基本不等式的八种变形技巧

1、全国名校高考数学复习优质学案汇编(文科，附详解)即所谓“和定积最大，积有的需要对待求式作适当变基本不等式的八种变形技巧基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值, 定和最小”.但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值,形后才可求最值.常见的变形技巧有以下几种:加上一个数或减去一个数使和或积为定值例函数4f(x) =土 + x(x<3)的最大值是()x 3B.1C. 5【解析】因为x<3 ,所以3 x>0 ,所以f(x)=-仁I 3 x)+ 3一【答案】D4+ 3 = 1.当且仅当 =3 x,即x= 1时等号成立，所以f(x)的最大值3 x©©平

2、方后再使用基本不等式一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值.2 383 若 x>0, y>0，且 2x2+ 二=8，求 X寸6+ 2y2 的最大值.点拨由于已知条件式中有关X, y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根l2x-朗当且仅当号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值【解】(xJ2)2= x2(6 + 齐 3 2X2(1 + 勺< 32x2 = 1+ 3，即x=I，y=卑2时，等号成立.故'甸臺展开后求最值对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值.fH 已知a>0, b>0且a+ b= 2，求点拨由于待求式是一个积的形式，因

3、此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值.【解】由题得£+1怎+1ab+1+ b+1 =存尊+1=ab+1因为a>0,b>O,a + b= 2,所以2>225,所以ab< 1,所以1.所以 £+ 必 + b> 4(当且仅当a = b= 1时取等号),所以1 +1£+ 1)勺最小值是4.©©©变形后使用基本不等式【例 设a>1, b>1，且ab (a + b)= 1，那么()a+ b有最小值2(迈+ 1) a + b有最大值(V2+ 1)2ab有最大值返+ 1ab有最小值2(寸2 + 1)

4、C.a+ b 2【解析】因为 ab (a + b)= 1, ab< (),所以<+訂丿一(a + b)1,它是关于a + b的一兀二次不等式，解得 a+ b> 2(返 +1)或 a+ b< 2(1"2)(舍去),所以a+ b有最小值2丽+ 1).又因为 ab (a + b) = 1, a+ b > ab,所以ab 2jaB1,它是关于Ob的一元二次不等式，解得侦返+ 1或题< 1 J2(舍去),所以ab> 3 + 2*2,即ab有最小值 3 + /2.【答案】A©®©f ( X )形如亠型函数变形后使用基本不等式

5、g ( X)f ( X)若y=/、中f(X)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值.g (X)jjjf r e'j(x+ 5)( x+ 2)鯉d 求函数 y=二(xM 1)的值域.X+ 1B点拨将(X+ 5)(x + 2)用(X + 1)来表示再变形为f(x)= Ax+ + C的形式，然后运用基本X不等式求解.【解】 因为y=(x+ 5)( X + 2)x2+7x+ 10X+ 1(x+ 1)+ 5 ( x+ 1)+ 44=x+ 1 + 5,X+ 1当X + 1>0时，即x> 1时，“ 2（X+ 1） =1 + 5 = 9（当且仅当X = 1时取等号）;当 X + 1&

6、lt;0,即 x< 1 时，yw 5 2、y ( x+ 1)4=1（当且仅当x= 3时取等号）.X+ 1所以函数的值域为（一8, 1 U 9 , +S）.©©©用1 ”的代换法求最值已知X + y= 1，且x>0, y>0，求x+ y的最小值.【解】法一：因为 x>0, y>0,所以 x+y=（x+ y）1=（x+ y）£+牛3+X+歸3+2鸥=3+2返当且仅当y -且X +二2y= 1,即x=a/2 + 1, y= 2 + 72时，上式等号成立.故X+ y的最小值是3 + 2返.1 2法二：因为1+厂1,y 2因为x>

7、;0, y>0,所以y 2>0.y所以 X+ y=+ y=y 2 y 22 2y y (y 2)+ 3 (y2)+ 2y 2y 2 + - + 3>3 + 2迈I当y 2 = y2，即y= 2 + 羽y 2时取等号，此时x=>/2 +1）.求以形如或可化为a+ y= 1型为条件的CX+ dy（a, b, c, d都不为0）的最值可利用1”1 2的代换求乘法.本题中的条件X+厂1也可化为2x+ y-Xy= 0.r f *a2b例 若a, b为常数，且0<x<1，求f(x) = ；7+ 的最小值.x 1 x点拨根据待求式的特征及0<x<1知x>

8、0, 1 - x>0.又1 = X+ (1 - X),因此可考虑利用“1 ”的代换法【解】 因为0<x<1 ,所以1 x>0.2.2ab所以一+x 1 x1+止1 x2 .2ab1 =-x + (1 x) +x+ (1 x) x1 x2a2 (1 x)=a +x.2+ -+ b2> a2+ b2+ 2ab= (a + b)2. 1 x上式当且仅当a(1 X)=上时，等号成立1 x2 .2 所以J b入> (a+ b)2.1 x故函数f(x)的最小值为(a + b)238® 若实数a,b满足ab 4a b+ 1 = 0(a>1)，则(a + 1

9、) (b + 2)的最小值是点拨由于所给条件式中含两个变量a, b,因此可以用一个变量表示另一个变量，将待求式转化为含一个变量的式子后求其最值4a 13【解析】因为ab 4a b + 1 = 0,所以b= 4 +a1a16 6又因为 a>1,所以 b>0.所以(a + 1)(b + 2) = ab + 2a + b+ 2= 6a+ 9= 6(a 1) +a 1a 1+ 15.因为a 1>0,(a 1) X+ 15= 27. a 16所以 6(a 1) + 15a 16当且仅当 6(a 1) =(a>1),a 1即a = 2时取等号【答案】27已知条件含形如 ax+bxy

10、+cy+ d = O（abcM 0）型的关系式，求关于X、y 一次式的和或积 的最值问题.常将关系式中ax+ bxy + cy+ d= 0变形，用一个变量x（或y）表示另一个变量y（或X）后求解.©©©代换减元求最值【例®J设正实数X, y, z满足X2 3xy+ 4y2 z= 0,则当取得最小值时，x+ 2y z的xy最大值为【解析】X2 3xy + 4y2 z= 0? z= x2 3xy+ 4y2,2 2 xy所以X - 3xy+ 4y = x+ 皱32、字3 = 1. xyxyy x y x等号成立条件为x= 2y,代入到 可得 z= (2y)2 3 2y y+ 4y2= 2y2,所以 x= 2y, z= 2y2,所以 X+ 2y z= 2y+ 2y 2y2=2(y2 2y)= 2(y 1)2 + 2< 2.【答案】2在含有两个以上变元的最值问题中，通过代换的方法减少变元，把问题化为两个变元的 问题使用基本不等式，或者把问题化为一个变元的问题使用函数方法求解建立求解目标不等式求最值3SH 已知X,