下列结论。a+b+c=0 a-b+c 0 abc 0 b=2a其中正确的结论的个数是（）A1个B2个C3个D4个要点：寻求思路时，要着重观察抛物

9、线的开口方向，对称轴，顶点的位置，抛物线与 x 轴、 y 轴的交点的位置，注意运用数形结合的思想。5、抛物线的平移左加右减，上加下减练习二次函数 y=2x2 的图象向平移个单位可得到 y=2x2-3的图象；二次函数 y=2x2 的图象向平移个单位可得到y=2(x-3)2的图象。二次函数 y=2x2 的图象先向平移个单位，再向平移个单位可得到函数y=2(x+1)2+2 的图象。引申： y=2(x+3)2-4y=2(x+1)2+2（ 3）由二次函数y=x2 的图象经过如何平移可以得到函数y=x2-5x+6的图象 .y=x2-5x+6 (x5) 21245 )21y=x 2y ( x246 二次函数

10、与一元二次方程的关系一元二次方程根的情况与 b2-4ac的关系我们知道 : 代数式 b2-4ac对于方程的根起着关键的作用 .bb24ac .当b24ac0时, 方程 ax2bxc0 a0 有两个不相等的实数根x1,22a当b2ac时 方程 ax2bxca有两个相等的实数根b40 ,00:x1, 2.2a当b24ac 0时, 方程 ax 2 bxc0 a0 没有实数根二次函数 y=ax 2 bx c 的图象和 x 轴交点的横坐标，便是对应的一元二次方程ax2 bx c=0 的解。二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和 x 轴交点有三种情况 :(1) 有两个交点 b2 4ac > 0(2

11、) 有一个交点 b2 4ac= 0(3) 没有交点 b2 4ac< 0若抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有交点 , 则 b2 4ac 0例 (1)如果关于 x 的一元二次方程x2-2x+m=0 有两个相等的实数根, 则 m= , 此时抛物线 y=x2-2x+m与 x 轴有个交点.(2) 已知抛物线 y=x2 8x +c 的顶点在 x 轴上 , 则 c= .(3) 一元二次方程3 x2+x-10=0的两个根是x1= -2 ,x2=5/3,那么二次函数y= 3 x2+x-10与 x 轴的交点坐标是 .判别式：二次函数图象一 元 二次方程b2-4acy=ax2+bx+cax2+bx+c

12、=0（ a 0）（ a 0）的根b2-4ac 0与 x 轴有两个不有两个不同的解同的交点yx=x1， x=x2（ x1， 0）（ x2， 0）b2-4ac=0与 x 轴有唯一个x有两个相等的解交点b ,0)yx1=x2=(b2aO x2ab2-4ac 0与 x 轴没有交点没有实数根yO x7 二次函数的综合运用1. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同 , 顶点在直线 x=1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5, 请写出满足此条件的抛物线的解析式 .解 : 抛物线 y=ax2+bx+c 与抛物线 y=-x2-3x+7 的形状相同 a=1 或 -1又 顶

13、点在直线 x=1 上 , 且顶点到 x 轴的距离为 5,顶点为 (1,5) 或(1,-5)所以其解析式为:(1) y=(x-1)2+5(2) y=(x-1)2-5(3) y=-(x-1)2+5(4) y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.2. 若 a+b+c=0,a0, 把抛物线 y=ax2+bx+c 向下平移 4 个单位 , 再向左平移5 个单位所到的新抛物线的顶点是(-2,0),求原抛物线的解析式.分析 :(1) 由 a+b+c=0 可知 , 原抛物线的图象经过 (1,0)(2) 新抛物线向右平移 5 个单位 ,再向上平移 4 个单位即得原抛物线练习题1直线 y3 x 1 与 yx k

14、的交点在第四象限，则k 的范围是 （A ）k 1（ B） 1 k 1（C） k1（D ） k 1 或 k1331kx）y3x1，解得21 k1【提示】由xk1 3k因点在第四象限，故0，y2y.21 k133k2 0【答案】 B【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等2二次函数yax2bxc 的图象如图，则下列各式中成立的个数是 （）b（1）abc0；（ 2） ab c 0；（3）a cb；（4） a2（A ）1（ B）2（ C）3（ D）4【提示】由图象知a 0，b 0，故 b 0，而 c 0，则 abc0当 x 1 时， y 0，即 ac

