初二数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及答案

1、初二数学全等三角形双等腰旋转知识归纳总结及答案一、全等三角形双等腰旋转1. 在 abc 中， bac90°，点 e 为 ac 上一点， ab ae， ag be，交 be于点 h，交 bc于点 g，点 m 是 bc边上的点（1） 如图（2） 如图（3） 如图1，若点 m 与点 g 重合， ah 2，bc26 ，求 ce的长；2，若 abbm ，连接 mh， hmg mah ，求证： am 23，若点 m 为 bc的中点，作点b 关于 am 的对称点 n，连接2 hm；an、mn 、en，请直接写出 amh、 nae、 mne 之间的角度关系答案： （ 1）；（ 2）见解析；（ 3）

2、nae 2mne2amh【分析】（1） ）根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可；（2） ）根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；解析： （ 1）2 ；（ 2）见解析；（3） nae 2 mne 2 amh【分析】（1） 根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理解答即可；（2） 根据等腰直角三角形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质解答即可；（3） 根据对称的性质和三角形内角和解答即可【详解】解：（ 1） bac90°，ab ae， bae为等腰直角三角形，ag be，ah 是 bae 的中线，be2ah 4， bea 45 °， bec 1

3、35 °，在 bce中，过点 c作 cdbe 交 be 的延长线于点d，如图 1， dec 45 °， dec是等腰直角三角形，设 edx，则 dcx， ce 2 x， 在 rt bcd中， bc2 bd2 dc2，2即 (26)22(4x)x，x1 1 或 x2 5（舍去），ce 2 ；（2） 如图 2，过 h 作 hd hm 交 am 于点 d，连接 bd，ab ae， bac 90 °， abe 是等腰直角三角形，ag be， abh 为等腰直角三角形，bh ah， bah 45 °， bha 90 °，ab bm， bam bma， h

4、mg mah ， bam mah bma hmg ， 即 bah amh 45°，hd hm ， dhm 为等腰直角三角形，dh hm ， dhm 90 °， bhd bha ahd， ahm dhm ahd， bhd ahm， 在 bhd 与 ahm 中，bhahbhdahm ，dhmh bhd ahm（ sas）， dbh mah， bd am， bha bda 90 °，ba bm，d 是 am 的中点，am 2dm 22 hm ，即 am 22 hm ；（3） h 是 be 的中点， m 是 bc的中点，mh 是bce的中位线，mh ce， amh mac

5、， bac 90 °，am bm， mab abm，点 b 与点 n 关于线段 am 对称， abm anm， ab an，ae an， aen ane，在 aen 中， nae 2 ane 180°， ane anm mne， abm anm mab 90 ° mac， ane 90 ° mac mne， ane 90 ° amh mne ，将 代入 ，得： nae 2×（ 90° amh mne） 180°， nae 180 °2 amh 2mne180 °， nae 2 mne 2 amh

6、【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形中位线的判定及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键2. 在正方形 abcd 中，对角线 ac 、 bd 交于点 o ，以 bc 为斜边作直角三角形bcp ， 连接 op （1） 如图所示，易证：cpbp2op；（2） 当点 p 的位置变换到如第二幅图和第三幅图所示的位置时，线段cp 、 bp 、 op 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对第二幅图加以证明答案： （ 1）见解析；（ 2）第二幅图：，第三幅图：【分析】（1） ）在 cp上截取 ce=bp，连接 oe，记 o

7、b 与 cp交于点 f，根据正方形的性质证明，得到是等腰直角三角形，所以有，从而证得；（2） ）第二幅图的证解析： （ 1）见解析；（ 2）第二幅图：bpcp2op ，第三幅图：bpcp【分析】2op（1） 在 cp上截取 ce=bp，连接 oe，记 ob 与 cp交于点 f，根据正方形的性质证明oceobp sas ，得到eop是等腰直角三角形，所以有pe2op ，从而证得 cpcepebp2op ；（2） 第二幅图的证明过程类似（1）中的证明过程，在bp 上截取 be=cp，连接 oe，记 oc与 bp 交于点 f，证明 obeocp sas ， 得到oep是等腰直角三角形，可以证得bpc

