整理电容部分电容与工作电容

1、精品文档精品文档电容、部分电容与工作电容兼答实验 1 的思考题 2陈德智（1）电容两个导体之间存在电容。电容的因果关系是这样的：如果导体带电，则在空间产生电场；电场的分布使得两导体出现一定的电位差，其值U 与导体带电量 q 成正比。电容 C 即定义为导体带电量 q 与电压 U 的比值。因此，电容是对电场的一种集中参数化的描述。只要电场的分布是 确定的，两导体之间的电容也是确定的。任意两个导体，无论形态差异多大，都有电容存在。此外，需要说明一点，如果空间只有两个导体，则隐含着两导体带电量必然为q和-q，以满足电荷守恒定律。当讨论多个导体时，各导体的电荷总量也必须满足qi=O。当系统中出现第三个导

2、体时， 用部分电容描述导体两两之间的关联关系。 为叙述方便，把原 来的两个导体编号为 1、2,把第三个导体编号为 0。此时，导体 1、2 之间出现部分电容 Ci2， 对电路来说还有工作电容 Cp。讨论三个电容值 C、C12和 Cp的数值关系是一个饶有趣味的话题。（2）工作电容首先考察工作电容 Cp的含义。无疑，如果只有一对导体（编号那么工作电容 Cp就等于电容 C，即导体带电量 q 与电压 U 的比值：Cp=C=q/U。设若保持两导体的带电量 q 不变，而在场中另外放置一个不带电的导体（编号为0），则第三个导体 0 的出现必然改变空间电场的分布，从而导致电压u 发生变化，设新的电压值为U。对于

3、连结两个导体 1、2 的电路来说，它并不知道场中具体发生了什么变化，它只关心导体上的电荷与导体之间电压的比值，对它而言，工作电容为Cp二 q/U 。换言之，工作电容就是，在介质中可能存在其它不带电导体的情况下，两个带电导体的电荷q 与电压 U 的比值；当不存在其它导体的时候,工作电容 Cp就是普通的电容 Co如图 1，工作电容 Cp=C12 SC20；设 0 号导体不带电，则C10+C20导体 1、2 带电量分别为q、7。根据部分电容公式，有：q C10U10 C12U12又， 由电容 C10和 C20的串联关系得： u10= C10+C20故: q=C1U10C12U12二 C10C20U1

4、2552=(C10C20C12)U12C10+C20C10+C20从而：Cp。U12C10+C201、2），将其接入电路中,C20U12图 1 1 工作电容精品文档精品文档现在分析 Cp与 C 的大小关系。前面说到， Cp的改变在于 0 号导体(电荷为 0)的引入改变 了空间电场的分布，从而改变了导体1、2 之间的电压。当 0 号导体位于无限远处时，它对电场的影响忽略不计，因此也就不改变导体1、2 之间的工作电容，Cp=C。当 0 号导体逐渐移近时，保持导体 1、2 带电量 q 不变，我们考察 1、2 号导体之间的电压 U12的变化。图 2 20 0 号导体的引入改变了 1 1、2 2 之间的

5、空间电场为计算 U12，可以取连结导体1、2 表面的任意一条路径对电场E 积分，如图 2(a)中的 11和12。为便于分析，设 11的端点 a 和 b 分别为导体 1、2 表面电场强度 E 最大的点，我们知道，该点的电场强度二a、二b为导体表面的自由电荷面密度。显然，二a、二b也分别为导体 1 和导体 2 表面电荷面密度的最大值。当 0 号导体逐渐移近时， 如图 2(b)，由于 0 号导体上感应电荷的影响，导体 1 上的电荷分布发生改变，a 点的部分电荷向靠近 0 号导体的位置(例如图中的c 点附近)转移，这样 二a变小;a11上的电场强度 E 都变小，导致积分量 U12Ed l 变小，因*b