15、b0；当 x 1 时， y0，2a即 ac b0【答案】 B【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系因a 0，把（ 4）a b 两边同除以a，得 1 b，即 b22a2a 1，所以（ 4）是正确的；也可以根据对称轴在x1 的左侧，判断出ba，得 ab 1，两边同时乘，知（ 4）是正确的2a23 若 一 元 二 次 方 程x2 2 x m 0 无 实 数 根 ， 则 一 次 函 数 y （ m 1 ） x m 1 的 图 象 不 经过 （）（A ）第一象限（B ）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限【提示】由 44 m0，得 m 10，则 m 1 0，直线过第二、三、四象限【答案

16、】 A 【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质注意，题中问的是一次函数图象不经过 的象限24 如 图 ， 已 知 A ， B 是 反 比 例 函 数 y 的图象上两点，设矩形 APOQ与矩形 MONB的面积为 S1，S2，x则 （）（A ）S1 S2（B） S1 S2（ C）S1 S2（D）上述（ A）、（B）、（C）都可能【提示】因为SAPOQ |k|2， SMONB 2，故 S1 S2【答案】 A 【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|k215若点 A（ 1， y1）， B（2， y2），C（

17、 ， y3）在反比例函数y的图象上，则（）x（A ）y1y2y3（B ） y1 y2 y3（ C）y1y2y3（D） y1y3 y2【提示】因（ k21） 0，且（ k2 1） y1 2 y2 y3，故 y1 y2 y3或用图象法求解，因（k21） 0，且 x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上 y1， y2 ，y3 的相应位置即可判定【答案】 Bk2 1） 0【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法在分析时应注意本题中的（6直线 yax c 与抛物线 yax2 bxc 在同一坐标系内大致的图象是 （）（A）（B）（C）（D）【提示】两个解析式的常数项都

18、为c，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A ），（B）再从 a 的大小去判断【答案】 D【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质（ B）错误的原因是由抛物线开口向上，知a0，此时直线必过第一、三象限7已知函数 y x2 1840 x 1997与 x轴的交点是（ m， 0）（ n， 0 ），则（ m2 1841 m 1997）（ n21841 n 1997）的值是 （）（A ）1997（ B）1840（C） 1984（D）1897x2 1840 x 19970 的两个根所以 m21840 m 1997【提示】抛物线与x 轴交于（ m，0）（n，0），则 m，n是一元二次方程 0， n2

19、1840 n1997 0，mn1997原式（ m21840 m1997） m（ n2 1840 n1997） n mn1997【答案】 A 【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系， 应用了方程的根的定义、 根与系数的关系等知识点， 并要灵活地把所求代数式进行适当的变形8某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y 与 x 之间的函数关系为 （）（A ）（B）（C）（D）a【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支x【答案】 D【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的

20、应用（A ）错在画出了x0 时的图象，而本题中x 不可能小于 0（二）填空题（每小题4 分，共 32分）9函数 y2x1的自变量 x 的取值范围是 _1 x 11【提示】由 2 x 1 0，得 xx 的取值范围；又 x1 0， x1综合可确定12【答案】 x，且 x1210若点 P（a b， a）位于第二象限，那么点 Q（ a 3，ab）位于第 _象限【提示】由题意得a 0，ab0，则 b0故 a3 0，ab 0【答案】一11正比例函数 yk（k 1） xk 2 k 1的图象过第 _象限【提示】由题意得k2 k 11，解得 k1 2，k2 1（舍去），则函数为 y 6 x【答案】一、三【点评】

21、注意求出的k 1 使比例系数为 0，应舍去12已知函数 yx2（ 2m 4） xm2 10 与 x轴的两个交点间的距离为2 2 ，则 m _【提示】抛物线与x轴两交点间距离可应用公式| a |来求本题有 (2m4)24( m2 10) 16m 56 22 ，故 m 3【答案】 3【点评】抛物线与x轴两交点间距离的公式为，它有着广泛的应用| a |13反比例函数y k 的图象过点 P（ m，n），其中 m，n 是一元二次方程 x2 kx 40 的两个根，那么 P 点坐标是 _x【提示】 P（ m，n）在双曲线上，则k xymn，又 mn4，故 k 4【答案】（ 2， 2）【点评】本题是反比例函数

