圆的有关证明与计算题专题

1、圆的证明与计算专 题 研 究圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。一、考点分析：1. 圆中的重要定理:(1) 圆的定义: 主要是用来证明四点共圆.(2) 垂径定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、垂直关系等等 .(3) 三者之间的关系定理: 主要是用来证明弧相等、线段相等、圆心角相等 .(4) 圆周角性质定理及其推轮: 主要是用来证明直角、角相等、弧相等 .(5) 切线的性质定理: 主要是用来证明垂直关系 .(6) 切线的判定定理: 主要是用来证明直线是圆的切线.(7) 切线长定理: 线段相等、垂直关系、角相等.2

2、. 圆中几个关键元素之间的相互转化: 弧、弦、圆心角、圆周角等都可以通过相等来互相转化. 这在圆中的证明和计算中经常用到.二、考题形式分析：主要以解答题的形式出现，第1问主要是判定切线；第 2问主要是与圆有关的计算：求线段长(或面积)；求线段比；求角度的三角函数值(实质还是求线段比)。三、解题秘笈：1、判定切线的方法：( 1 ) 若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有：全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；( 2) 若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法：角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：直线

3、所垂直的是圆的半径(过圆上一点)； 直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化, 要善于进行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 例：(1)如图，AB是。的直径，Bd AB AD)/ OC交。于D点，求证：CD为。的切线；(2)如图，以 RtABC勺直角边 AB为直径作。Q交余边 AC于D,点E为BC的中点，连结 DE求证：DE是。O 的切线 .(3)如图，以等腰 ABC勺一腰为直径作。O交底边BC于D,交另一腰于F,若DEL AC于E (或E为CF中点)， 求证：DE是O O的切线.(4)如图，AB是。的直径，AE平分/ BAF交O O于点E,过点E作直线

4、EDLAF,交AF的延长线于点 D,交AB的延长线于点C求证:2、与圆有关的计算：计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式复杂，无规 律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是要借助圆的相关定理进 行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的 数学思想方法有：(1)构造思想：如：构建矩形转化线段；构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所 有线段长)；构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；构造勾股定理模型；构造三角函数.(2)方程

5、思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问 题。(3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形 的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。3、典型基本图型：图形1：如图1: AB是。O的直径，点E、C是。上的两点，基本结论有：(1)在“AC平分/ BAE； "ADL CD ；" DC是。的切线”三个论断中，知二推一。(3)如图(4)：若C&AB于K,则：_1 _ CK=CD BK=DE CK= BE=DC AE+AB28K=2AD2NAD

6、QACB AC=AD?AB（4）在（1）中的条件、中任选两个条件，当BGL CD于E时（如图5）,则: DE=GB DC=CG AD+BG=AB© AD?BG1 DG 2=DC图形2:如图：Rt/ABC中，/ AC390。点 O是AC上一点，以OE半径作。O交AC于点E,基本结论有4设(2) G是BCD勺内心； CG=GD;/BCO力 CDE BO?DE=CO?cECE; 2(3)在图(1)中的线段 BG CE AE AD中，知二求四。AE 1(4)如图(3),若BC=CE则： =-=tan ZADIEBC AC AB=3: 4： 5 ;(在、中知一推AD 2BE、C成于点 H,，则

7、 BH=2EH图形3：如图：RtABO, / ABB90° ,以AB为直径作。交AC于D,基本结论有: 如右图：（1） DE切。O E是BC的中点；（2）若 DEWOO,贝U： DE=BE=CED Q B、E四点共圆/CEB2/A CD- CA=4BE decdbcRBDBA图形特殊化：在（1）的条件下基本结论有:如图2：若DE的延长线交 AB的延长线于点F,若AB=BF则:图形4：如图，/D里1EF 3C如图1： DE/ AB /ABCCDE等腰直角三角形;(1) DEEL AC DE切。O;(2)在DEL AC或DE切OPJ,有：/DFO等腰三角形；BFEF=ECD是 的中点。与

8、 基本图形1的结论重合。连AD,产生母子三角形。图形5：:以直角梯形 ABCD勺直腰为直径的圆切斜腰于 E ,基本结论有(1)如图 1 :AD+BC= CD/COD/AE=90° ;O计分/ ADQ或O评分/ BCD；(注：在、及“ CD是。0的切线”四个论断中，知一推三)三1 一 2 _2AD- BC= AB2=R2;4(2)如图2,连AE CO则有：CO/ AE C0?AE=2R2(与基本图形2重合)(3)如图3,若EF±AB于F,交AC于G,则：EGFG图形6:如图：直线PRL O O的半径 O时 E,PQW O O于Q BQ交直线PQT R基本结论有:图2(1) P

