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文档简介
1、第10讲导数概念与运算C竅祈i话二聶立足救材追根求源知识梳理1. 导数的概念函数y= f(x)从xi到X2的平均变化率函数y= f(x)从xi到X2的平均变化率为 J , 若 Ax= X2 xi, Ay= f(X2) f(xi),则平 X2 X1均变化率可表示为汽Ay设函数y= f(x)在区间(a, b)上有定义,X0 (a, b),当Ax无限趋近于0时,比值aX= f(x0 + A f(X0无限趋近于一个常数 A,则称f(x)在点x= xo处可导,并称常数 A为函数f(x) 在点x= Xo处的导数,记作f(Xo).(3)函数f(x)在x= xo处的导数就是曲线 y= f(x)在点P(Xo,
2、f(Xo)处的切线的斜率,即曲线y =f(x)在点 P(Xo, f(Xo)处的切线的斜率 k = f(xo),切线方程为 y f(xo) = f' (xo) (x xo).做一做1若f' (X)是函数f(x) = 3x3 + 2x+ 1的导函数,贝y f' ( 1)的值为 .解析:f'(x) = /+2,故 f'( 1) = 3.答案:32. 导数的四则运算法则 若u(x), v(x)的导数都存在,贝y(1) (u ±/)' = u推广:(U1 + U2+ Un) = u ' 1+ u 2+ u n;(2) ( u v)'
3、; = uv+ u v;u u v uv (3) (V)=v2(v 丰 o);(4) ( mu)' = mu'(其中 m 为常数).做一做2 .若 f(x) = X2 2x 4ln x,贝U f(x)>o 的解集为.4 解析:由题意x>0,且f'(x) = 2x 2 -.X42令 f'(x)>o,贝y 2x 2 ->o,所以 2x2 2x 4>o ,解得x< 1或x>2,又x>o,所以x>2.答案:(2 ,+s )3求下列函数的导数.(1) y= (1 /X)(1 + 土(2) y= 3-e-鸟乂十 e.解:
4、(1)因为 y= (1 &)£ + ;=扌讥二x2 X2," " 11"所以 y=X-2)X2)=iX-2 2x 2.(2) y ' =(3-e-) ' -(2-) ' +3 ' =3-) e- + 3-(e-)2-) 召 n 3)3-e- 2-ln 2 = (In 3 + "(erA.2 In 2.要点整合1.必明辨的2个易错点曲线y= f(x)“在点P(X0, yo)处的切线”与“过点 P(X0, yo)的切线”的区别与联系.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆. 练
5、一练X曲线 f(x)= X+2在点(-1-1)处的切线方程为x+ 2 X 22解析:易知点(一1, 1)在曲线上,且f'(x)=2 =,所以切线斜率f'( - 1) = 1(X+ 2)(X+ 2)1=2.由点斜式得切线方程为y+ 1 = 2(x+1),即y= 2x+ 1.答案:y= 2x+ 12. y=ln的导数为.x1 ,解析:y'(In x 'x-x1n x x x ln x 1 In x2 =x答案:3x练一练3.求下列函数的导数.五+x5+ sin x (1)y=2.常用的8个结论 基本初等函数的导数公式:原函数导函数f(x)= c(c为常数)f'
6、; (X) = 0f(x) = X (a为实数)f' (x) = axa 'f(x) = sin Xf' (x) = cos Xf(x) = cos Xf' (x)= sin XXf(x)= a (a>0 , aM 1)Xf' (x) = a In af(x)= exf' (x)= exf(x) = Iogax(a>0, am 1)f' (X) = |',xin af(x) = In X, 1 f' (X)=-',Xx2;1 . 1y= 1/x +;cos 2x32 , 3 , sin x r= x_
7、2+ x + 2-,xx '(3) y=., sin x+ cos xX2 + x5 + sin x解: (1)因为 y=3所以 y'=x-2)'十X2 , c 2 c 3 .,2 =-2* - + 3x - 2x - sin x+ x - cos x.)'十X-2sin x)'51(2)因为 y=13&+1x=二,所以y' u -xJ,- 2(1-x )(1 - x1cos 2x(3) y= cos x- Sin x,sin x+ cos x所以 y'=in x- cos x.-4:典例展示考点突破)考点一利用定义求函数的导数解