8、p2op ；第三幅图的结论是bpcp2op ，证明方法一样是构造三角形全等，由obeocp sas 可以证出结论【详解】解：（ 1）如图，在 cp上截取 ce=bp，连接 oe，记 ob 与 cp交于点 f，四边形 abcd是正方形，ob=oc，boc90°， bpcp ，bocbpc90 ，ofcpfb ，oceobp，在 oce 和obp中，ocoboceobp ，cebp oceobp sas ， oeop ，coebop ，boceopboeboccoe ，eopboebop ，90， eop 是等腰直角三角形， pe cp2op ，cepebp（2）第二幅图：2op ；2o

9、p ，bpbpcpcp第三幅图：2op ，证明第二幅图的结论：如图，在 bp 上截取 be=cp，连接 oe，记 oc 与 bp 交于点同（ 1）中证明oceobp sas 的过程证明f，obeocp sas ，同理oep 是等腰直角三角形， ep bp2op，beepcp2op ；第三幅图的证明过程是：如图，延长pb 至点 e，使 be=cp，证明 obe得到oep 是等腰直角三角形， ep ep2op，ebbpcpbp ，2opcpbp ocp sas ，【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和进行的性质，解题的关键是掌握这些性质定理进行证明求解，并且学会构成全等三角

10、形的方法3. 如图，abc 是等腰直角三角形，acb90 , 分别以ab , ac 为直角边向外作等腰直角 abd 和等腰直角f ace, g 为 bd 的中点，连接cg , be,cd , be 与 cd 交于点（1） 证明：四边形 acgd 是平行四边形；（2） 线段 be 和线段 cd 有什么数量关系，请说明理由；（3） 已知 bc2, 求 ef 的长度 (结果用含根号的式子表示)答案： （ 1）见解析；（ 2）be=cd，理由见解析；（ 3）ef=【分析】（ 1）利用等腰直角三角形的性质易得bd=2bc，因为 g 为 bd的中点，可得bg=bc，由cgb=45°， adb=4

11、5得 ad解析： （ 1）见解析；（ 2） be=cd，理由见解析；（3） ef= 310 5【分析】（1） 利用等腰直角三角形的性质易得bd=2bc，因为 g 为 bd 的中点，可得 bg=bc，由cgb=45 ，° adb=45 得 ad cg，由 cbd+ acb=180 ，°得 ac bd，得出四边形 acgd为平行四边形；（2） 利用全等三角形的判定证得 dac bae，由全等三角形的性质得be=cd；首先证得四边形 abce为平行四边形，再利用全等三角形的判定定理得 bce cad，易得cbe= acd，由 acb=90 ，°易得 cfb=90 ，&#

12、176;得出结论（3） 先证明 dbf 是直角三角形，再利用勾股定理进行计算，即可求出答案【详解】解：（ 1） abc和 abd 都是等腰直角三角形 cab= abd= 45ac bd，°bd=2 ab=2 ?2 bc=2bc=2ac又 g 为 bd 的中点，bd=2dg，ac=dg， acdg四边形 acgd为平行四边形；（2） be=cd，理由如下 aec和 abd 都是等腰直角三角形ae=ac， ab=adeab= eac+cab=90cad= dab+ bac=90 eab= cad，在 dac 与 bae中，adabcadeab ，acae dac bae， be=cd；（

13、3） dac bae aeb= acd又 eac=90° efc= dfb=90 ° dbf 是直角三角形bc=2 ，bd=22 ，+°45 °=135 ，°+°45 °=135 ，°根据勾股定理得 cd=10 ，11cd ?bfbc ?bd22122bf=5110 bf= 2102 ? 2223ef=be-bf=cd-bf=10【点睛】10 =5510 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，平行四边形和全等三角形的判定及性质定理，综合运用各种定理是解答此题的关键4. 感知：如图 ，已知正方形 abcd的边 cd 在