6、之间的距离。当引入第三个导体时，部分介质被短路，因而缩短了导体从而使等效电容增大。从力和能量的角度看，导体系统的总能量可表示为q2/(2Cp)；当 0 号导体向导体 1、2 组成的系统靠近时，它受到系统的吸引力， 因此电场做正功，从而电场能量 q2/(2Cp) 减少，也得出 Cp增大的结论。综上，可以得出结论： 引入其他导体时，工作电容 CpXC。使用大于等于号“ ，是因为 存在这样(a)(a)没有 0 0 号导体时类似的，6 也变小，从而沿路径此，工作电容 Cp变大。120 号导体对工作电容的影响还可以这样理解:两导体之间的电容取决于导体的表面积和它们1、2 之间的“电距离”(b)(b)有

7、0 0 号导体时精品文档精品文档的情形：引入的导体表面刚好填充原来的等位面， 则不改变原来的电场分布。 读者可以 自己寻找这样的例子。精品文档精品文档(2)部分电容 C12根据部分电容的公式 qi=Ci0UioCi2Ui2，如果将导体 1 跟导体 0 短接，即令 Uio=0 ,则Ci2 -qi/Ui2 Uio2需要注意这个公式和工作电容计算公式Cp=q/Ui2的区别。计算工作电容 Cp时，0 号导体不带电；而计算部分电容Ci2时，0号导体带电，它与 i 号导体带电总量为 q。0 号导体的带电量 q可以看做是与 i 号导体短接后分走的部分电荷。设导体 2 带电量仍为q，则 i 号导体剩余的带电量

8、为仍为 0,如图 3 所示。可以肯定，当 0 号导体逐渐靠近导体 i、2 时，它分得的电荷 q。逐步增多, 导体 i 带电量 qi逐步减少，电压 Ui2也随之下降。因此，要想保持qi不变，唯一的办法是增大电压 Ui2，因此 0 号导体的靠近使部分电容Ci2减小。0 号导体分走的电荷量 q，在特定条件下可以是全部电荷 q，从而使 Ci2减小到 0 (参见下文的算例 i);但是，即使 0 号导体位于无限远处， 仍可能有 q0-0，即 Ci2_C (参见下文算例 2、算例 3)。(3)算例验证(以下推导全部用Mathematica 完成)算例 i i :在 i 2 两个导体组成的平行电容器中，插 入

9、一个导体板(编号为 0)，分析工作电容和部分电容。参数 如图 4 所示，设极板面积为S;忽略边缘效应。解：没有导体 0 时，电容 C =更。d插入导体 0 后，如果保持导体 i、2 带电量_q 不变，而 导体 0 不带电，则极板表面的电荷面密度也不改变， 从而极板 间电场 E 保持不变，i 2 之间的电压降变为Ui2=E(did2)(did2)，因此，工作电容C_ S_Cp Ui2di+d2可见，导体 0 的插入，相当于等效地减小了极板间距do为计算部分电容 Ci2,我们将 i 号导体与 0 号导体短接，此时电压Ui0=0 ;导体 i、0 之间o-Cr- oqi=q -q。三个导体带电总量图

10、3 3 部分电容的计算图 4 4 平行板电容器精品文档精品文档无电场，从而导体 i 带电量 qi=0，这个结果不因导体2 无论带电量多少、电位多少而改变，因此部分电容 Ci2二虫=0。它说明，导板 i、2 之间的电相互作用被导体0 完全隔断了！这就是静Ui2电屏蔽的效果。精品文档精品文档当 1 号导体与 0 号导体短接时， Uio二 0 ,导体 1 上的电荷 q 全部跑到导体 0 上； 导体 0、 2 之间的电压 U02=qdZQS。由部分电容公式 q =CiU0i C02U02，得到 C20= C02= q/U2= bS d2。同理得到 C10= qSd。从电路的角度看，图4 中的工作电容可

