导数的不等式恒成立问题

1、学习必备欢迎下载导数的应用【考查重点与常见题型】题型一 运用导数证明不等式问 题【例1】设a为实数，函数 f(x) = ex 2x+ 2a, x R.(1) 求f(x)的单调区间与极值；x 2(2) 求证：当 a>ln 2 1 且 x>0 时，e>x 2ax + 1.(1)解 由 f(x)= ex 2x+ 2a, x R 知f' (x) = ex 2, x R.令 f' (x) = 0，得 x = In 2 , 于是当x变化时，f' (x), f(x)的变化情况如下表:x(g, In 2)In 2(In 2，+ g)f' (x)一0+f(x)单

2、调递减、2(1 In 2 + a)单调递增/故f(x)的单调递减区间是(一g, In 2，单调递增区间是In 2，+g),f(x)在x= In 2处取得极小值，极小值为f(ln 2) = eIn 2 2ln 2 + 2a= 2(1 In 2 + a). 证明 设 g(x) = ex / + 2ax 1, x R, 于是 g' (x) = ex 2x+ 2a, x R.由知当a>ln 2 1时，g(X)的最小值为 g' (In 2) = 2(1 In 2 + a)>0.于是对任意x R，都有g ' (x)>0,所以g(x)在R上是增加的.于是当a>

3、ln 2 1时，对任意x (0，+g),都有g(x)>g(0).而 g(0)= 0，从而对任意 x (0，+ g), g(x)>0. 即 exX2+ 2ax 1>0,故 ex>x2 2ax + 1.变式训练1已知f(x) = xln x. (1)求g(x)= x土(k R)的单调区间；(2)证明：当x> 1时，2x ew f(x)恒成立. xk解：(1)g(x)= In x + -,x令 g' (x) = x 2k = 0 得 x= k.x/ x>0 ,当 kw 0 时，g ' (x)>0.函数g(x)的增区间为(0,+g)，无减区间;

4、当 k>0 时 g (x)>0 得 x>k; g (x)<0 得 0<x<k,增区间为(k, + g)，减区间为(0, k).(2)证明：设 h(x) = xin x 2x+ e(x> 1), 令 h' (x)= In x 1 = 0 得 x= e,h(x), h(X)的变化情况如下:X1(1, e)e(e, + g)h' (X)1一0+h(x)e 20故 h(x)> 0.即 f(X)2x e.题型二利用导数研究恒成立问题【例2】已知函数f(x) = In x-x(1)若a>0，试判断f(x)在定义域内的单调性;3若f(x)

5、在 1 , e上的最小值为2求a的值;若f(x)<x2在(1,+ )上恒成立，求a的取值范围. 解(1)由题意知f(x)的定义域为(0,+8),口 L ,、1 , a X + a,且 f (X) = - + X2 = -X.T a>0, f (x)>0 ,故f(x)在(0,+)上是增加的.,x+ a(2)由(1)可知，f' (X) =丁入 若a> 1，则x + a> 0,即f'(X)>0在1 , e上恒成立,此时f(x)在1 , e上是增加的,- f(X)min = f(1) = a= 2 , a = 2(舍去)- 若 aw e,则 x+ a

6、w 0,1 卩 f' (x) < 0 在1 , e上 恒成立,此时f(x)在1, e上是减少的,a 3e-f(X)min = f(e)= 1 e = 2 ,a= 2 舍去)- 右e<a< 1，令 f (x) = 0 得 x = a,当 1<x< a 时，f' (x)<0, f(x)在(1, a)上是减少的;当一a<x<e 时，f' (x)>0, f(x)在(一a, e)上是增加的,3- f(X)min = f( a) = ln( - a)+ 1 = 2 , - a=-讥.综上所述，a=je.2, a 2(3)T f(

7、x)<x , In x x<x . 入又 x>0, a>xln x x3令 g(x)= xln X X3, h(x)= g' (x) = 1+ In x 3x2,21c 1 6x2 h' (x) = - 6x=.' XX/ x (1,+ g)时，h (x)<0. h(x)在(1，+g)上是减少的. h(x)<h(1) = 2<0,即卩 g (x)<0, g(x)在(1，+g)上也是减少的.g(x)<g(1) = 1,当a> 1时，Mxx2在(1，+g)上恒成立.变式训练Z已知函数f(x)= ax3 3x + 1

8、对x (0,1总有f(x)> 0成立，则实数a的取值范围是 答案 4，+g )解析 当x (0,1时不等式ax3 3x+ 1> 0可化为a>x1,设 g(x) = 3xx, xC (0,1,g' (x)=3x3(；L 6(xyg(X)与g(x)随x的变化情况如下表:x(0,12g' (x)+0一g(x)/4因此g(x)的最大值为4,则实数a的取值范围是4，+g).导数与不等式的综合问题典例：(12分)(2011辽宁)设函数f(x)= x+ax2+ bln x,曲线y= f(x)过P (1,0)，且在P点处的切线斜率为2.(1)求a, b的值;(2)证明：f(x