14、正方形 defg的边 de上，连结 ae、 cg，易证 aedcgd （不需要证明）探究：将图 中正方形 defg绕点 d 按顺时针方向旋转，使点e 落在 bc边上，如图 连结 ae、cg，证明： ae=cg应用：如图 ，正方形 abcd中， ad=3，点 e 在 cb 的延长线上， be=1，de=df，edf=90 °直接写出点 f与点 c 的距离答案： 探究：证明见解析；应用：点 f 与点 c的距离为【分析】探究：结合旋转模型，利用 “边角边”证明即可得出结论；应用：连接 fc，根据前序问题中的方法证明aed cfd，从而得到 cf=ae，即在 rt解析： 探究：证明见解析；应

15、用：点f 与点 c 的距离为10 【分析】探究：结合旋转模型，利用“边角边 ”证明 aedcgd即可得出结论；应用：连接 fc，根据前序问题中的方法证明aed cfd，从而得到 cf=ae，即在rt aed 中求解 ae 即可【详解】探究：证明：在正方形abcd 和正方形 defg 中，ad=cd， de=dg，adcedg90 ，adecdg ， aedcgd ， aecg ； 应用：连接 fc， edf=adc=90 °， ade= cdf，又 ad=cd， de=df， aed cfd，cf=ae，在 rt aed中，2aeabbe210 ，点 f 与点 c 的距离为10 【点

16、睛】本题考查全等三角形的判定与性质，掌握基本的旋转模型，根据全等三角形的性质求解问题是解题关键5如图，将两块含ac， bd45°角的大小不同的直角三角板 cod和 aob 如图 摆放，连结（1） 如图 ，猜想线段 ac 与 bd 存在怎样的数量关系和位置关系，请写出结论并证明；（2） 将图 中的 cod 绕点 o 顺时针旋转一定的角度（如图 ），连结 ac， bd，其他条件不变，线段 ac与 bd 还存在（ 1）中的关系吗？请写出结论并说明理由（3） 将图 中的 cod 绕点 o 逆时针旋转一定的角度（如图 ），连结 ac， bd，其他条件不变，线段 ac与 bd 存在怎样的关系？请

17、直接写出结论答案： （ 1） ac=bd，acbd，证明见解析；（ 2）存在， ac=bd，ac bd，证明见解析；（ 3）ac=bd，ac bd【分析】（ 1）延长 bd交 ac于点 e易证 aoc bod（sas），可得 a解析： （ 1） ac=bd， ac bd，证明见解析；（2）存在， ac=bd，ac bd，证明见解析；（3） ac=bd， acbd【分析】（1） 延长 bd 交 ac于点 e易证 aoc bod（ sas），可得 ac=bd， oac= obd，由 ade= bdo，可证 aed= bod=90o即可；（2） 延长 bd 交 ac于点 f，交 ao 于点 g易证

18、aoc bod（ sas），可得 ac=bd，oac= obd，由 agf= bgo，可得 afg= bog=90o即可；（3） bd 交 ac 于点 h， ao 于 m，可证 aoc bod（ sas），可得 ac=bd，oac= obd，由 amh= bmo，可得 ahm= boh=90o即可【详解】（1） ac=bd， acbd，证明：延长 bd 交 ac 于点 e cod 和 aob 均为等腰直角三角形，oc=od， oa=ob，coa= bod=90o， aoc bod（ sas），ac=bd， oac= obd， ade= bdo， aed= bod=90o，acbd；（2）存在，

19、证明：延长 bd 交 ac 于点 f，交 ao 于点 g cod 和 aob 均为等腰直角三角形，oc=od， oa=ob，doc=boa=90o， aoc= doc doa， bod= boa doa， aoc= bod， aoc bod（ sas），ac=bd， oac= obd， agf= bgo， afg= bog=90o，acbd；（3） ac=bd， acbd证明： bd 交 ac于点 h，ao 于 m， cod 和 aob 均为等腰直角三角形，oc=od， oa=ob，doc=boa=90o， aoc= doc+ doa， bod= boa+ doa， aoc= bod， aoc