8、Ay = f(1 + Ax) - f(1)=卩-所以f'(1)=利用导数的定义求函数y= f(x)在x = xo处的导数的求解步骤:W + Ax'-Ax寸1+ Ax寸1+ Ax(1 +yj 1 + Ax所以Ax因为当AxT0时,寸 1 + Ax(1 + yl 1+ Ax )1© + Ax(1 +0+ Ax)-丄2,方法归纳彳心冃匕什a町卿ft们当1.函数 y= x+1 在x,Xx+ Ax上的平均变化率号=;该函数在x= 1处的导数是1解析:因为Ay= (x+Ax) +1x- x+ Axx= Ax+-Axx+ AxxAx +x(x + Ax )所以A=1-.y |x=1
9、 = 0. x(x + Ax )答案:1- K) 0考点二 导数的运算(高频考点)x求下列函数的导数.(1)y= e 怡 x; y4 xf+x+ xOx2x(3)y= sin2 (1 - 2cos 4).11yyyIy|解(1)y'=e ln x)'=ln x+ e x= e (ln x+ -).XX因为 y= X3+ 1 +4,所以 y' =3x2-X3.XX.,XX 1(3) 因为 y= si门2( COS2)= 2Sin x,所以 y'sin x)'=(sin x)'=cos x.方法归纳(1)求导之前,应利用公式、定理等对函数进行化简,然
10、后求导,这样可以 减少运算量,提高运算速度,减少差错.(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式,但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简,然后进行求导,有时可以避免使用商的求导法则,减少运算量.2.求下列各函数的导数:/八cos 2x(1) y=.;sin x- cos x2(2) y= 3x + xcos x;X2+ 1y= 丁解:因为cos 2x,.、y=- (cos x+ sin x),sin x- cos X所以 y'=sin x-cos x.(2) y'=6x +(X)'cos x+x(cos x)'=6x + cos x- xsin x.22(
11、x+1)'x-(x +1)(x y法一:y''一2x2- X2- 11=2= 1 飞XXX2+ 1因为y =法二:所以y考点三=42.x导数的几何意义学生用书P39¥盜0幣已知函数 f(x)= X3 - 4x2+ 5x 4.(1) 求曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程;(2) 求经过点A(2 , - 2)的曲线f(x)的切线方程.解因为 f'(x) = 3x2 - 8x + 5,所以(2) = 1 ,又 f(2) =-2,所以曲线f(x)在点(2, f(2)处的切线方程为y(- 2) = x- 2, 即 x- y- 4 = 0.设切点坐标为(
12、X0, x3-4x0+ 5X0 4),曲线y= f(x)在点P(xo, f(xo)处的再依据已知点11),则过该点的切线斜率为ki = f'(a)= 飞a则切线方程为y1 = a(x a).1 1a=?(1a),将Q(1,0)代入上面方程,得 01解得a=1故所求切线方程为y= 4x+ 4.1(3)设切点坐标为B(b, b),1 1则切线斜率为k2= *= 3, 所以 b(V3,当 )或B(-込, 或 x+3y+ 2逅=0.解得b= ±3,普),代入点斜式方程得所求切线方程为x+ 3y 3= 0(名师讲坛素养提升)方法思想一一等价转化思想在求导中的应用因为 f(xo)= 3x
13、0 8X0+ 5,所以切线方程为 y ( 2)= (3x0 8x0+ 5)(x 2),又切线过点(X0, x3 4x2+ 5X0 4),所以 x0 4x2+ 5X0 2 = (3x0 8x0+ 5)(X0 2), 整理得(X0 2)2(x0 1) = 0,解得 X0= 2 或 X0= 1,所以经过A(2, 2)的曲线f(x)的切线方程为X y 4 = 0或y+ 2= 0.名师点评导数几何意义的应用,需注意以下两点:(1) 当曲线y= f(x)在点(X0, f(x0)处的切线垂直于X轴时,函数在该点处的导数不存在,切线方程是X= X0;(2) 注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.切线方
