二项式定理的练习及答案

1、项 式定理 的 练 习 及答案基础知识训练(一) 选择题1. (X 2 )6展开式中常数项是()JxA.第 4 项 B. 24c6 C. C6D.22. (x - 1)11展开式中x的偶次项系数之和是()A.-2048B.-1023C.-1024D.10243. (1 一2)7展开式中有理项的项数是()A.4B.5C.6D.74. 若C；7与Cm同时有最大值，则m等于()A.4 或 5B.5 或 6C.3 或 4D.55. 设(2x-3) 4=a0 a1x a2x2 a3x3 a4x4，则 ao+ai+a2+as 的值为()A.1B.16C.-15D.1516. (x3 -)11展开式中的中间

2、两项为()xA. G51X12,G51X12B.C1X9, G；x9 10 11C.G；x13,C1；x9 15D.C；1X17, C；1X13(二) 填空题7在(2x 1 y )7展开式中，x5,的系数是38. c： 3C； 32c23nC17自然数n为偶数时，求证:18 求8011被9除的余数.3,求展开式的19. 已知(、x 彳)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14;x常数项.20. 在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数+21求(2x+1) 12展开式中系数最大的项参考解答：2.通项 Tn C6x6r6 ?rrC6x 2 2r，设f(x)=(x-1)11，偶次项系数

3、之和是f(1)3 r 0 r 4，常数项是T52C：24，选(B)丄L勺(2)11 /21024，选2r3.通项Tr 1 C；C2)r C；22，当r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4个，选(A)17121或m8或n=9,若n=8,要使C：1714 .要使C：最大，因为17为奇数，则n 或n2m 4或m=5综上知,最大，则m=&=4,若n=9,要使C9°最大，则m 2 2 m=4或 m=5 故选(A)224n5.C 6.C7.224 ;8.4n;9.3,9,15,21310. (2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故

4、令x=1，则 所求和为323 1011. (1+3x+3x+x) =(1+x)30，此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16=c30x15.12.0.991 5=(1-0.009) 5=C0C； 0.0090.962 1013. (1 x x )(1 x) (1x3)(1 x)9,要得到含X4的项，必须第一个因式中的1与(1-x) 9展开式中的项c4( X)4作积，第一个因式中的一X3与(1-X) 9展开式中的项C；( X)作积，故X4的系数是C9 c9135.10 11210(1X)1(1 X) (X 1) (X 1)314. (1 x) (1 x) (1 x)=，原式中X实为这1(

5、1 X)X15.由1C5( 2x)1C5( 2x)C0 cf( 2X)211011X410分子中的X4,则所求系数为civ16 由条件得m+n=21x2的项为C：x2C：x2，则C：C2(n21)2聖9.因n N,故当24n=10或11时上式有最小值，也就是 m=11和n=10,或m=10和n=11时，x2的系数最小.17.原式=(C0CnC2C nn 1 n 1 3 5CnCn) (CnCnCncn1)2“2“ 13 2“ 118.8011(811)11C°8111G1®10C；081181k1(kZ), k Z, 9k-1乙 8111被9除余8-19 .依题意C:C21

6、4:3423Cn 14Cn 3n(n-1)( n-2)( n-3)/4!=4 n(n-1)/2!n=10C10 5r设第叶1 项为常数项，又 Tr 1 C；0(.、x)10 r( $)r ( 2)rC；oxx令0r2， T21C1o(2)2180.此所求常数项为180220. (x2 3x2)5 (x1)5(x2)5在(x+1) 5展开式中，常数项为1,含x的项为c5 5x，在(2+x) 5展开式中，常数项为25=32,含x的项为C；24x 80x展开式中含x的项为1 (80x)5x(32)240x，此展开式中x的系数为24021 .设Tr+1的系数最大，则Tr+1的系数不小于Tr与Tr+2的

7、系数，即有展开式中系数最大项为第5项，T5=16C：x47920x4三.拓展性例题分析n例1在二项式.-X 1的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理2你项.分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决.解：二项式的展开式的通项公式为：前三项的r 0,1,2.得系数为：t11,t2 Cn1 n ,t32 2C n(n 1)，481由已知：2t2 t1 t3 n 1n(n81)， n 8通项公式为16 3r1Tr 1 c8-rx 4 r 0,1,2 8,Tr 1为有理项，故16 3r是4的倍数, r 0,4,8.1 2 x 256依次得到有理项

8、为T1 x4,T5 C84x 35x,T9 c8=jX22 8 2说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了 r的取值，得到了有理项类 似地，(,2 3 3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有 17页系数和为3n 例2 ( 1)求(1 x)3(1 x)10展开式中x5的系数；(2)求(x 1 2)6展开式中的常数项.x分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，(1)可以视为两个二项展开式相乘；(2)可以经过代数式变形转化为二项式.解：(1) (1 x)3(1 x)10展开式中的x5可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用(