20、 bod（ sas），ac=bd， oac= obd， amh= bmo， ahm= boh=90o，acbd【点睛】本题考查三角形旋转变换中对应相等的位置与数量关系，掌握三角形全等的证明方法，及其角度计算是解题关键6. 在 abc 中 ， abac ，点 d 是直线 bc 上一点（不与b 、 c 重合），以 ad 为一边在 ad 的右侧作ade ，使 adae ，daebac ，连接 ce （1） 如图，当点d 在线段 bc 上，如果bac90 ，则bce度（2） 设bac， bce 如图，当点 d 在线段 bc 上移动时，、之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论 如图，当点 d 在线段

21、bc 的反向延长线上移动时，、之间有怎样的数量关系？请说明理由答案： （ 1） 90；（ 2） ，理由见解析； ，理由见解析【分析】（ 1）由等腰直角三角形的性质可得 abc=acb=4°5，由“sas可”证bad cae，可得 abc=ace=45，°可求 bc解析： （ 1） 90；（ 2） 180 ，理由见解析； ，理由见解析【分析】（1） 由等腰直角三角形的性质可得 abc= acb=45°，由 “sas”可证 bad cae，可得abc= ace=45 ，°可求 bce的度数；（2） 由“sas可”证 abd ace得出 abd= ace，再用

22、三角形的内角和即可得出结论； 由“ sas可”证 adb aec得出 abd= ace，再用三角形外角的性质即可得出结论【详解】（1） ab=ac， bac=90°， abc= acb=45 ，° dae= bac， bad= cae， 在 bad 和 cae中abacbadcae ，adae bad cae（ sas） abc= ace=45 ，° bce=acb+ ace=90 ，°故答案为： 90；（2） 180 理由： bac= dae， bac-dac= dae- dac即 bad= cae在 abd 与 ace中，abacbadcae ，ad

23、ae abd ace（ sas）， b=ace b+acb= ace+ acb ace+ acb= ， b+acb= ，+ b+ acb=180 ，° + =1；80 ° 当点 d 在射线 bc 的反向延长线上时， 理由如下：daebac ，dabeac ，在 abd 与 ace中，abacbadcae ，adae adb aec(sas)，abdace ，abdbacacb ，acebceacb ，bacabdacb ，bceaceacb，bacbce ，即【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的内角和定理，以及三角形外交的性质，证明 ab

24、d ace 是解本题的关键7. 如图，锐角abc 中，分别以 ab、ac 为边向外作等腰直角abe和等腰直角acd ，使 aeab ， adac ， 等三角形的知识证得bd 与 ce相等baecad90 ，连接 bd、ce，可以通过全（1） 如图，锐角abc 中分别以 ab、ac 为边向外作等腰abe 和等腰acd ，aeab ， adac ，关系，并说明理由baecad90 ，连接 bd、ce，试猜想 bd 与 ce的数量（2） 如图，在中abc ，acb45 ，以 ab 为直角边， a 为直角顶点向外作等腰直角 abd ，连接 cd，若 ac2, bc3 ，求 cd 的长（3） 如图，在四

25、边形中abcd， 值adc60 , bc15, ab8, adcd ，求 bd 的最大答案： （ 1），证明见解析；（ 2）；（ 3） 23【分析】（1） ）由等腰三角形的性质解得，继而可证及，再由全等三角形对应边相等解题；（2） ）过 a 作交于点，连接，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明，由全解析： （ 1） bdce ，证明见解析；（2） 13 ；（ 3）23【分析】（1） 由等腰三角形的性质解得aeab, adac,baecad ，继而可证eacbad 及eacbad (sas)，再由全等三角形对应边相等解题；（2） 过 a 作 aeac 交 bc 于点 e ，连接 de ，先证明e

26、ac 是等腰直角三角形，得到 aeac ，daebac ，再证明dae bac (sas) ，由全等三角形的性质得到 debc3,deabca45 ，接着在等腰直角三角形eac 中，由勾股定理解得 ec 2ac 2ae 22 ac 2 ，最后在 rtdec 中，由勾股定理即可解得cd 的长；（3） 先证明acd 为等边三角形，再由等边三角形的性质可得，accd,acd60 将 bca绕点 c 顺时针旋转 60°得到 ecd ，连接 be ，由旋转的性质得deab8，bcec15 ，继而证明bce 是等边三角形，由等边三角形的性质得到【详解】bebc75 ，最后根据三角形三边关系解题即

