函数项级数的一致收敛性及其应用

1、目 录中英文摘要11.问题的提出22.问题的分析3 3.模型的假设44.定义与符号说明55.模型的建立与求解55.1对问题一的分析与求解 .55.2对问题二的分析与求解 .106.模型的评价与推广.266.1模型的评价 .266.2模型的推广 .26参考文献 27致谢.27最佳阵容问题谢妮（湖南科技学院 数学与计算科学系 湖南 永州 425100）摘要：本文以女子体操团体赛为模型对最佳阵容问题进行了分析讨论.通过对该模型中不同问题的分析，找出目标函数和约束条件，建立了相应的0-1规划模型.应用Lindo数学软件进行计算，得出了在几种不同情况下该团队的最佳出场阵容.在已知夺冠最低分，为该团队排出

2、一个最佳出场阵容问题的求解过程中，建立了两个模型，第二个模型可用Lindo数学软件求解，即通过建立0-1规划模型找出所有大于或等于236.2分的阵容，最后考虑得分概率因素对问题进行分析，得出最佳阵容问题的求解.此外，还得出了该团队夺冠前景，得分前景等相关问题的解.关键词：最佳阵容问题;0-1 规划;最优解The Optimal Lineup ProblemXie Ni（Department of Mathematics and Computational Science, Hunan University ofScience and Engineering,Yongzhou,425100,Hu

3、nan）Abstract: We take womens gym team competition, as a model to discuss and analyze the optimal lineup problem. After analyzing different problem in this model, we give object function and restrict conditions, and then establish its 0-1 programming model. We use Lindo mathematics software to comput

4、e and obtain the optimal lineup of this team for several different cases. Based on the known lower scores of championship, we establish two models, and the second one can be solved by Lindo mathematics software. Namely, we find out all lineups. Which score is large or equal to 236.2. Finally, probab

5、ility factors are considered. In analysis, and the solution of optimal lineup problem is obtained.Key words: optimal lineup problem; 0-1 programming; optimal solution1 问题的提出1.1基本条件有一场由四个项目（高低杠、平衡木、跳马、自由体操）组成的女子体操团体赛，赛程规定：每个队至多允许10名运动员参赛，每个项目可以有6名选手参加.每个选手参赛的成绩评分从高到低依次为：10；9.9；9.8；0.1；0.每个代表队的总分是参赛选手

6、所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者.此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛（四项全参加）与单项比赛这两类中的一类，参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项.每个队应有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛.现某代表队的教练已经对其所带领的10名运动员参加各个项目的成绩进行了大量测试，教练发现每个队员在每个单项上的成绩稳定在4个得分上（见表1）.她们得到这些成绩的相应概率也由统计得出（见表中第二个数据.运动员各项目得分及概率分布表11.2解决的问题、每个选手的各单项得分按最悲观估算，在此前提下，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高；每个选手的各单项得分按均值估算，在此前提下

7、，请为该队排出一个出场阵容，使该队团体总分尽可能高.、若对以往的资料及近期各种信息进行分析得到：本次夺冠的团体总分估计为不少于236.2分，该队为了夺冠应排出怎样的阵容？以该阵容出战，其夺冠前景如何？得分前景（即期望值）又如何？它有90%的把握战胜怎样水平的对手？2 问题分析本论文所讨论的是一个关于最佳阵容的问题.最佳阵容问题是一类带有复杂约束条件的优化与规划类问题.在当今这个更注重团体比赛的时代，对团队出场阵容的安排是团队获胜的一个重要因素，在团队参赛中，不仅要注重团队整体质量的提高，更加要注重如何合理的利用现有队员在各项目中的优劣来获得最高的总分.本案例的主要矛盾是队员已有成绩的限制和参赛

8、时的要求与获得团队参赛最高分的矛盾.对本案例处理的难点是参赛时的要求，参赛队员的4个成绩稳定值与相应概率的限制等诸多因素，针对各目标问题分别建立模型. 按照上述思路提出目标函数，要建立各个约束条件，要找到众多变量之间的数量关系.因而，对约束条件和问题做出分析都是解决问题的关键.由于队员的安排不可能为小数，所以最佳阵容问题属于整数规划中的0-1规划问题.我们分两步来进行分析.首先对问题所给条件进行分析.此比赛共有4个项目，每个参赛队至多有10名运动员参赛，也就是说参赛人数，同时每个项目可以有6名选手参加，由于每个代表队的总分是参赛选手所得总分之和，总分最多的代表队为优胜者，所以每个队的教练在每个

9、项目中都会派出6名运动员参赛.此外，还规定每个运动员只能参加全能比赛与单项比赛这两类中的一类；每个队应有4人参加全能比赛，也就是说每个队有且仅有4人参加全能比赛，其余运动员参加单项比赛.由题中还可知道每项各选手的评分精确到小数点后一位.再对问题进行分析.第一问（1）每个选手的各单项得分按最悲观估算，这个最悲观就是在每个参赛选手各单项最差的成绩下进行计算.第一问（2）每个选手的各单项得分按均值估算即按每个参赛选手各单项得分的期望值作为所要求的数据进行计算.第二问（1）本次夺冠的团体总分估计不少于236.2分，为了夺冠应为该队排出怎样的阵容，这里我们可理解为在该队团体总分不少于236.2的情况下，

