圆锥曲线中的轨迹问题-2020高考数学尖子生辅导专题

1、专题六圆锥曲线中的轨迹问题专题六圆锥曲线中的轨迹问题轨迹是动点按照一定的规律即轨迹条件运动而形成的，这个轨迹条件一旦用动点坐标的 数学表达式表示出来，轨迹方程就产生了 .根据动点的运动规律求出动点的轨迹方程，这是 高考的常考点：一方面，求轨迹方程的实质是将“形”转化为“数”，将“曲线”转化为“方程”，通过对方程的研究来认识曲线的性质；另一方面，求轨迹方程培养了学生数形结合的思 想、函数与方程的思想以及化归与转化的思想.模块1整理方法 提升能力曲线轨迹方程的探求有两种题型，第一种题型是曲线类型已知，该题型常用的方法是找条件或用待定系数法，难度不大；第二种题型是曲线类型未知，该题型常用的方法有以下

2、 3种:1 .定义法：如果所给的几何条件能够符合一些常见定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等曲线的定义），则可从定义出发直接写出轨迹方程，这种方法叫做定义法.2 .直接法：如果动点运动的条件有明显的等量关系，或者是一些几何量的等量关系，这 些条件简单明确，易于表达成含未知数x、y的等式，从而得到轨迹方程，这种方法叫做直接法.3 .参数法：求解轨迹方程有时很难直接找到动点的横坐标、纵坐标之间的关系，则可借 助中间变量（参数），使x、y之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的 轨迹方程，这种方法叫做参数法. 一般来说，引进了 N个未知数与参数，要得到未知数x与y 之间的关系，需要找 N

3、 1个方程.常见的消参手法是：力口、减、乘、除、平方、平方相加、 平方相减以及整体消参等.相关点代入法、交轨法是参数法的一种特殊情况.C例1已知点P 2,2 ,圆C ： x2 y2 8y 0 ,过点P的动直线l与圆C交于A、B两点，线 段AB的中点为M, O为坐标原点.（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP| |OM|时，求l的方程及 POM的面积.【解析】（1）法1 （定义法）：圆心C 0,4 ,由垂径定理可知 CM PM ,于是点M在以CP为直径的圆上，所以 M的轨迹方程为x x 2 y 4 y 20,即22x 1 y 32 .3法2 （直接法）：设M的坐标为x, y，由 CM PMuuuu

4、 uuur 可得CM PMuuurCMuuuuPM x 2,y 2 ,于法3 （参数法）：当l的斜率不存在时,其直线方程为8y 40,所以点M的坐标为 2,4 .当l的斜率存在时，设直线方程为yx, y .联立8y2 一消去0y可得k2 1 x24 k2 k x4k22 k2k8k 120,于k2泞代人消去参数k ,可得(x 2 ).综上所述，M的轨迹方程为x(2)212yOPOM可知点M在以原点为圆心,OP为半径的圆上.联立，即 x 3y25145,于是点M的坐标为2 14,，、一2,14 ,于是直线l的方程为5 50 . POM的面积为1632 W法2：由OP OM|可知点O在PM的垂直平

5、分线上，而PM的垂直平分线过圆心 1,3 ,11一所以直线l的斜率为一，直线方程为y 2 - x 2 ,即x 3y 8 0 .因为OP 2 J2 , 33点O到直线l的距离为d 勺0,所以PM | 2J|OP|2 d2仝叵，于是 POM的面积为 5”51 4 10 4 10 16一.2 555【点评】解析几何中两直线垂直的常见转化有以下4种：点在圆上，向量数量积为 0,斜率乘积为 1,勾股定理.用“点在圆上”的角度能从定义法出发直接得到轨迹方程；用“向量数量积为0”的角度能避开分类讨论.求轨迹方程时，先考虑定义法，看是否满足某种曲线的定义，再考虑直接法，看能否得到一个几何条件，进而将该几何条件

6、代数化再化简，最后再考虑参数法，引进参数解决问题.。例2在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2： x 5 2 y2 9外，且对C1上任意一 点M, M到直线x 2的距离等于该点与圆 C2上点的距离的最小值.（1）求曲线G的方程；（2）设Pxo,y。（y0 3）为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线Ci相 交于点A、B和C、D .证明：当P在直线x 4上运动时，四点 A、B、C、D的纵坐标 之积为定值.【解析】（1）法1:由题设知，曲线 Ci上任意一点M到圆C2的圆心5,0的距离等于它到直线x 5的距离，因此，曲线 Ci是以5,0为焦点，直线x5为准线的抛物线，所以方程为y2