9、) < 2x 2.b(1)解f'(X)= 1+ 2ax + x.1 分由已知条件得常2,即 r+a0,1 + 2a+ b = 2.解得严1,b= 3.4分f(x)的定义域为(0，+ g),证明因为由(1)知 f(x)= x x2 + 3ln x.设 g(x)= f(x) (2x 2)= 2 x x2+3ln x,则 g ' (x)= 1 2x+ 3= (x 1 胆X+ 3!8 分xx当 0<x<1 时，g (x)>0,当 x>1 时，g (x)<0.所以g(x)在(0,1)上是增加的，在(1，+ g)上是减少的.10分而 g(1)= 0，故当

10、 x>0 时，g(x)< 0,即 f(x) < 2x 2.12 分练出高分一、选择题(每小题5分，共20分)1.已知函数f(x)= x3 + ax2 + (a + 6)x + 1有极大值和极小值，则实数 a的取值范围是()A . ( 1,2)B.(汽一3) U (6,+8 )C. ( 3,6)D .(汽一1) U (2 ,+8 )2.答案 B解析/ f' (x)= 3x2 + 2ax + (a + 6),由已知可得f' (x)= 0有两个不相等的实根.= 4a2 4 X 3(a + 6)>0，即卩 a2 3a 18>0.a>6 或 a<

11、 3.曲线y = f(x) = ex在点(2, e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为A*9©2B. 2e2C. e2e2D.e2D点(2, e2)在曲线上，切线的斜率k= f' (2) = e2, 切线的方程为y e2= e2(x 2)，即e2x答案解析y e2= 0.3.与两坐标轴的交点坐标为(0, e2), (1,0),彳 2 $= 1X 1X e2=专.已知函数f(x)= x2+mx+ In x是单调递增函数，则 m的取值范围是A . m> 2迈B. mA 2迄C. m<2©D. mW 2迈答案 B2解析 依题意知，x>0 , f'

12、; (x)= 2x + mx+x令 g(x)= 2x2+mx+ 1, x (0 ,+s),当m W 0时，g(0) = 1>0恒成立，.mA 0成立,当一m>0 时，贝y = m2 8< 0, . 2寸2 W m<0,综上，m的取值范围是 mA 2承.4.某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入 R与年产量 x 的年关系是 R= R(x) J400x- 2x2(0 W xW 400 >80 000(x>400 ,则总利润最大时，每年生产的产品是欢迎下载答案解析总利润又P'令P'B . 1

13、50由题意得，总成本函数为学习必备C. 200欢迎下载D . 300C= C(x)= 20 000+ 100x,boOx x 20 000 fOW xw 400 t p(X)= ¥2r(60 000 100x(x>400 ,300 x (0W x< 400 ,(x) = I 100 (x>400 ,(x) = 0,得x= 300,易知x= 300时，总利润P(x)最大.(每小题5分，共15分)二、填空题设P为曲线C: y= f(x)= x2 x+ 1上一点，曲线C在点P处的切线的斜率的范围是5.-1,3，则点P纵坐标的取值范围是答案1，3解析 设 P(a, a2-a

14、 + 1)，贝U f' (x)= 2a 1 1,3, 0w aw 2.而 g(a)= a2 a+ 1 = (a j+ 3,13当 a = 2时，g(a)min = 4当 a = 2 时，g(a)max= 3,故P点纵坐标的取值范围是6.在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体梁，则矩形面的长为(强度与bh2成正比,其中h为矩形的长,b为矩形的宽).答案截面如图所示， 则 3= kbh2, 又 h2= d2 b2, 3= kb(d2 b2)= 3' = 3kb2 + kd2, 令 3' = 0，得 b2= t,解析设抗弯强度系数为k,强度为kb3 + kd2b

15、,3, b=33d 或 b= 33d(舍去). h=/?=基已知函数f(x)= X3 + ax2 4在x= 2处取得极值，若 m、n 1,1，贝f(m) + f' (n)的最小值是 答案 -13解析 对函数f(x)求导得f' (x)= 3/+ 2ax,由函数f(x)在 x= 2处取得极值知f' (2)= 0,即一 3X 4+ 2aX 2= 0, a = 3.学习必备_ 由此可得 f(x) = x'+ 3x2 4, f' (x) = 3x2 + 6x, 易知f(x)在(1,0)上是减少的，在(0,1)上是增加的,当 m 1,1时，f(m) min = f(

16、0) = 4.又 f' (x) = 3/+ 6x的图像开口向下，且对称轴为x= 1, 当n 1,1时f' (n )min = f'( 1) = 9. 故f(m) + f' (n)的最小值为13.三、解答题(共22分)8(10 分)设函数 f(x)= ax3 3x2 (a R)，且 x= 2 是 y= f(x)的极值点.(1) 求实数a的值，并求函数的单调区间；(2) 求函数g(x) = ex (x)的单调区间.解 (1)f' (x) = 3ax2 6x= 3x(ax 2),因为 x= 2是函数 y= f(x)的极值点，所以 f' (2) = 0,即卩 6(2a 2) = 0,因此a=