第19章第06课时矩形的性质

1、人教版八年级学案41董耀波第6课时矩形的性质(1)【目标导航】1.理解矩形定义，掌握矩形的性质，能用矩形的性质解决简单的实际问题.2 .经历探究矩形性质的过程，通过直观操作和简单推理发展学生的推理论证能力，培养学生的主动探 究习惯.3 通过探究括动，激发学生的学习兴趣，渗透转化思想，学会类比的研究方法体会矩形的内在美和 应用美.【要点梳理】1.有一个角是的平行四边形叫矩形.2 . (1)矩形的四个角都是.(2)矩形的对角线.【问题探究】86cm,例1:如图1，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是 对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少 ？图3变式:例2.(1

2、)(2)相邻两边的差是1 cm，那个矩形的面积是 .的两条对角线相交于点 O,/ AOD = 120 AB = 4cm.已知矩形的周长是 14 cm , 已知：如图2,矩形 ABCD 判断 AOB的形状； 求矩形对角线的长.ijl| H变式:=60如图3,在矩形ABCD中,，则/ COE =,对角线交于点 O, DE平分/ ADC , / AOBf；ABCD中，AB = 3, BC = 4, BE丄AC于E .试求出 BE的长.变式：（2010青海西宁）如图 点，且 AB = 6, BC = 7,5,矩形ABCD中，E、F、M为AB、BC、CD边上的 AE = 3, DM = 2, EF 丄

3、FM，贝U EM 的长为（）.J)矩形具有一般平行四边形不具有的性质是 A .对边相互平行B .对角线相等如果矩形的两条对角线所称的钝角是A . 3 : 2 B . 2 : 1如图6, E为矩形ABCD120C. 1.5 : 1的边BC的中点，且/【课堂操练】）C .对角线相互平分D .对角相等，那么对角线与矩形短边的长度之比为（D.1 : 1BAE = 30 AE = 2，贝U AC 等于(B. 22IfF图5C. 76图6图7在矩形ABCD中，对角线 AC、BD相交于点0, 已知矩形 ABCD , E是DC上一点，/ AEB = 90若/ AOB = 110 则/ OAB =,/ CBE

4、= 30 BE = 4,则矩形周长 如图7,矩形ABCD中，E为AD上一点，EF丄CE交ABCE = EF,贝U AE =.如图8,在矩形 ABCD中，点E是BC上一点，AE = AD , 哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上， （写出一条线段即可）于F,若DE = 2,矩形的周长为16,且DF丄AE，垂足为F。线段DF与图中的 然后再加以证明。即DF =。图88 .如图9,矩形ABCD中，AE丄BD ,/ DAE :/ BAE = 3 ： 1,求/ BAE、/ EAO 的度数.图9C. 5cm对角线的交点D. 6cm0,且分别交 AB、CD于E、F,那么阴影部分的面积是13C

5、中，AB = 1 , AD =眼,AF平分/ DAB，过C点作CE丄BD于E于E,延）如图11,在矩形 ABCD长AF、EC交于点H，下列结论中：AF = FH ，B0= BF :CA = CH ; BE = 3ED，正确的（ A .B .填空题（每题 5分，共如图12,在矩形ABCD6.AFEC的面积为C . D .25分）中，AB = 3, BC = 2, E为BC中点，F在AB上，且BF = 2AF，则四边形【每课一测】一、选择题（每题 5分，共25分）1.在矩形中，对角线具有的性质是（A .相等且互相垂直B .相等且互相平分C .互相垂直且互相平分D .互相垂直且平分内角2 .如果矩形

6、两条对角线所成的钝角为120 那么对角线与矩形短边的长度之比为（A . 3 : 2 B . 2 : 1 C. 4 : 3 D. 1 : 13 .形的面积是12 cm2, 边与一条对角线的比为3 : 5,则这个矩形的对角线的长为（A . 3cmB . 4cm4 .如图10 , EF过矩形ABCD7.矩形ABCD的对角线交于点 0,过点A作AE / BD交CB的延长线于点E,若/ B0C = 60 BD -3则 ACE的周长为.8.矩形ABCD的对角线 AC、BD相交于 0,/ AOB = 4/ BAO，若对角线 AC = 18cm,则AD =9 .在矩形 ABCD 中，E 为 CD 上一点，AE

7、 = AB，若/ EBC = 15 贝U AB : BC =.10.矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 0, AE 丄 BD 于 E,若 0E ： ED = 1 : 3, AE = 73，贝U BD三、解答题（每题 10分，共50分）11.如图13,矩形ABCD中，AC、BD相交于点 0，AE平分/ BAD交BC于点E,若/ CAE = 15 求/ B0E的度数.图14E点.图1312.如图14,在矩形 ABCD中，点E在AD上, EC平分/ BED(1 ) BEC是否为等腰三角形？为什么？(2 )若 AB=1,/ ABE=45，求 BC 的长.13.如图15,四边形 ABCD是矩

8、形，过 A点作AE / BD，交CB的延长线于(1) 猜想：图中的 ACE是三角形；(2) 证明你的猜想.P在矩形上方，点Q在PDAQ14.如图16,四边形ABCD是矩形， PBC和QCD都是等边三角形，且点 矩形内.求证：(1)/ PBA= / PCQ=30 ; (2) PA=PQ.图16上.设F、H分别是B、15.如图17, ABCD是矩形纸片，翻折/ B、/ D，使BC、AD恰好落在ACD落在AC上的两点，E、G分别是折痕 CE、AG与AB、CD的交点.(1) 求证：四边形 AECG是平行四边形；(2) 若 AB = 4cm, BC = 3cm,求线段 EF 的长.【参考答案】【要点梳理

