4.2平面向量基本定理与坐标运算

1、温馨提示:此套题为 Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴， 调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word文档返回原板块。课时提升作业一、填空题1. 如图，平面内的两条相交直线 OP和OP将该平面分割成四个部分I , II , III , 叭不包含边界).设OP = mOR+ nOP2,且点P落在第III部分，贝S实数m,n与0的大小关系是2. (2013 淮安模拟)已知向量a=(1,1), b=(2,x)，若a+b与4b-2a平行，贝卩实数 x=3. (2013 扬州模拟)设向量a, b满足| a|= 25,b=(2,1),且a与b的方向相反,则a的坐标为4. 在平面直角坐标系xOy中

2、，四边形ABCD勺边AB/ DC AD/ BC.已知A( 2,0),B(6,8) , C(8,6)，则D点的坐标为5. 如图，在 ABCD中, AB二a, AD二b, ANyNC, M 是 BC的中点，则 MN =, (用a, b表示).6. 已知向量a= ( 2,3) , b/ a,向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上,则点B的坐标为7. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量a=(1,2), a-1 b=(3,1), c=(x,3),若(2a+b)II c,贝J x=.8. 已知向量 OA = (1 , 3), OB = (2 , 1) , OC = (m+ 1,2)，若点 A, B

3、,C能构成三角形，则实数m应满足的条件是9. 若a, p是一组基底，向量丫 =xa +y p (x , y R)，则称(x , y)为向量丫在基底 a , p下的坐标，现已知向量a在基底p= (1 , 1) , q= (2,1)下的坐标为 (2,2)，贝J a在另一组基底m= (-1,1) , n = (1,2)下的坐标为10. (能力挑战题)平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1) ,B( 1,3), 若点C满足OC = a OA + p OB，其中a , p R且a + p = 1 ,则点C的轨迹方 程为11. (2013 扬州模拟)向量 a=(sin0 ,1), b=(cos

4、 0，囘,且 all b,其中0 (0 ,).若 sin( co - 0 )= 3 , 0v wV ,则 cos co =2 5212. (能力挑战题)给定两个长度为1的平面向量OA和OB ,它 们的夹角为120° .如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上 运动.若Oc= xOA+ yOB,其中x, y R,则x+ y的最大值为二、解答题13. (2013 苏州模拟)已知卩为 ABC内一点，且3AP +4BP + 5CP=0.延长AP交BC于点 D,若AB =a, AC=b，用a, b表示向量 AP,AD.14. (能力挑战题)平面内给定三个向量a= (3,2) , b= ( 1,2

5、) , c=(4,1)，回答(1)求 3a+ b 2c.求满足a = nb+ nc的实数m n.若(a+ kc) / (2 b a)，求实数 k.答案解析1.【解析】由题意及平面向量基本定理易得在 OP = mOPl +nOp2中m>0,nv0.答案：m>0,nvO2. 【解析】V a+b=(3,1+x),4 b-2 a=(6,4x-2),又 a+b 与 4b-2 a 平行, 3(4x-2)=6(1+x)，解得 x=2.答案：23. 【解析】设 a=(x,y),x<0,y<0,则 x-2y=0 且 x2+y2=20,解得 x=4,y=2(舍去)或者 x=-4，y=-2，

6、即 a=(-4,-2).答案：（-4,-2）4. 【解析】设D点的坐标为（x , y），由题意知BC=AD , 即(2 , 2) = (x + 2, y)，所以 x = 0, y = 2, D(0, 2).答案：（0， 2）5. 【解析】由题意知 MN=MC+CN1 r1r1 r1= -BC +CA = BC AC2 424TrT=AD(AB +AD )24=AD - AB - ADAB + AD244441 +1=一a 十b.44答案：一1 a+1 b446. 【解析】由b II a,可设b= a= ( 2入，3入). 设 B(x, y)，则 AB = (x 1, y 2) = b.由2几=

7、x1,? x =2几,3)= y 2,y =3a+2.又B点在坐标轴上，则1 2入=0或3入+ 2= 0, 所以 B(0, 2)或(I , 0).23答案：(0, 2)或(3 , 0)237. 【解析】由 a=(1 ,2) ,a- 1 b=(3,1)得 b=(-4 ,2)，故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6).2由(2 a+b) II c 得 6x=-6，解得 x=-1.答案：-18. 【思路点拨】运用反证法，从三点可以共线考虑，然后取所得范围的补集【解析】若点A, B，C不能构成三角形，则只能共线.V AB=OBOA = (2 , 1) (1 , 3) = (1,2), Ac

