第二章矩阵部分2考研精讲

1、第二章矩阵1、与矩阵乘积有关题目1）矩阵乘法一般不满足交换律2）与任何同阶矩阵可交换的矩阵是数量矩 阵例 1 .设 a =（31,32,an）0求 A = aT P,B = PaT及AK解 AtP = （b1，b2,bn）ababQbn fa2bi1a2b21a2bn10nbianb2 anbn 丿bla2:佝4,bn）B=PaT =（mb2,bn）31a2= a1b1 +a2b2 + ananAk =（aTp）（xT P）（LP）（aTP） T（PaT）（paT）T）p= aT（a1b1 中+anbn）KP =（a1bi 中anbn）32ka3丿L是d的转置，-1J1-1-11丿则 aTa

2、=解：-11、得2a1a2a -11-1a2a12a2a2a3J-11丿a3a1asa?2a3丿故 aa T =3练习：1.1（佃99数三）设A二,而心为正整数，则 解： A = 2A当n 2时= _0故当 n=2时，A2 2A= 0a2(a2 -2A) = An/ ”0=02、（佃95数四）设n维行向量fl J八于，0刁，矩阵 A = I aTaM AB =,B=l, I为n阶单位矩阵,I2、与初等变换或初等矩阵相关的题目 重要引理：1）矩阵A经过若干次初等变换化为 B,贝y 称A与B等价2）A与B等价充要条件是二A、B同型且秩 A =秩B亍可逆矩阵p,Q使PAQ = BP(i,j) P(i

3、, j)P(i(c)4 = P(i(cr)3）初等矩阵均可逆，P(i,j(K)= P(i,j(-K).例3. （2001数三、四）色1812813a14a14aa21a22a231a24a24aB=a31a32a331a34a34aja41a42a34a44 Jia44a先0 01、100001 000010=,P2=00 10010010 00卫00bAPi/、13233343ai2a22a32a32aiia21a31a41 J中A可逆，贝yC(A)P2ARBARP2(B)RAP2(C ) PAA，(D)解:B = AP2Pi(B = APiF2)B=PP2*A(或 B=p/pA-1)ERA

4、4 .(1995fa21a22a23a11a12a131031 +a11a32 + a12a33 + a13 丿0 101 0 01 0 0,P2 =0 1 0e 0 1丿J 0 1丿B = PiBA则必有a11a12a13a21a22a23la31a32a337(A) APR =B(B ) AP2R=B ( C ) PiP2A=B( D )F2APi = B解：A练习：2.1(2001数三)等价，则必有 D(A )当 IA H0时,|B|HA.(C)当 IAh0时,IB=0.设n阶矩阵A与B(B)当 IAh0时，B=-lA.(D )当1 IA = 0时，B=0.2.2. (2009数三)设A

5、,P均为3阶矩阵，且h 00 1,0 0A .PtA P =0、02,若 P = (a1，a2，a3),Q =(a1 +(/2,口2,0 3),贝QTAQ 为p 1 0、110P 0 0(A)|1 1 0(B)1 2 0(C)|0 1 0(0 0 2丿10 0 2 丿e 0 2丿002丿(D)产10P提示:Q =P2.3( 2011数三)设的第二列加到第一列得矩阵3阶矩阵，将AB,再交换B的第二行与第三行得单位矩阵，记P1 =广1100、0b10 00 0 1.0 1 0 丿(A) P1P2( B)叮卩2,则 A = _D(C) P2P(D)P2P1 斗解：P2AR =E= A-Pq/r- =

6、 F2P-3、矩阵秩的运算或利用秩来求矩阵的参数1）秩与行列式关系2）利用初等行（列）变换求秩3）几个重要公式秩（ A）=秩（AT）=秩（AAT） 秩（ A B） 秩（A） +秩（B） 秩（ AB） min秩 A，秩（B） 4) 秩5)6)mxn ?nxs?设 Amxn, Bnxs, 若AB = 0,则秩（A） （B） ri（B） rr i（D） r与r 1的关系依C而定3K = -3A = (K + 3)(K 1) = K = 3或 K = 1(舍去)可逆，C(C)r=r 13.2 （2007数）设矩阵A =3.3. （2004 数四）设 A二100001000010丿则A3为秩01 I 1

7、-10000-bB = PAP，其中P为三阶可逆矩阵，则B2004 2A2 =1 -1提示：a2 =解：故B 2004 _2A2 = PA2004 P-2A2 = P*-2A2 =E-2A233、一 T丿4、证明矩阵可逆n阶矩阵A可逆一般用以下充要条件1)2)3)4)5)6)m阶矩阵B,使AB = E或BA = E10 （最常用，最好用）秩（A ）= nA的行或列向量组线性无关方程组AX = 0只有零解A没有零特征值例7.设A、B均为n阶方阵，证明(1)若A+B AB，贝y A E可逆(2)若E AB 可逆，贝y E BA可逆，并求其逆.证：（1）由 A+B AB(AE) B=AE+E(A E

