立体几何中的常见题型及基本思路

1、立体几何中的常见题型及基本思路解决一切空间几何问题的核心目标是把空间问题转化为平面问题。1.线线平行（是线面平行和面面平行的基础 ）的证明思路：（1）找到或者构建含两线的平行四边形（2）看两直线是否构成一个三角形的中位线或者等分线的关系（3）垂直于同一平面的两直线平行。即：若 a壽,b二则a/b.（4）平行于同一直线的两直线平行。即：若 a/b,b/c则all c（5）线面平行性质得到线线平行：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和已知平面相交，那么这条直线和交线平行。即: 若 a/ - ,a - ,且:-"-二 b,则a/b .（6）面面平行性质得到线线平行：两平行平面与

2、同一个平面相交， 那么两条交线平行。即：若：/厂且= a,w=b,则a/b（7）如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线与这两个平面的交线平行。即若 a/: ,a/ -,且-一：=b,则a/b。2线面平行的证明思路：（1）定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平 行（不常用）。（2）判定定理：在平面内找到一条和已知直线（在平面外）平行的 直线。即：若 a 二，b 二：s 且 a/b,则 a/:（3）由面面平行得到的线面平行：两个平面平行，其中一个平面内 的直线平行于另一个平面，即：若/厂且a :-,则a/"。例见T9山东12年高考(4) 如果一个平面和平面外的一条

3、直线都垂直于同一平面，那么这条直线和这个平面平行.即若_ :,a_ 二则a/。(5) 如果两条平行直线中的一条平行于一个平面，那么另一条也平 行于这个平面(或在这个平面内)，即若a / b, a /a ,b /a (或b a )(6) 两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行，也与另一个 平面平行，即若a / B月二a , a二B , a/ a，贝y a / B .(7) 如果一条直线与一个平面垂直，则平面外与这条直线垂直的直 线与该平面平行，即若 a丄a ,b a , b丄a,贝y b / a .(8) 在一个平面同侧的两个点，如果它们与这个平面的距离相等，那么过这两个点的直线与这个平面平

4、行，即若A" a , B a , A、B在a同侧，且A、B到a等距，则AB / a .3面面平行的证明思路：(1) 定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无 公共点=a / B .(不常用)(2) 判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若 a,b a , an b=P,a/ 3 ,b/ 3，则a /B .(3) 垂直于同一直线的两平面平行即若a丄a, 3丄a,则a / 3 .(4) 平行于同一平面的两平面平行.即若a / 3 , 3 / Y ,则a / Y .(5) 一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线， 则这

5、两个平面平行，即若a,b a ,c,d 3 ,an b=P,a/ c,b/ d,则a / 3 4.线线垂直(是线面垂直和面面垂直的基础)的证明思路：(1) 勾股定理(2) 等腰三角形底边上的中线与底边垂直(3) 矩形(正方形)临边，菱形(正方形)对角线相互垂直(4) 线面垂直性质(a _ ,b二卅a _ b)(5) 定义：若两直线成90°角，则这两直线互相垂直.(6) 条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直.即 若b II c,a丄b,则a丄c(7) 三垂线定理和它的逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直.(8) 如果一条直线与

6、一个平面平行，那么这条直线与这个平面的垂 线垂直.即若a I a ,bX a，则a丄b.(9) 三个两两垂直的平面的交线两两垂直，即若a丄B邙丄丫，丫 丄 a，且 a A p =a, p A y =b, y n a 二c,贝U a丄 b,b丄 c,c丄 a.例见T8陕西12年文，T14安徽12年文5线面垂直的证明思路：(1) 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。即：若m a , n a , mA n=A , l丄 m,l丄n，则l丄a(2) 找一个面或者线的平行面或者线，将问题转化：I :,a _ _ 或 a I b, a .= b _(3) 面

7、面垂直性质：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面。即：:；p| ：二 b, a 二：；，a _ b= a -:(4) 定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条 直线和这个平面垂直.(不常用)(5) 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直 于同一平面.即若l / a,a丄a则I丄a .(6) 条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一 个平面，即若a / B ,1丄B，则I丄a .(7) 如果两个相交平面都垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直 于第三个平面，即若a丄Y , B丄丫，且aA B = a贝y a丄Y .6

8、. 面面垂直的证明思路：(1) 判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这 两个平面互相垂直。即：y-,a _=-.-(2) 定义法(二面角是直角)：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直。即：二-a - ： =90 ：=:-:(3) 个平面垂直于两个平行平面中的一个，也垂直于另一个。即： 若aB, a丄丫，贝卩 B丄丫例见T6天津12年文科7. 求角：一作二证三计算(1) 线线角(异面直线所成角)转化成相交直线，并且交点往往取其中一条直线的端点或中点(2) 线面角射影转换法：做垂线、找射影，求夹角（3）二面角 定义法：在两平面内分别做交线的垂线，解三角形、 三垂线法 垂面法8. 求体积：例见T8陕西12文，T10湖南12文，T11广东12文9. 折叠：例见T13北京12文10. 最值:例见福建12文11交点与交线问题：1）线面交点：求直线a与平面的交点，可通过直线a做一个平面 二且与的交 线记为b,则a与b的交点即为直线a与平面的交点2）面面交线： 在两个平面内找到两个公