9、】1 .直角.2 . (1)直角；(2)相等.【问题探究】例1.解： AOB、 BOC、 COD和 AOD四个小三角形的周长和为 86cm, 又 AC = BD = 13cm (矩形的对角线相等)，34cm.xcm，另一边为ycm，根据题意得AB+BC+CD+DA = 86-2(AC+BD) = 86-4 X 1 3 = 3 4 ( cm), 即矩形ABCD的周长等于解：设矩形的一边为变式：2x2214，解得Xy 12S= 3 X 4= 12 cm2. 例2.解：（1 ）四边形 ABCD是矩形， AC = BD （矩形的对角线相等）.11 OA = OC = - AC , OB = OD =

10、- BD （平行四边形的对角线互相平分），22OA = OB = OC = OD ./AOD = 120 / AOB = 60 AOB 是等边三角形.（2） AB = 4 cm, AC = BD = 2AB = 8 cm .变式：提示：由 DE平分/ ADC及矩形的对边平行知 DC = CE,又 COD是等边三角形，因此 0C =CE，再由/ ACB = 30。可得/ COE = 75例3：解：在矩形 ABCD中，/ ABC = 90,AC = JABBC = J3 4 = J25 = 5（勾股定理）.1又 Sa ABC = - AB-BC =2ABgBC _ 3 4BE =AC1AC-BE

11、,=2.4.5EN丄DC，垂足为 N .在 Rt EMN中，MN = 1, EN = 7,根据勾股定理即可求出EM变式：B.解析：过点的长.【课堂操练】1 .答案：B解析：对角线相等和四个角等于90是矩形的特征.2. 答案：B3. 答案：D解析：由 AE = 2,/ BAE = 30 / B = 90，可知 AB =, BE = 1 , BC = 2,在 RtA ABC 中运用勾 股定理可知：AC = J7 .4.答案：35 解析：矩形ABCD被两条对角线分成的四个三角形是等腰三角形.5.答案：84J36 .答案：3解析：四边形 ABCD 是矩形，/ A = / D = 90 AD = BC

12、, AB = DC/ CE 丄 EF, / AEF + /DEC = 90 又AEF + /AFE = 90/ AFE = / DEC ,又 EF = CE , AEF DCE , AE= DC又 AB +BC+ DC + AD = 16,a AD + DC = 8,a AE+2 + AE= 8,a AE = 37 .答：DF = AB理由：四边形 ABCD 为矩形，/ DAF =/ AEB , / B= 90 / AE = AD , / B = / AFD ADF EAB , DF = AB8 .V四边形 ABCD是矩形11/ DAB = 90 AO= AC , BO = BD , AC=

13、BD22/ BAE +/ DAE = 90, AO = BO .又/ DAE :/ BAE = 3 : 1 ,/ BAE = 22.5/ DAE = 67.5 / AE 丄 BD , / ABE = 90-/ BAE = 67.5 / OAB =/ ABO = 67.5 / EAO = 67.5 22.5 = 45【每课一测】1 .答案：B2 .答案：B3.答案：C解析：设这边和这条对角线长分别为解析：如图，在矩形 ABCD中， AOB是等边三角形3x和5x，则另一条矩形边长为4X,根据矩形的面积可求得：x =5cm.4 .答案：B DOF与 BOE全等，图中阴影部分面积等于 AOB的面积,解

14、析：矩形是一个中心对称图形，因此 而三角形 AOB的等于矩形面积的一半.5答案：D解析：先由AB = 1, AD =屈得出 AOB是等边三角形， ABF是等腰直角三角形.6 .答案：59AOB = 4/ BAO和矩形的对角线相等且互相平分，可证明/OAB = 30,即可证明 AOD7 .答案：8.答案：解析：由/ 为等边三角形.9 答案：2 : 1 8需10. 答案：4或妙5 解析：分 AB AD和AB AD两种情况讨论.11. 分析：由矩形的性质知 AO = BO = CO= DO,因此可证得 AOB是等边三角形， BOE是等腰三 角形.解： 四边形ABCD是矩形， / DAB =/ ABC

15、 = 90, AO = OB ,1/ AE 平分/ BAO , / BEA =/ BAD= 45,2 BA = BE/ / CAE= 15,a/ BAC= 60, ABC为等边三角形.OB= AB= BE, / ABO= 60, / OBE= 30,1 / BOE= (180 -/ OBE = 75 .212 .解：(BEC是等腰三角形. EC平分/ BED/ BEC=/ DEC又四边形ABCD是矩形， AD/ BC,/ BCE=/ DEC/ BEC=/ BCE BE= BC.(2)/ ABE=45，/ AEB=45 , AE= AB= 1, BE= J# 12，又由(1)知 BC= BE B

16、O.13. (1)猜想：图中的 ACE是等腰三角形.(2)证明：四边形 ABCD 是矩形， AD / BC , AC = BD AE / BD，四边形 AEBD是平行四边形 AE = BD , AE = AC ACE是等腰三角形.14. (1 )四边形 ABCD 是矩形，/ ABC= / BCD=90 PBC和 QCD是等边三角形，/ PBC = / PCB = / QCD=60 ,/ PBA = / ABC-/ PBC=30,/ PCD = / BCD-/ PCB=30 ./ PCQ = / QCD-/ PCD=30 ./ PBA = / PCQ=30 .(2) AB=DC=QC，/ PBA= / PCQ , PB=PC, PABN PQC , PA=PQ .115.( 1)在矩形 ABCD 中， AD /