8、=OcOA = (m+ 1, m- 2) (1 , 3) = (m, n+ 1).假设A, B， C三点共线，则 1 = (m+ 1) 2m= 0, 即卩 m= 1.若A, B, C三点能构成三角形，则m 1.答案：m 19. 【解析】由已知a=-2 p+2q=(2,2) + (4,2) = (2,4),设 a=入 m+ 门=入（一1,1） + 卩（1,2）=（入+ 卩，入+ 2卩）,丄 r-z +A=2,”口 1；=0,则由"=4,解得卜=2/. a=0m +2n, a在基底m,n下的坐标为(0,2).答案：(0,2)10. 思路点拨】求轨迹方程的问题时可求哪个点的轨迹设哪个点的坐

9、标，故设X, y的关3).由 OcC(x, y)，根据向量的运算法则及向量相等的关系，列出关于a,系式，消去a,p即可得解.解析】设 C(x, y)，则 Oc =(X , y), OA = (3,1) , OB = ( 1, a OA +p OB，得(X , y) = (3 a,a ) + ( p, 3 p ) = (3 a p,x = 3a P于是J + 3Pa+ P=1由得P= 1 a代入，消去p得jX M 1'$=3-2。,再消去a得 X+ 2y= 5,即 x + 2y 5= 0.答案：x+ 2y 5= 0【一题多解】由平面向量共线定理，得当OC =a OA + p OB , a

10、 + p= 1时，A,B, C三点共线.因此，点C的轨迹为直线AB由两点式求直线方程得-1-3-3 113即 X+ 2y 5 = 0.11. 解析】Ta/ b,. 73sin 0 -cos 0 =0, 即卩 tan 0 =3又 V0 (0, -), 0 =二2 6 ZjT X 3兀兀兀又-sin( co -)二,Vw V , 65663-COs( co - )= 4 ,65二 cos o =cos ( o -)+-6 6zjT XjT zjTX -jT=cos( o- )cos-Sin(o - )sin-66 664 73 3 1=X X 5 25 24屁3=10 答案：込迢10【方法技巧】解

11、决向量与三角函数的综合题的方法 向量与三角函数的结合是近几年高考中出现较多的题目，解答此类题目的关键 是根据条件将所给的向量问题转化为三角问题，然后借助三角恒等变换再根据 三角求值、三角函数的性质、解三角形的问题来解决12. 【思路点拨】建立坐标系，将A,B,C三点的坐标表示出来，转化为三角函数的知识解决.【解析】以0为坐标原点，0A为x轴建立平面直角坐标系，则可知 A(1,0)，)，贝J有 x= cos a +3y=in a,所以 x+ y = cos3a + V3sina= 2sin( a + -)，所以当a尹，x+ y取得最大值为2.B(-,)，设 C(cos a, sin a )( a

12、 0, 2 213.【解析】 又 3AP+4BP+5CP=0,答案：2V 此APABR-a,CtAPAC=7P-b,二 3AP +4(AP -a) +5(AP b )=0,化简，得aP=ia+ b,312,设 AD=t AP(t R), 贝J ADt a+t b312又设 BD=kBC(k R), 由 BC 二 ACAB = b- a 得 BD=k( b- a).而 AD=AB+BD =a+BD , AD=a+k( b- a)=(1-k) a+kb,!-t =k,4由，得'3解得t=t!®ck,3112代入，有AD=4 a+-b,99 F 15T 45AP 二-a+ b, A

13、D 二一a+-b.3 129914.【解析】(1)3 a+ b 2c= 3(3,2) + ( 1,2) 2(4,1) = (9,6) + ( 1,2) (8,2)=(0,6).(2) V a= nb+ nc. (3,2) = m( 1,2) + n(4,1) = ( it+ 4n,2m+ n).I 5 广 I , Ci T = 一，T+4n=3,解得 I 9 I2m+n = 2,| = 8ln= 9.(3) V (a+ kc) / (2 b a),又 a+ kc= (3 + 4k,2 + k),2 b a= ( 5,2). 2= (3 + 4k) ( 5) = (2 + k) = 0 , k=-.13【变式备选】已知四点A(x,0) , B(2x,1) , C(2, x) , D(6,2x).(1)求实数x，使两向量AB,CD共线. 当两向量AB与CD共线时，A, B, C, D四点是否在同一条直线上?