11、以看做是C10与 C20的串联，计算得到C10C20（ZQS d1）（2oS d2）Z0Sp C10+C20E0S+E0S d2+d2与前面结果相等。这是一个 Ci2=0 的例子，我们看到了 Ci2乞 C ZCp。算例 2 2：如图 5，计算距地面高度为 h 的两平行长直输电线之间的部分电容与工作电容,解：不考虑地面影响时，根据例3.19 的结论，单位长度输电线之间的电容为C0。a考虑地面影响时，对电势系数矩阵匕|求逆，得到单位长度输电线之间的部分电容为工作电容为 Cp0。2hdIn a .4h2d2当参数取 h = 10m , d = 2m, a = 1cm 时，计得 C =5.2475pF

12、，C12=2.4476pF , Cp=5.2525pF ,C10=5.6145pF。C12乞 CCp，与我们前面的定性分析相符（书上给出的计算结果误差稍大）当 h 变小时，C12: C:Cp的关系会更加明显。例如，取h =0.1m，其它参数不变，得到-.Jd2+4h22二；0ln -C12 =-/八2h、2Jd2+4h2、2C10 2 二；0In空Inad24h2d设导线半径为 a，导线间距为精品文档精品文档C =5.2475pF， C12=0.03084pF， Cp=9.2963pF。精品文档精品文档当 h 非常大，例如大到 10100m，其它参数不变，得到C=Cp=5.2475pF , C

13、i2=5.1878pF(俺0.989C)。可见，地面作为一个无限大的导体平面，其影响是非常显著的。解：两个导体球之间的电场分布不能用单一镜像法计算，但是，如果两球距离远大于其半径,则可将电荷近似看做是位于球心处来计算空间电场的分布。容易得到：(1)没有地面时的电容当地面不存在时，设导体带电量为_q，则导体电位分别为q 11i()4 號oa d所以两球之间电压为两球之间的电容为工作电容 Cp与 C 相同。(2)存在地面时的电容存在地面时，使用镜像法求解电场分布，仍然将电荷近似位于球心处。导体球电位分别为9宀丄4 二；oa算例 3 3：把上例中的长直圆柱导体改为半径为a 的两个导体球，其它参数不变

14、。12 二；oa d精品文档精品文档所以两球之间电压为精品文档精品文档q1Cp20/ (U12ad故 U12=0 , U10=器，根据部分电容公式，有二 。d )7)_112112(a京弋一荷苛)图 7 给出了随着 h 增大时，工作电容 Cp和部分电容 C12的变化情况。可以看到，0 号导体的引入，使得工作电容 Cp增大。随着 h 的增大，0 号导体逐渐远离，影 响减弱，Cp减小。当hr-时，Cp；C，在意料之中。随着 h 的增大 0 号导体逐渐远离，部分故工作电容为1 1 1 -+2h为计算部分电容Go，我们令两导体球带同样的电荷q,此时，U12=0。由于对称性，有1=24 屜1(-a2hd

15、24hq =Ci0Uio C12U12= Cio、i(丄4 二；0a+ 丄 _丄 _.1)C10d 2h d24h2C101=4 二；o/(-a丄d12hd 4h2)由 Cp二 C12 -C10C20C10 C20，得到4o(Ci2Cp(a)(a) C Cp随 h h 增大时的变化图 7 7 随 h h 增大时，工作电容C Cp和部分电容 C C12的变化C12h(b)(b) C C12随 h h 增大时的变化情况(注意：为便于作图，纵坐标用4二；0进行了归化)精品文档精品文档电容 C12迅速增大，但是，当：时，C12并不收敛到 C 而是 C12二肾 1 相连，它还是可以分走导体部分电荷。球 1 上引起的感应电荷为 5 =竺（镜像法的公式）；由于两球相距很远，且 qj q，故导体球 2 d的表面电位2q1J。因此，由部分电容的计算公式，有：4Zoa 4 瓏od4oaC _ 5 _ aq d _ aq d _ 4 二;a2U1