9、1 x)3展开式中的常数项乘以(1 X)10展开式中的X5项，可以得到C；0X5 ；用(1 x)3展开式中的一次项乘以(1 X)10展开式中的X4项可得到(3x)(c：°x4)3C0X5 ；用(1 X)3中的x2乘以(1 x)10展开式中的x3可得到3x2 C；0X3 3C0X5 ；用(1 x)3中的x3项乘以(1 x)10展开式中的X2项可得到3x3(C10C0 3C0C10)X(2)x 12 Xx1(xxCwX2 C0X5，合并同类项得X5项为:563x5 .21r、x12由- X2)5x12展开式的通项公式Tr 1C；2C、2)r12 r 1xG；x6 r，可得展开式的常数项为

10、 C；2924 .说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决这时我们还可以通过 合并项转化为二项式展开的问题来解决.例3求(1 x x2)6展开式中x5的系数.分析：(1 x x2 )6 *不是二项式,我们可以通过1X2(1 X) X2或 1 (X X2 *)把它看成二项式展开.解：方法一：(12、6X X)(1x) x2 6其中含X5的项为C：x56C；X515C；x5 6x5 .含X5项的系数为6.方法二：(1 x26x )1 (xx2)6其中含X5的项为20( 3)x5 15(4)x5 6x5 6x5.- x5项的系数为6.方法3:本题还可通过把(1 Xx2)6看成6个1x

11、2相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项,x5项可由下列几种可能得到.5个因式中取X, 个取1得到c6x5 .3个因式中取X, 个取x2，两个取1得到c6 c3x3 ( x2).1个因式中取X,两个取x2，三个取1得到C； C；x ( x2)2 .合并同类项为(c6 c6c；C；C2)x5 6x5, x5项的系数为6.例 4 求证：(1) Cl. 2C2ncn n2n1 ；解：(1)kcnkk!( nk)! (kn!(n 1)!n1)!(nk)! (k 1)!(nk)!ncn1左边nC°1nCn 1ncn1n(C° 1Cn 1cn 1)n 2n1右边.(2)丄 Jk 1

12、n!1左边(n 1)!(k 1)!(nk)!cn1.kc1cn 1 n 1 亠Cn1n 1nC2cn 1-c2111 n 1cn 1n 1cn 1) (2n1 1)右边.n 1说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质 求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式 定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：例 5:求 29c10 28C：0 27C；02C：0 10 的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与(12)10的展开式接近，但要注意:从而可以得到：10 2C；028C；029c10-(310 1).2例6利用二项

13、式定理证明：32n 2 8n9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n 2 8n 9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n 29n 1 (8 1)n 1，将其展开后各项含有8k，与82的倍数联系起来.解：t 32n 2 8n(8n 1 c1 1 8n 2cn；) 64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数.5 展开2x二 .2x21:用二项式定理展开式.53 2x 22x对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.5分析解法1:分析2:解法2:2x32x2(4x3 3)532x1032x

14、5120x21801354052434 c 7“ 10x x 8x 32 x记熟二项式(a b)n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条 件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.例8若将(x y z)10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为(说明：记准、).A. 11B. 33C. 55D. 66分析：(x y z)10看作二项式(x y) z10展开.解：我们把x y z看成(x y) z，按二项式展开，共有11 “项”即101010k10 k k(x y z) (x y) zC10(x y) z .k 0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x y

15、)10k展开,不同的乘积C1o(x y)10 k zk ( k 0,1, 10 )展开后，都不会出现同类项.F面，再分别考虑每一个乘积C1o(x y)10 k zk ( k 0,1,10).其中每一个乘积展开后的项数由(x y)10 k决定,而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11 10 9 应选D.66 ,n例9若x 1 2的展开式的常数项为x20,分析：题中x 0，当x0时，把三项式n2转化为2n1；一 x'当x 0时，同理x1)n . x2n然后写出通项，令含x的幕指数为零,x进而解出n.2n1，其通项为xTr 1C；n('X)2nr(1)CnCx)2n 2r ,令2n 2r 0 ,得 n r，展开式的常数项为(1)nC2n ；2n1xn1 ,当 x 0 时，x 2( 1)n、xx同理可得，展开式的常数项为(1)92；.无论哪一种情况，常数项均为(1)92；.令( 1)nC2nn 20，以 n 1,2,3, ，逐个代入，得 n 39.(351 )20的展开式中的有理项是展开式的第 项叫510. (2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 11. (1 3x 3x2 x3)1