9、Q=PR (2PQ碇等腰三角形)；(2)在 “ PRLOB、"PQWOO'、"PQ=PR 中，知二推一(3) 2PFR- RE=BRRQ=BE2R=aB图形7:如图，/ABCft接于。O I为 ABC勺内心。基本结论有:2(1)如图 1, BD=CD=ID DI =DE DA_。1 ， _/ A旧=90 + - / ACB2(2)如图 2,若/ BAG60。，贝U: BD+CE=BC.BG图形8:已知，AB是OO的直径，C是 中点，CDL AB于D。BG交CD ACBC=CG=AG于E、F。基本结论有：_ 1 _(1) CD=BG BE=EF=CEGF=2DE(反之

10、，由 CD=1BG BE=EFT得：C是BG女)21(2) OE!AF, OE/ AC ODEAGF2(3) BE- BG=BD BA(4) 若D是OB的中点，则：CE既等边三角形；四、范例讲解：1 . 4ABP中，/ ABP=90。，以AB为直径作。O交AP于C点，弧CF =CB ,过C作AF的垂线，垂足为 M MC勺延长线OF交 BP D.(1)求证：CM。的切线；(2)连BF交AP于E,若BE=6, EF=2,求变的值。AF2 .直角梯形 ABCDK / BCD90° , AB=AD+BCAB为直径的圆交 BC于E,连OC BD交于F.求证：CD为。0的切线若BE 3 ,求空的

11、值AB 5 DF3.如图，AB为直径，PB为切线，点 C在。0上，AC OP(1)求证：PC为。的切线。(2)过D点作DH AB, E为垂足，连 AD交BC于G CC=3, DE=4,求_DG的值。DB4。如图，已知ABC4以边BC为直径的。O与边AB交于点D,点E为BD的中点，AF为 ABC勺角平分线，且AFL EC(1)求证：AC1。0相切；(2)若 AO 6, BO 8,求 EC的长5.如图，RtAAB(C以AB为直径作。O交AC于点D, BD=DE(1)求证：DF为。的切线;(2)若DF=3,。的半径为5,求tan BAC的值.6.如图，AB为。的直径，C D为。O上的两点，AD=DC

12、 ,过D作直线BC的垂线交直线 AB于点E, F为垂足.(1)求证：EF为。的切线；(2)若 AO6, BD=5,求 sinE 的值.7 .如图，AB为。的直径，半径 OCL AR D为AB延长线上一点，过 D作。的切线，E为切点，连结 CE交AB于点F.(1)求证：DE=DF(2)连结 AE 若 OF=1, BF=3,求 tan A 的值.8 .如图，RtA ABC / C=90° , BD平分/ ABC以AB上一点O为圆心过B、D两点作。O,。交AB于点一点E,EF± AC于点 F.(1)求证：O O与AC相切；(2)若 EF=3, BC=4,求 tan A 的值.9

13、.如图，等腰 ABC43, AB=AC以AB为直径作。O交BC于点D, DEL AC于E.(1)求证：DE为。0的切线；(2)若 BG4J5, AE=1,求 cos AEO 的值.10 .如图，BD为。的直径，A为BC的中点，AD BC于点E, F为BC延长线上一点，且 FD=FE.(1)求证：DF为0O的切线;(2)若 AE=2, DE=4, BDF的面积为 8J3 ,求 tan EDF 的值.11、如图，AB是。O的直径，M是线段OA上一点，过 M作AB的垂线交AC于点N交BC的延长线于点7七直线CF交EN于点 F,且/ EC=/ E.(1)求证：CF是O O的切线；ENABM(2)设。O的半径为1,且AC=CE 石，求AM的长.12、如图，AB是。的直径，BC± AB过点C作。O的切线CE点D是CE延长线上一点，连结 AD,且AD+BC=CD(1)求证：AD是。的切线；(2)设OE交AC于F,若OF=3, EF=2,求线段BC的长.13、如图， ABO43, AB=BC以AB为直径的。O交AC于点D且CD=BD(1)求证：BC是。的切线；(2)已知点 M N分别是AD