27、可解：（ 1） abe 和acd 是等腰三角形，aeab, adac ,baecad ，baebaccadbac ，即：eacbad ， 在eac 中bad 中aeabeacbad ，acadeac bad (sas) ，cebd ；（2）如图（ 1）所示，过 a 作 aeac 交 bc 于点 e ，连接 de ，acb45 , aeac ，eac90，eac 是等腰直角三角形，ae又ac ，abd 是等腰直角三角形，abad,badeac bae9090，即：badbadeacdaebae ，在 dae 和bac ，bac 中adabdaebac,aeacdae bac (sas) ，deb

28、c3,deaeac 中，bca45 ，在等腰直角三角形aec 90ae 245，dec由勾股定理得：deaec 2aecac 2，2 ac 2 .在 rtdec 中，由勾股定理得：cd（3）dead2eccd,29adc413 ；60 ， acd 为等边三角形，accd ,acd60，如图（ 2）所示，将bca绕点 c 顺时针旋转 60°得到ecd ，连接 be ，由旋转性质可得 deab8， bcec15bce60 ，bce 是等边三角形， bebc75 ，又 bedebd ， 即bdbede158 ，即 bd23 ， bd 的最大值为 23【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、

29、旋转、勾股定理、等边三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键8（ 1）问题发现：如图 ， abc 与 ade 是等边三角形，且点b ， d ， e 在同一直线上，连接ce ，求bec 的度数，并确定线段bd 与 ce 的数量关系（ 2 ）拓展探究：如图 ， abc 与 ade 都是等腰直角三角形，bacdae90 ，且点 b ，d ， e 在同一直线上， af beaf ， bf ， ce 之间的数量关系于点 f ，连接 ce ，求bec 的度数，并确定线段答案： （ 1）的度数为，线段与之间的数量关系是；（2）【分析】（ 1）首先根据和均为等边三

30、角形，可得，据此判断出然后根据全等三角形的判定方法，判断出 ，即可判断出，进而判断出 bec的度数为 6解析： （ 1）bec 的度数为 60 ，线段 bd 与 cd 之间的数量关系是 bdce ；（ 2）bfceaf 【分析】（1） 首先根据abc 和 ade 均为等边三角形，可得abac ， adae ，bacdae60 ，adeaed60 ，据此判断出badcae 然后根据全等三角形的判定方法，判断出abd ace，即可判断出bdce ，dbacea 进而判断出 bec的度数为 60°即可；（2） 首先根据abc 和 ade 均为等腰直角三角形，可得abac ， adae，ba

31、cdae90 ，adeaed45 ，据此判断出badcae 然后根据全等三角形的判定方法，判断出abd ace，即可判断出bdce,adbaec进而判断出 bec的度数为 90°即可；最后根据dae【详解】90 ， adae ， afde，得到 afdfef 于是得到结论解：（ 1）因为abc 和 ade 均为等边三角形，所以 abac ， adae ，bacdae60 ，adeaed60 ，所以bacdacdaedac ， 即badcae 在 abd 和ace 中，abacbadcae ，adae所以 abd ace ，所以 bdce ，dbacea 因为点 b ， d ， e 在

32、同一直线上，所以adb18060120 ，所以aec120 ，所以becaecaed1206060 综上可得，bec 的度数为 60 ，线段 bd 与 cd 之间的数量关系是 bdce （ 2 ）因为abc 和 ade 均为等腰直角三角形，所以 abac ， adae，bacdae90 ，adeaed45 ，所以bacdacdaedac ， 即badcae 在 abd 和ace 中，abacbadcae ，adae所以 abd ace ，所以 bdce ，adbaec 因为点 b ， d ， e 在同一直线上，所以adb18045135 ，所以aec135 ，所以becaecaed135459