7、 20x .法2：设M的坐标为x, y ,由已知得|x 2 J x 5 2y2 3 ,且点M位于直线x 2 的右侧，于是x 2 0,所以J x 5 2 y2 x 5,化简得曲线Ci的方程为y2 20x .【证明】（2）当点P在直线x 4上运动时，设P的坐标为 4,y0，又y03 ,则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0,每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y V。 k x 4 ,即 kx y y0 4k 0 .于5k y0 4kk2 i3,整理得2272k2i8y0ky29 0.设过P所作的两条切线PA、PC的斜率分别为ki、k2,则ki、k2是方程的两个实根，所以 ki k2 ”

8、出 此.724kix y y0 4ki 0k, 2由 2可得y y % 4ki 0.设四点A、B、C、D的纵y 20x20坐标分别为y1、y2、y3、y4,则yi、y2是方程的两个实根，所以yi y220 v。 4ki同理可得V420 V。 4k2k2十日400 y0 4ki V。 4k2于用 yiy2y3y4 kik；专题六圆锥曲线中的轨迹问题 222400 y0 4 k1 k2 y0 16k1k2400 y0 y0 16k1k2 6400.所以当P在直线x 4上运 ki k2卜水2动时，四点A、B、C、D的纵坐标之积为定值 6400 .【点评】 定义法和直接法非常相似，其出发点都是找几何条

9、件，其区别在于对所找的几何条件的理解.如果能发现所找的几何条件是满足某种曲线的定义的，则可以根据曲线的定义马上得到所求的轨迹方程，这就是定义法.如果所找的几何条件究竟满足哪种定义不太明显，则可以利用直接法，把所找的几何条件代数化，再把代数化后的式子化简到最简.第(2)问的定值证明需要引进参数，而引进多少个参数是因题而异的，一般是从点的坐标和直线的方程这两个角度引进参数.本题总共引进了六个参数：k1、k2、y1、y2、y3、y4,其准则是所引进的参数都能帮助解题，且最终都能将其消去，这是解析几何中“设而不求”的重要思想方法.例3已知抛物线C: y2 2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线li、1分

10、别交C于A、B两 点，交C的准线于P、Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR/FQ；(2)若/ PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程.【证明】(1)焦点坐标为F 1,0 .不妨设直线11 : y2a ,直线12:y b,则2Ja ，24i，b 于当线段AB垂直于x轴时，不妨设则有12，112，012，1kFQ 1, kAR 1 ,所以 AR / FQ .当线段AB不垂直于x轴时，直线AB的斜率为2a-,即 2x a b 2y ab 0 ,因为F在线段AB上，所以ab 1 .于专题六圆锥曲线中的轨迹问题a b1 .bab bbkFQ - b ， kAR2

11、 2 马上 _b_b ,所以 AR / FQ .11a2 1a2 11 212 22 2b 1【解析】（2） PQF的面积为a b .直线AB与x轴的交点为生,0 ,所以 ABF22的面积为1 1史|a b .由2 22 11 ab 一口 -yla b ,可得 ab 11 ,于是ab 0 (舍去)9或ab 2.F.式平方,可得2 b2设AB中点为M x, y ,则x a一b-，y42 a2 b2 2ab2y ，将代入，可得 y2 x 1.4【点评】 本题采用了参数法求 AB中点的轨迹方程，其实质是引进了2个未知数x、y与a2 b2 a b2个参数a、b,此时我们需要找 3个方程：x a , y

12、ab 2,通过这3个42方程消去2个参数，从而得到 x与y之间的关系.一般来说，引进了 N个未知数与参数，要得到未知数x与y之间的关系，一般需要找 N 1个方程.找到方程后，通过加、减、乘、除、平方、平方相加、平方相减以及整体消参等手法进行消参.这是参数法的关键所在.抛物线焦点弦有两个常用结论：设AB是过抛物线y2 2px ( p 0)焦点F的弦，若P22A y , B义2。2 ,则有(1) x区 , NN?p ; (2)以弦AB为直径的圆与傕线相4切.模块2练习巩固整合提升2 o2练习1：已知圆M ： x 1 y1,圆N：x1 y9,动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C .(1