22、、一元二次方程知识的综合应用由题意得出k mn4 是关键14若一次函数ykx b 的自变量 x 的取值范围是2 x6，相应函数值 y 的范围是 11y9，则函数解析式是_ 112kbk5【提示】当 k0 时，有296kb，解得b6.116kbk5当 k0 时，有292k，解得bb4.55【答案】 yx 6 或 yx 422【点评】因 k是待定字母，而k的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同故本例要分 k0 时自变量最大值对应函数最大值，与k0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论15公民的月收入超过 800 元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过

23、部分不足500 元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数） 相同某人本月收入1260 元，纳税 23 元，由此可得所纳税款 y（元）与此人月收入x（元） ( 800x1300 )间的函数关系为 _23【提示】因 1260800460 ，5%，故在 800x 1300 时的税率为 5%【答案】 y5%（ x800）460【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过 800 元的部分才纳税，故列函数式时月收入x 须减去 800h 10 t 220 t ，经过 _秒，16某种火箭的飞机高度h（米）与发射后飞行的时间t （秒）之间的函数关系式是火箭

24、发射后又回到地面【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为0，则 10 t 220 t 0，故 t0 或 t 20【答案】 20【点评】注意：t 0 应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面（三）解答题17（ 6 分）已知y y1 y2， y1 与 x 成正比例， y2 与 x 成反比例，并且x1 时 y4，x 2 时 y5，求当 x4 时 y 的值【解】设 y1 k1x，y2 k2 ，则 y k1x k2 xx把 x 1 时 y 4， x2 时 y 5 分别代入上式，得4k1k252k1解得k12k22.k2 ，2 函数解析式为 y 2 x2x217当 x 4 时， y 2

25、5; 4 1742 所求的 y 值为2y1， y2 与 x 的函数解析式注意两个比例系数应分别用【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式关键在于正确设出k1，k2 表示出来，而不能仅用一个k值表示18（ 6 分）若函数 ykx2 2（ k1）x k1 与 x 轴只有一个交点，求 k 的值【提示】本题要分 k 0，k 0 两种情况讨论【解】当 k 0 时， y 2 x1，是一次函数，此时，直线与x 轴必有一个交点当 k 0 时，函数为二次函数，此时， 4（ k1）24 k（ k1） 12 k 4 01k 31所求的 k 值为 0 或30函数图象与 x 轴有一个交点包【点评】注意，当问题中未指明函

26、数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为括两种情形：当函数是一次函数时，直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在 0 的条件下，图象与 x 轴只有一个交点19（ 8 分）已知正比例函数 y4k（1）当 k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这x，反比例函数 yx两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由【解】由 y 4 x 和 y k ，得x4 x2 k 0， 16 k（1）当0，即 k 0 时，两函数图象有两个交点；当0，即 k 0 时，两函数图象没有交点；（2）比例系数 k0，故 0两函

27、数图象不可能只有一个交点20（8 分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的D GD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8 米， AD 和 AD是两侧高为5. 5 米的立柱， OA 和 OA为两个方向的汽车通行区，宽都为15 米，线段CD 和 CD为两段对称的上桥斜坡，其坡度为14（1）求桥拱 DGD 所在抛物线的解析式及 CC的长（2）BE 和 BE为支撑斜坡的立柱，其高都为4 米，相应的AB 和 A B为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和 A B的宽（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之

28、间的距离不可小于0. 4 米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4 米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7 米，它能否从OA（ OA）安全通过？请说明理由【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之所以关键是由题中线段的长度计算出D 、G、D 的坐标，当然也可由对称轴x0 解之至于求 CC、 AB、AB的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x 4，求出相应的 y 值，即可作出明确的判断y ax2c【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x0，可设抛物线的解析式为由题意得 G（0， 8）， D（ 15， 5. 5）c82 2