14、程是y f(x0) = f'(X0)(x X0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标, 在切线上求解.<3霆砂3.已知曲线yJX(1) 求曲线在点P(1,1)处的切线方程;(2) 求曲线过点Q(1,0)的切线方程;(3) 求满足斜率为一1的曲线的切线方程.解:(1)因为y(=-2,又P(1,1)是曲线上的点,所以P为切点,所求切线的斜率为 k= f(1) = 1. 所以曲线在P点处的切线方程为 y 1 = (x 1), 即 y= x+ 2.显然Q(1,0)不在曲线y = -上,则可设过该点的切线的切点为A(a,x(1) y=1X + 曰X ;x5+ 击+ sin X(2) y=
15、.1+寸X 1寸X (1 +寸(12 + 2x 4解(1)y= +=丄+=2,1Y X 1+ 寸 X1 X1 X 1 X 1 X所以y严2' 土屮-亠1 xf33m亠 3 ,2 , sin X 3 ,2 ,2(2)因为 y= X + x +h = X + x + sin x x,X35所以 y'=x3 + x2+sin x x 2)'=x2 |x 2+ cos x x 2+ ( 2x 3)sin xQ-X 丿(1X)c 23, cos X 2sin x2 奴X X ,比,、 , c2 3 cos X 2s in x 所以 y =x+ 丁 二-.感悟提高有些函数经过转化以
16、后会使函数式更为简洁,这样易于求导.因此,我们 做题应注意分析题目结构,进行恰当变形,这也是数学中的等价转化思想体现.在求导过程 中要熟记和、差、积、商的求导法则,特别是积、商的求导法则不要记错.4 114 X=;12x = -x 2x2 + 1x X2+ 14 砌?H缔4.求y= In f X的导数.解:因为y= 4ln X如(X2 +1),所以5.求 y= X sin|cos|的导数.X X1解: y= X sincos = X sin x.1 -cos X.f 1、1所以 y'=x sin X丿="(sin x)= 以练促学强技提能基砒达标1.函数 f(x)=(X +
17、2a)(x a)2 的导数为 .解析:f'(x) = (x a)2 + (x+ 2a)2(x a) = 3(x2 a2).答案:3(x2 a2)2 .已知曲线y= X4+ ax2 + 1在点(一1, a+ 2)处切线的斜率为 8,贝U a=.解析:y'Nx3 + 2ax,由导数的几何意义知在点(一1, a+ 2)处的切线斜率k= y'k=-1 = 4 2a = 8,解得 a = 6.答案:63.已知 f(x)= x(2 015 + In X), f(xo) = 2 016,贝U xo =.解析:由题意可知 f'(x) = 2 015 + ln x+ X1 = 2
18、 016 + ln x.由 f'(X0)= 2 016,得 ln X0= 0,X解得X0= 1.答案:14 .若曲线y= ax2 In x在点(1, a)处的切线平行于 x轴,则a =解析:11因为 y'=2ax-,依题意得 y|x= i= 2a 1 = 0,所以 a= 2.X2答案:5.设解析:12 f(x) = xln X,若 f '(X0)= 2,则 xo 的值为.由 f(x) = xln X得 f '(x) = In x+ 1.根据题意知In X0+ 1= 2,所以In X0= 1,因此X0 = e.答案:e 6已知 f(x)= X2 + 2xf
19、9; (1),贝y f ' (0) =.解析:因为 f (x) = 2x+ 2f '(1),所以 f '(1) = 2+ 2f (1),即 f (1) = 2.所以 f '(X) = 2x 4.所以 f '(0) = 4.答案:47.已知函数y= f(x)及其导函数y = f ' (X)的图象如图所示,贝9曲线 y= f(x)在点P处的切线方程是 .解析:根据导数的几何意义及图象可知,曲线y= f(x)在点P处的切线的斜率 k= f (2) = 1,又过点P(2,0),所以切线方程为 X y 2 = 0.答案:X y 2 = 0&若以曲线
