概率论与数理统计试题及答案

1、考试时间 120分钟班级姓名学号题号-一-二(1)二 (2)二二二 (5)三四五总分成绩.填空题(每题3分，共24分)成绩评卷人1.设 A、B 为随机事件，P (A)=0.5 , P(B)=0.6 ,P(B|A)=0.8 .则 P(B U A) .2.三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为此密码能被译出的概率是 =.1/5、1/4、1/3,3.设随机变量X :( ,2) , Y eX，则丫的为.分布密度函数2 24.设随机变量X :(,)，且二次方程y 4y X 等于0.5，贝y .0无实根的概率5. 设 D(X) 16, D(Y) 25 , xy 0.3，则 D(X Y) =.6

2、. 掷硬币n次，正面出现次数的数学期望为 .7. 某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是1两，标准差是0.1两.则100个该型号螺丝钉重量不超过10.2斤的概率近似为 (答案用标准正态分布函数表示).8. 设X1,X2,L X5是来自总体X :(0,1)的简单随机样本，统计量C(X1 X2)/Jx； x2 x2t(n)，则常数 C=，自由度 n .二计算题(共50分)1.( 10分)设袋中有 m只正品硬币，n只次品硬币(次品 硬币的两面均有国徽)，从袋中任取一只硬币， 将它投掷r 次，已知每次都得到国徽 .问这只硬币是正品的概率是多少？成绩评卷人成绩评卷人(1/5)e x/5f

3、(x) 0x 0其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟，以丫表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出他就离开.他一个月到银行 5次.Y的分布律，并求 PY 1.成绩评卷人3. （10分）设二维随机变量（X,Y）在边长为a的正方形内 服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：X ,Y的边缘概率密度；（1）求随机变量（2）求条件概率密度 fxY（x| y）.4. （ 10分）某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从 （160,202）分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿 命小于180小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）.成绩评卷人2.（ 10分）设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分

4、计）X服从指数分布，其概率密度函数为成绩评卷人成绩评卷人5. （ 10分）某车间生产的圆盘其直径在区间（a,b）服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望.三.（10分）设Xi,X2,L Xn是取自双参数指数分布总体 的一组样本，密度函数为1 Xef（x；,）0,其它其中,0是未知参数，Xi,X2丄,Xn是一组样本值，求:（1）,的矩法估计；（2）,的极大似然估计.成绩评卷人四.（8分）假设？是 的无偏估计，且有 D（ ?） 不是2的无偏估计.0试证（8分）设Xi,X2,L ,Xn,是来自总体X N（ 的一组样本，丫1,丫2丄，Yn2是来自总体Y N（ 一组样本，两组样本独立.其样本方差分别为 S2

5、,S；，且设 为未知.欲检验假设Ho: 12；，H1 : 12；，显著性水平试构造适当检验统计量并给出拒绝域（临界点由分位点给出）评分标准成绩评卷人五.1, 12)22)的2 2 ,.2 , 1 , 2 均 事先给定.一：填空题:(每小题3分)1.0.7; 2. 0.6; 3.1/(y).exp 1/(22).lny 2 y 0 ;4. 4; 5. 53; 6. n/2; 7.二：计算题1.解：记A:取得正品硬币；8.73/2,3.B :投掷r次，每次都得到国徽;取A,A作为样本空间的划分.P(A|B) P(B| A)P(A)/ P(B| A)P(A) P(B| A)P(A)m 1m n .2

6、rm 1 n.7m n 2 m nmm n2r2.解：某一次在窗口等待时间超过10分钟的概率记为 P ,P w (1/5)e( x/5)dx e 2注意到顾客每月到银行五次也就是进行了五重的贝努利试验，每次试，即验得不到服务的概率为e 2.所以YB(5, e 2)PYk0,1L ,5PY13.解:1ckz 2kc25kC5(e ) (1 e )(1)fx(x)f (x,y)dyalQ凶a/占 |x|1/a2dyFa/V2 a|x|)|x| a/72其它由对称性fY(y)f(x,y)dxa/J2 |y|a/72 |y|1/a2dx22(a/72a|y|)|y| a/72其它fXY(x|y)辰 2

7、|y|0|x| a/血 y其它4.解：记取出的四只电子管寿命分别为X1,X2,X3,X4，所求概率为P，P Pmin( Xi,X2,X3,X4)180PXi 18041 PXi 18041,2,3, 441(1)0.000635.解：记圆盘面积为 S,圆盘直径为则 S (1/4)R2，由随机变量函数的数学期望的计算方法有b2E(S) (1/4) r2(1/b a)dra2/12)(b ab三：解:(1)矩法估计量E(X)xf (x)dxx-edxxedxE(X2)f (x)dxdxxx2e|xxe dx)2E(X)E(X2)()2X2 A2解之得，的矩法估计量：? X Ja X2, ? Ja2

8、 X2(2) 极大似然估计1 1 nL( , ) exp-(i 1X n )minXi丄,Xn1 nln L nln ( xi 1min Xi,L , xjln L n丄，>0,故 In L 是的递增函数，故 ？ min Xi,L Xn由 ln L 0得? X minx,L ,人，所以极大似然估计量为？ minX1,L Xn，四：证明:由方差的计算公式有：E( ?")E( ?)2D( ?)X minX1,L ,XnE(?)2,再由？是 的无偏估计可得:易见当D( ?)0时，字(?)2不是2的无偏估计五：构造检验统计量 Fs2S2，S2当H0为真时，F S1小21)，当Ho不真而Hi为真时，由FS2，即一个F (ni1,n2 1)E(?2)D(?)2