13、)求C的方程；(2) l是与圆P、圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A、B两点，当圆P的半径 最长时，求|AB .【解析】(1)设动圆P的半径为r ,则PM r 1 , PN 3 r ,两式相加，可得PM| PN 4,所以圆心P是以M、N为焦点，2a 4的椭圆(左顶点除外).a 2,c 1,_22b J3,所以C的方程为1 (x 2) .43(2)由(1)可知 PM r 1, PN 3 r ,所以 PM PN 2r 2 MN ,于是 r 2,当且仅当点P为2,0时，等号成立，所以当圆 P的半径最长时，圆 P的方程为当l的斜率不存在的时候，此时显然 l就是y轴，AB 2J3 .当l的斜率存在的

14、时候，显然l的斜率不为0 ,设l与x轴交于点Q ,则有BMQP即A_xQ 1,由此解得xQ4,且k :!它,于是直线方程为2 Xq 2J|QM|2 12422yx 4jx 4 .联立 94 ，消去y,可得7x2 8x 8 0 .由弦长公式，有4x2 y2 143AB| A ：1叵苫 4 7- 18 .|a| y 47722x y练习2：已知椭圆C ： y- 1, P xo,y。为椭圆C外一点，过点P作椭圆C的两条42切线PA、PB,其中A、B为切点.(1)当点P Xo,yo为定点时，求直线 AB的方程;(2)若PA、PB相互垂直，求点 P的轨迹方程.【解析】(1)设A X1,y、B X2,y2

15、 ,则切线PA方程为土x 里 1,点P在切线PA上, 42所以咨纯 1.同理，切线PB方程为xx ?叱1,点P在切线PB上，所以 4242咨及加1.由可得直线 AB的方程为七垃1,即xox 2y0y 4 0.4242(2)若直线PA、PB的斜率都存在，不妨设其斜率分别为k1、k2,则Kk21.设y y k x x0过点P x0,y0的直线方程为y y k x X0 .由x2 y2消去y可得一 一 1422222k 1 x 4kq y0 x 2q y02 0 .因为直线与椭圆相切，所以2222222.16k 呸 y04 2k 1 2 呸 y02 0,即 4 / k 2x0y0k y0 2 0 .

16、由PA、PB与椭圆相切可知ki、k2是该方程的两个实数根，所以 Kk222y21,即x2 y26.若直线PA、PB中有一条斜率不存在，则另一条斜率为0,此时点P的坐标为2,应，满足X2y26 .综上所述，点P的轨迹方程为X2 y2 6 .【点评】给定圆锥曲线C和点P Xo,yo ,用XoX、yoy、包心、包分别替换X2、y2、 22X、y ,得到直线l ,我们称点P和直线l为圆锥曲线C的一对极点和极线. 其结论如下: 在圆锥曲线C上的时候，其极线l是曲线C在点P处的切线；当P在圆锥曲线C外的时候, 其极线l是曲线C从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线) 锥曲线C内的时候，其极

17、线l是曲线C过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.特别地:2椭圆X2ayoyb22二1 ( a b 。)，与点P Xo,yo对应的极线方程为萼ba双曲线2X2a2y.，1 ( a o , b 。)，与点 bP X0,y0对应的极线方程为XoX2a抛物线2Px ( p 0 ),与点 P Xo,Vo对应的极线方程为yy pXo X在椭圆2X2a2*b )中，点P2c,o对应的极线方程为X ,这就是椭圆的c右准线.本题采用整体法进行消参方法，这是消参的一种方法.(2)小问也可以引进AXi,yi 、B X2,y2、P Xo, yo ,共2个未知数x、y和4个参数:X1、X2、2,利用以下5个方程进行消

18、参:22X1Xo yyo 1 Xo Yzyo 1 立丛42、42、 421,2X242y224yiy2练习3:如图，抛物线 C1 ： X2 4y和 C2： X22py ( p o).点 M Xo,yo在抛物线C2上，过M作Ci的切线，切点分别为(M为原点O时，A、B重合于O) .当Xo 1衣时，切线MA的“一,1斜率为 一.2(1)求p的值;A、 B(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程(A、B重合于O时，中点为O ).【解析】（1）因为抛物线G：x2 4y上任意一点xx, y的切线的斜率为y 一，且切线MA21的斜率为，所以点a的坐标为211,-,故切线MA的万程为yM 1叵V。在切线MA及抛物线C2上，所以有y。1ck12.23力2J 2和2441 J2 22py0,由此可得p 2.22