20、y= x3+ bx2 + 4x+ c(c为常数)上任意一点为切点的切线的斜率恒为非负数,3则实数b的取值范围为.解析:y ' =2 + 2bx + 4,因为y'>0恒成立,所以 = 4b2 16W 0,所以一2< b< 2.答案:2,2y10/9 .设函数f(x)的导数为f (X),且f(x)= f'x+ cos X,贝U f'解析:因为 f(x)= f'(nsin x+ cos x,f (x) = f'(2)cos x sin x,f '(p=f '(ncosnsinn 即 f'(=1, f '
21、(x) = sin x cos x,所以所以所以故f (4)=cos;sin 4=返答案:10.已知函数 f(x), g(x)满足 f(5) = 5, f' (5) = 3, g(5) = 4, g ' (5) = 1,则函数 y=(厂 gx) 的图象在x= 5处的切线方程为 .ffx H 2解析:由y= 匚=h(x),知g(x)f(xg(x (f(x 片 2g(X)y =h (x) =2,.,g (x)/曰 5 f'(5g(5 (f(5 片 2g'(5)得 h (5) =2._ .3 X 4 (5 + 2 X 15=4= 16.f(5 什 2 5 + 27又
22、h(5) = 1= = ;, g(5)4475所以切线方程为y 7 = (x 5),4 16即 5x 16y + 3= 0.答案:5x 16y + 3= 011.求下列函数的导数.(1) y= x tan x;(2) y= (x+ 1)(x + 2)(x + 3).解:(1)y'=xtan x) '=tan x+ x(tan x)'2 , . 2/Sin 八COS x+ Sin x2COS x=tan x + x n x+ x9os X 丿x=tan x + .cos x y'=x + 1) '(x + 2)(x + 3) + (x+ 1)(x + 2)
23、(x + 3) '=x + 2)(x + 3) + (x+ 1)(x + 2) + (x +21)(x + 3) = 3x + 12x + 11.112.已知点M是曲线y = 3x3- 2x2 + 3x+ 1上任意一点,曲线在 M处的切线为I,求:3(1)斜率最小的切线方程; 切线I的倾斜角a的取值范围.解:(1)因为 y'気2 4x+ 3= (x-2)2- 1 > - 1,5所以当 x = 2 时,y/p-, y= 5, 所以斜率最小的切线过点(2, 3)斜率k=- 1,11所以切线方程为X+ y 5= 0.(2)由(1)得 k> 1, 所以 tan a>
24、1, 所以妖0, n¥,能力捉升1.若曲线y= x2+aln x(a>0)上任意一点处的切线斜率为k,若k的最小值为4,则此时该切点的坐标为.解析:y= x2+aln x的定义域为(0+),由导数的几何意义知y'=2x+a>2辰=4,贝y a= 2,x当且仅当x= 1时等号成立,代入曲线方程得y= 1,故所求的切点坐标是(1,1).答案:(1,1)2 .已知函数 f(x) = x(x- 1)(x- 2)(x- 3)(x- 4)(x- 5),贝U f' (0) =.解析:f'(x) = (x- 1)(x- 2)(x- 3)(x-4)(x- 5) +
25、x(x- 1)(x-2)(x- 3)(x- 4)(x- 5)',所以 f'(0) = (- 1)X (-2) X ( 3) X (-4) X ( 5) = 120.答案:1203. 设P是函数y = 7x(x + 1)图象上异于原点的动点,且该图象在点为0,贝y 0的取值范围是.解析:因为y' =x- l(x + 1) + & =学+ 妒 2则在点P处的切线的斜率kA羽,所以 tan 0>V3, 又 00, n ,故 0扌,n).答案:【n,2)4. 已知 f1(x) = sinx+ cos x,记 f2(x) = f1' (x), f3(x)= f2' (x),, nA2),贝yf2in+ f2。砒卜.解析:f2( x) = f1 '(X)= cos x- sin x, f3(x)= (cos X sin x)' =-sin x cos x, f4(x)= cos x+sin X, f5(x
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