8、) B-E(A E) B ( A E)(A E)(B E)故A-E可逆，且它的逆矩阵为B E(2)设C是E AB的逆矩阵，即C (E AB)E 及(EAB) CE 从而 C E = CAB 及 C E = ABCB (ABC ) A = B (C E) A BCA BAnBCA (E BA)E即 BABCA=BA E+E= (E BA) (E+BCA )1=(E BA) = E+BCA 例8. (2008)设A为n阶非零矩阵, =0，则 C .(A) E A不可逆，E+A不可逆 E A不可逆，E+A可逆(C) E A可逆，E+A可逆 E A可逆，E+A不可逆若A3(B)(D)练习4.1(200

9、1 数一)设矩阵 A 满足 A2+A-4E=0 ,其中E为单位矩阵，4.2 (佃97数三、四)设 A是n阶非奇异矩 阵，为维列向量，b为常数，记分块矩阵其?八af I 0 严ta* iaJQ 二矩阵，I为阶单位矩阵(1)计算并简化PQ中A*是矩阵A的伴随贝廿(A-E)-1 =(A+2E)/2(2)证明：矩阵 Q可逆的充分必要条件是a T A 七 H b .求(A-E).4.3(2003数四)设A,B均为三阶方阵，E为 阶单位矩阵，已知 AB=2A+B ， 0 20 402 0 2,VZ5、求矩阵的逆及相关题目一般用初等变换求矩阵的逆，即 (A|E)-初等行变换T (EIA-1)，有时也用伴随矩

10、阵和 分块矩阵来求逆。1、0-50 I6丿例9.已知A二1求(E -A)1 02 1.-3 2(0 0解:E-A=20V 3-200-1100-200010】E)-1-200010 H13-26001 1113-26001丿100-1100丿(E - A(a,0,0，,0,a)T,a矩阵A解:1E + a T 苴中 A的逆矩阵为求a.由(AB) = E1 1=(E-aaT)(E +-打= +-aact T-aJ -丄232E + (-1-2a + -沖a二-1-23+丄=0二a讨舍去-1f1、LL100010-200010-2000102A0-26031T0-20631T010-33122-4

11、-2.00-1100丿.00-1100丿001-100X丿亍是（E-A）-1维向量10. ( 2003练习5.1（佃91数三）设A和B为可逆矩阵，10 A、为分块矩阵，则XIB 0丿有关重要结论:1)AA* = A*A= Ae2)秩I n* IA 1o当秩A= n当秩A = n - 1当秩AF*AB0 rfBA0(C).0E3A*(D) 10ABABE、代入检验7=CE- CC提示:例13.（ 2003数三）la A= I bIlbb】b Ia若秩A*=1，则必有C(A) a 二 b或a + 2b = 0 ( B) a=b或a+2bK0(C) a H b 或 a + 2b 二 0( D) a

12、b或 aTbO解：秩A*-、Tn 当秩 A = nA* = 1 当秩 A = n-1o 当秩 Acn1故田秩A = 1，得秩A = 2从而 lA = (a + 2b)(a - b)2 = 0即a + 2b = 0或a = b但当a=b时，秩 A = 1 (舍去)，故a + 2b = 0或 a H b例14 (2005)设A为n (n2)阶可逆矩 阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B,* * 一 C AAAA*的第1列与第 的第1行与第 的第1列与第 的第1行与第A , B2列得B*2行得B*2列得-B2行得-B(A) 交换(B) 交换(C) 交换(D) 交换 练习6.1 (2009)设 A、B 均为 2 阶矩阵，IA=2,旧=3, 则分块矩阵P A的伴随矩阵为(A)(C)心(B)LA*2B*、0丿13A0丿3A* 0 (D)代13B2A*、0丿r 02Af 02Ba11 为 一A6.2 （2005）设矩阵A=（aj3次满足A*= AT ,其中 A*为A的伴随矩阵，At为A的转置矩阵。 若a,1,a12,a,3为三个相等的正数，则但)3（A）丰(C)1/3(D)巧7、解矩阵方程的题目（形如以及AXB=C）AX=B,XA=B1-1I满足 A*X = A-1 +2X， 求矩阵X.提示：A(A*X)=E +2AX=|a|X -2AX =E=(IAE 2A)X =EX =(|a