偏导数与方向导数

1、第5讲 偏导数与方向导数本节主要内容第二节 偏导数1. 偏增量与全增量 2.偏导数的定义 3.偏导数的几何意义4.高阶偏导数：二阶或二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.第七节 方向导数与梯度1 数量场与向量场的概念2 方向导数及其定义3 梯度的概念4 梯度的运算性质及应用讲解提纲：第二节 偏导数一、 全增量与偏增量分别称为二元函数对和对的偏增量；称为二元函数在点的全增量.二、 偏导数的定义及其计算法 设函数在点的某一邻域内有定义当固定在而在处有增量时，相应地函数有偏增量如果存在，则称此极限为函数在点处对的偏导数，记作类似地，函数在点处对的偏导数定义为，记作 关于多元函数的偏导数，我们补充以下几点

2、说明：1对一元函数而言，导数可看作函数的微分与自变量的微分的商. 但偏导数的记号是一个整体. 2与一元函数类似，对于分段函数在分段点的偏导数要利用偏导数的定义来求. 3在一元函数微分学中，我们知道，如果函数在某点存在导数，则它在该点必定连续. 但对多元函数而言，即使函数的各个偏导数存在，也不能保证函数在该点连续. 三、偏导数的几何意义 偏导数的几何意义：偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率；偏导数表示曲面被平面所截得的曲线在点处的切线对轴的斜率 四、高阶偏导数 函数的二阶偏导数的概念，两个二阶混合偏导数及与求导次序无关的充分条件.例题选讲： 偏导数的定义及其计算法例1 求的偏

3、导数.解：例2 设 求证 .解：设 求其偏导数得 则有 得证.例3 求三元函数的偏导数.解：例4 求的偏导数.例5 函数 的偏导数存在，但在点不连续. 高阶偏导数例6 设, 求解：因为则 例7 设, 求 .解：因为 所以 例8 求的二阶偏导数.例9 验证函数 满足方程.证明：因为 显然满足例10 证明函数满足拉普拉斯方程,其中 .例11 设 , 试求 及课堂练习1.若函数在点连续, 能否断定在该点的偏导数必定存在?2.求在点(0, 0)的一阶偏导数. 3.设试求及第七节 方向导数与梯度 一、场的概念： 数量场：如果对于空间区域内的任一点，都有一个确定的数量则称在空间区域内确定了一个数量场（例如

4、温度场，密度场等）.向量场：如果与点相对应的是一个向量，则称在这空间区域内确定了一个向量场（例如力场，速度场等） 二、方向导数 定理1 如果函数在点是可微分的，则函数在该点沿任一方向l的方向导数都存在，且 其中为方向l的方向余弦. 三、梯度的概念：函数在某点的梯度是这样一个向量, 它的方向与取得最大方向导数的方向一致, 而它的模为方向导数的最大值.梯度运算满足以下运算法则：设可微，为常数，则（1） gradgrad grad ;（2） grad grad grad ;（3） grad grad .例题选讲： 方向导数例1 求函数在点到点的方向的方向导数.解：方向 例2 求函数 在点沿与轴方向夹

5、角为的方向射线的方向导数. 并问在怎样的方向上此方向导数有 (1) 最大值; (2) 最小值; (3) 等于零?例3 求函数在点处沿方向角为的方向的方向导数.例4 求 在点沿方向的方向导数, 其中的方向角分别为60, 45, 60.例1 求函数在球面上点处,沿球面在该点的外法线方向的方向导数.解：记 指向球面的外侧.于是 又 故例6 (1) 求 (2) 设, 求.例7 求函数 在点处的梯度, 并问在哪些点处梯度为零?例8 试求数量场所产生的梯度场,其中常数 为原点O与点间的距离.例9 设为可微函数,求 梯度的概念例10 设求及 例11求函数在点处沿哪个方向的方向导数最大? 最大值是多少.解：方向导数最大的方向