33、0 因为dae90 ， adae ， afde，易证 afdfef ，所以 bfbddfceaf 9. 在 rt abc中,ab=ac,d为 bc 边上一点 (不与点 b,c 重合 ),将线段 ad 绕点 a 逆时针旋转90°得到 ae.(1)连接 ec，如图 ，试探索线段bc， cd， ce之间满足的等量关系，并证明你的结论； (2)连接 de，如图 ，求证： bd2+cd2=2ad2(3)如图 ,在四边形 abcd中， abc=acb= adc=45°，若 bd=13 ， cd=1，则 ad 的长为 .(直接写出答案）答案： （ 1） bc=dc+e，c 理由见解析；（

34、 2）见解析；（ 3）【分析】（1） ）根据本题中的条件证出 bad cae（sas） , 得到 bd=ce再,可证出结果 .（2） ）由（ 1）中的条件可得 解析： （ 1） bc=dc+ec，理由见解析；（ 2）见解析；（ 3） 6【分析】根据条件即（1） 根据本题中的条件证出 bad cae（sas） , 得到 bd=ce再, 根据条件即可证出结果.（2） 由（ 1）中的条件可得 dce= ace+ acb=90°, 所以 ce2+cd2=ed2,可推出 bd2+cd2= ed2 ,再根据勾股定理可得出结果.（3） 作 aead,使 ae=ad，连接 ce,de可,根据勾股定理

35、求得de.【详解】解：（ 1）结论： bc=dc+ec理由：如图 中, bac= dae=90 ,°推出 bad cae（ sas） ,所以 bd=ce= 13 ,再 bac-dac= dae- dac，即 bad= cae,在 bad 和 cae中,abacbadcae ,adae bad cae（ sas） ;bd=ce,bc=bd+cd=ec+cd, 即： bc=dc+ec.（2） bd2 +cd2=2ad2,理由如下：连接 ce,由（ 1）得， bad cae,bd=ce， ace= b, dce= ace+ acb=90 ,°ce2+cd2=ed2 ,即： bd2

36、+cd2=ed2;在 rt ade中,ad2+ae2=ed2 ,又 ad=ae,ed2=2ad2;bd2+cd2=2ad2;（3） ad 的长为6 (学生直接写出答案） .作 ae ad,使 ae=ad,连接 ce,de, bac+ cad=dae+ cad,即 bad= cae,在 bad 与 cae 中 , ab=ac， bad= cae， ad=ae. bad cae（ sas） ,bd=ce= 13 , adc=45 ,° eda=45 ,° edc=90 ,°de2=ce2-cd2=（ 13 ） 2-12=12,de=23 , dae=90 ,a

37、6;d2+ae2 =de2,ad=6 .【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问 题，属于中考压轴题10. 在直线上次取 a， b， c 三点，分别以 ab， bc为边长在直线的同侧作正三角形，作得两个正三角形的另一顶点分别为d， e（1） 如图 ，连结 cd，ae，求证： cdae ；（2） 如图 ，若 ab1 ， bc2，求 de 的长；（3） 如图 ，将图 中的正三角形bec绕 b 点作适当的旋转，连结ae，若有de2be 2ae2 ，试求 deb 的度数答案： （

38、1）见解析；（ 2）；（ 3） deb30°.【分析】（1） ）欲证明 cd ae，只要证明 abe dbc即可；（2） ）如图 ，取 be中点 f，连接 df，首先证明 dbf是等边三角形，然后证明bd解析： （ 1）见解析；（ 2） de【分析】3 ；（ 3） deb 30°.（1） 欲证明 cd ae，只要证明 abe dbc 即可；（2） 如图 ，取 be中点 f，连接 df，首先证明 dbf是等边三角形，然后证明 bde是直角三角形，再利用勾股定理计算即可；（3） 如图 ，连接 dc，先证明 abe dbc，再利用勾股定理的逆定理证明 dec是直角三角形，得到 d

39、ec 90°即可解决问题【详解】解：（ 1） abd 和 ecb都是等边三角形，ad abbd，bc be ec， abd ebc 60 °， abe dbc，在 abe 和 dbc 中，abbdabedbc ，bebc abe dbc（ sas），cdae；（2） 如图 ，取 be中点 f，连接 df，bdab 1， bebc2， abd ebc 60 °，bf ef 1bd， dbf60 °， dbf 是等边三角形，df bf ef， dfb 60 °， bfd fed fde， fde fed 30 °22 edb 180 &#

