恒成立、能成立问题专题

1、最新高中数学培优拔高专题(附经典解析)恒成立、能成立问题【问题提出】已知集合A x| X2 5x 4 g(X2),求实数 m 的f(X)的单调递增区间是k訐t (k Z)存在经过点a,b的直线与函数f(x)的图像不相交2.Xi3.以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号)函数f (x) 2sin(3X 5)，对任意X R都有fg f(x)f (X2)成立，则X2的最小值为.已知函数 f(x) X2 2ax 5 ( a 1)若f(x)的定义域和值域均是1, a，求实数a的值;若f(x)在区间 ，2上是减函数，且对任意的X1 , X21, a 1，总有f (xi)f(X2)| 4，求实数a的取值范

2、围;若f(x)在区间1,3上有零点，求实数a的取值范围.1,a (a. 1),使a14.已知函数 f(x) x - a2,g(x) X3 a3 2a 1，若存在 g得I f(xi) g(X2)| 9，求实数a的取值范围.最新高中数学培优拔高专题(附经典解析)取值范围.6.函数f X X2 4x 3,g X mx 5 2m，若对任意的X11,4，总存在x?1,4，f X1g X2成立,求实数m的取值范围.7.上题条件改为若存在X11,4，总存在X21,4，使fX1gX2成立”呢?，若对于任意的Xp卷、X3，均存在以f(x1) f(x2) f(X3) 1求实数k的取值范围./.qX函数f(x)为三

3、边长的三角形，8.探究2：设函数f(x)x21，对任意x 3，f (兰)4m2f(x) f (x 1) 4f(m)恒 m成立，则实数m的取值范围是J 3 p*f3m 或m 2 2变式1：设函数f(x) kax a x(a 0且a 1)是定义域为R的奇函数.若f(1)g (x) a2x a 2x2m f(x)的最小值为2，则实数m的值为变式2：定义在D上的函数f x，如果满足：对任意x D，存在常数M使得|f(x)| M成立，则称f X是D上的有界函数， 其中M称为函数f X的上界.知函数f(x) 4 xg(x)1q 2x1q 2x(1)当P 1时，求函数,0上的值域，并判断函数f X在 ,0上

4、请说明理由;是否为有界函数，(2)若q (O,#，函数g x在0,1上的上界是H(q)，求H (q)的取值范围;(3)若函数f X在0,上是以3为上界的有界函数，求实数P的取值范围.解：(1)值域为3,+,故不存在常数M 0 ,使得I f(x)| M对任意X, 0恒成立，所以函数在 ,0上不为有界函数;(2) g(x) 1 q2XX1 q2x 1 q2X 1， X 叩2* 1,2，函数在定义域上单调递减则g(x)的值域为摞，汗，当q 豊时,1 2q|1 2q|所以g(x)对于X 0,1恒成立，则H(q)的取值范围是1 q1 q,(3 )转化为不等式恒成立问题-3t2pt 1 3 在 t 0,1

5、上恒成立，求得5,1:(2020年)对任意实数X和任意(X3 2si ncos )2 (x asin acos )28恒成立则实数a的取值范围为72解：先处理参数X的恒成立问题，即关于X的二次函数的最小值大于等于 丄8处理的时候需要进行三角换元，而后处理参数的恒成立问题【答案】原不等式等价于 (3 2sin cos asina cos,3 2sin cos解不等式得asinC C 13 2sin cos -先求sin cos12cos02或a3 2si nsin)2 1，1cos -2cos0G0G令 X sin cos ，贝y X0,-的最大值.2lj2，于是 f(x)易知f(x)在1,上是

6、减函数，所以f(X)maxf(1) i，从而a i02的最小值.CC 132sincos一再求2sin cos令 X sin cos ，贝y X1,72，于是 f(x)3 (X2 1) 2X当sin cos x写时等号成立.从而a综上，a的取值范围为g(X)min76 .变式1：若函数f(x) X2在X轴上方，则实数b的最小值为 思路：先处理函数g(x) X2b图像上存在点P(Xi,f(Xi)对任意a 1,3都不4然后再处理恒成立问题变式2：若存在实数X0与正数a,使X0 a ,X0a均在函数f(x)的定义域内，在X = xo处存在长度为a的对称且f X0 a f X0 a成立，则称“函数f

7、(X) 占”八、(1)设f(x) X3 3x2 2x 1，问是否存在正数a,使“函数f (X)在X = 1处存在长度为a的对称点”？试说明理由.(2)设g(x) X b (X 0),若对于任意X0(3, 4),总存在正数a,使得X“函数g(x)在X = Xo处存在长度为a的对称点”,求b的取值范围.拓展3:已知函数f(x)定义在区间a, b上，设“ min f(x) |x D ” 为函数 f (x)在集合D上最小值，“ maxf(x)|x D ”为函数f(X)在集合 D上最大值.设f1 (x) min f (t) |a t x ,(x a,b ) ；f2(x)max f(t)|a tX , (x a,b).若存在最小正整数k,使得f2(x) f1(x) k(x a)对任意的X a,b成立，贝U称函数f (x)为区间a,b最新高中数学培优拔高专题（附经典解析）上的“第 k