40、176;-dbe-deb 90 °，22de bebd213 ；（3） 如图 ，连接 dc， abd 和 ecb都是等边三角形，ad abbd，bc be ec， abd ebc 60 °， abe dbc，在 abe 和 dbc 中，abbdabedbc ，bebc abe dbc（ sas），ae dc，de2 be2 ae2， be ce，de2 ce2 cd2， dec 90 °， bec60 °， deb dec- bec 30 °【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及勾股定理逆定理、等边三角形的性质等知识，寻找全等三

41、角形是解决问题的关键，要学会添加辅助线的方法，属于中考常考题型二、全等三角形手拉手模型11. 已知：在 abc 中， bac=90°， ab=ac，点 d 为直线 bc上一动点 (点 d 不与 b、c 重合)以 ad 为边作正方形adef，连接 cf（1） 如图 1，当点 d 在线段 bc上时，请直接写出线段bd 与 cf的数量关系：；（2） 如图 2，当点 d 在线段 bc的延长线上时，其它条件不变，若ac=2， cd=1，则cf=；（3） 如图 3，当点 d 在线段 bc的反向延长线上时，且点a、f 分别在直线 bc的两侧，其它条件不变： 请直接写出 cf、bc、cd 三条线段之

42、间的关系：； 若连接正方形对角线ae、df，交点为 o，连接 oc，探究 aoc 的形状，并说明理由解析： （ 1） bd=cf；（ 2） 221；（ 3） cd=cf+bc， 等腰三角形，见解析【分析】（1） abc 是等腰直角三角形，利用sas即可证明 bad caf；（2） 同（ 1）相同，利用sas即可证得 bad caf，从而证得 bd=cf，即可得到cf=cd+bc，然后求出答案；（3） 中的 与（ 1）相同，可证明 bd=cf，又点 d、b、 c共线，故： cd=bc+cf； 由（ 1）猜想并证明 bd cf，从而可知 fcd为直角三角形，再由正方形的对角线的性质判定 aoc三边

43、的特点，再进一步判定其形状【详解】解：（ 1）证明： bac=90°， ab=ac， abc= acb=45 ，°四边形 adef是正方形，ad=af， daf=90 ，° bac= bad+dac=90 ，° daf= caf+ dac=90 ，° bad= caf，在 bad 和 caf中，abacbadcaf ，adaf bad caf（ sas），bd=cf，（2） 与（ 1）同理，证 bad caf；bd=cf，cf=bc+cd，ac=ab=2， cd=1， bc222222 ，cf=221；（3） bc 、cd 与 cf的关系： c

44、d=bc+cf理由：与（ 1）同法可证 bad caf，从而可得： bd=cf，即： cd=bc+cf aoc 是等腰三角形理由：与（ 1）同法可证 bad caf，可得： dba= fca， 又 bac=90°， ab=ac， abc= acb=45 ，° 则abd=180°-45 °=135 °， abd= fca=135° dcf=135 -4°5 =°90 ° fcd为直角三角形又 四边形 adef是正方形，对角线ae 与 df 相交于点 o，1oc= 2 df，oc=oa aoc是等腰三角形【点

45、睛】本题考查了等腰三角形、正方形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，一般情况 下，要证明两条线段相等，就得证明这两条线段所在的两个三角形全等，关键是掌握图形特点挖掘题目所隐含的条件12. （ 1）小迪同学在学习圆的内接正多边形时，发现：如图1，若 p 是圆内接正三角形abc的外接圆的 bc 上任一点，则apb60 ，在 pa上截取 pmpc ，连接mc ，可证明mcp 是 （填 “等腰 ”、“等边 ”或“直角 ”）三角形，从而得到pcmc ，再进一步证明pbc，得到 pbma ，可证得：（2） 小迪同学对以上推理进行类比研究，发现：如图2，若 p 是圆内接正四边形abcd的外接圆的 bc 上任一点，则apbapd°，分别过点dnap于 n b, d 作 bmap 于 m 、（3） 写出pb, pd 与 pa 之间的数量关系，并