10、为该队排出一个阵容，使该队的夺冠概率最大.第二问（2）中的夺冠前景即指夺冠的概率.第二问（3）得分前景即该阵容各选手得分的期望值的总分.第二问（3）就是在求该阵容有90%的把握战胜多少总分数的对手. 3 模型的假设假设1：虽然平时教练所测得每位运动员每单项的结果并不一定只有表1中所给的四组数，但我们可以假设教练所进行的大量测试得出的结果精确无误，即我们按该值进行计算最后得出的结果误差可以忽略不计；假设2：比赛是在大型体育场所进行，不受天气、时间（白天、晚上）的影响；假设3：假设所有与比赛有关的设备在比赛中都不会出现异常情况，如比赛记分器性能稳定，不会出现故障等；假设4：假设在比赛过程中不会因观

11、众的过激情绪反映引起场面混乱而导致比赛终止；假设5：假设每位参赛选手在比赛时技能水平发挥正常，不会出现感冒，胃病，比赛中途扭伤，怯场等现象；假设6：在比赛中每位裁判都是公平、公正的；假设7：假设各个项目的评分规则公平、公正、完善.4 定义与符号说明： =1，2，3，4，5，6，7，8，9，10；分别为队员1，2，3，4，5，6，7，8，9，10号.： =1，2，3，4；分别记为高低杠，平衡木，跳马，自由体操.： 表示各队参赛的人数.：是个0-1变量，若选择队员参加项比赛，记=1,否则,记=0.：是个0-1变量，若队员参加全能比赛，记=1，否则，记=0.：表示队员在项目中得分最差的情况.：表示队

12、员在项目中的期望值. ：表示第个项目的第个分值.：第个项目对应的第个值的概率.：表示队员在项目中得分最高的情况.5 模型的建立与求解5.1 对问题一的分析与求解对于问题一我们根据参赛要求，引入0-1变量, 、 由条件：“每个队应有4人参加全能比赛”即每个队参加全能比赛的人有且仅有4名，得约束条件： 、由条件：“参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项”即不参加全能比赛的运动员最多只能参加3三个单项，得约束条件：（=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） 、由条件：“参加全能比赛的选手要四项全参加”，得约束条件：（=1,2, 3,4,5,6,7,8,9,10） 、由条件：“每个项目可以有

13、6名选手参加”即每个项目的参赛选手不能超过6名，得约束条件： (=1，2，3，4) 问题一（1）的分析与求解对问题一（1）要求每个队员的各单项得分按最悲观估算的前提下，根据前面的分析我们将最悲观理解为参赛选手在各单项得分最差的情况.首先把表1经Excel软件处理得出每个队员各单项得分最低情况下的表1.1.最悲观估算（得分最低的情况下）数据表1.1=1=2=3=4=18.48.49.18.7=29.38.48.48.9=38.48.18.49.5 =48.18.798.4=58.498.39.4=69.48.78.58.4=79.58.48.38.4=88.48.88.78.2=98.48.48

14、.49.3=1098.18.29.1当运队员入选项目时，表示她在该项目得分最低的分数，否则.于是各队员在各单项得分按得分最低的分值估算时，该队团体总分可表示为，这就是在这种最悲观情况下该问题的目标函数，这种情况下这个问题的0-1规划模型可写作：Maxs.t. ; （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） ; （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） ; (=1，2，3，4) ; （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）（=1,2,3,4）.在这种最悲观情况下，将表1.1数据代入这一模型.对于这种问题的模型的求解我们可以运用数学软件Lindo来运行，也可采用隐枚举法即0-1规划

15、的分枝定界法来计算该模型的最优解.但考虑到此模型的变量太多，用隐枚举法做的话，计算量太大，所以我们这里用数学软件来进行求解.求解得到结果为：,即：，（=2,5,6,9； =1,2,3,4）；此外，还有13=34=42=43=71=82=101=104=1.即表示队员2，5，6，9参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目4（自由体操）的比赛，队员4参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）的比赛，队员8参加了项目2（平衡木）的比赛，队员10参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛.以此阵容出赛能使该团队在每个选手的各单项得分

16、按得分最低的分值估算的前提下总分最高，总分是：212.3分.（见表）问题一（1）最优阵容及得分表1.1.1队员1（高低杠）2（平衡木）3（跳马）4（自由体操）总得分19.1212.329.38.48.48.939.548.79.058.49.08.39.469.48.78.58.479.588.898.48.48.49.3109.09.1 问题一（2）的分析与求解对问题一（2）要求在每个队员的各单项得分按均值估算的前提下，这里我们把均值理解为期望值.首先用Excel软件对表1进行处理得出每个队员各单项得分的期望值情况下的表1.2.均值（期望值）估算数据表1.2=1=2=3=4=1999.59.

17、1=29.6999.3=399.199.8 =49.19.19.59=599.48.99.7=69.79.18.99=79.898.99.2=899.89.19.3=999.299.7=109.49.19.29.5当运队员入选项目时，表示她在该项目得分的期望值，否则.于是各队员在各单项目得分按均值估算时，该队团体总分可表示为，这就是在均值情况下该问题的目标函数，这种情况下这个问题的0-1规划模型可写作：Maxs.t. ; （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） ; （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） ; (=1，2，3，4) ; （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

18、）（=1,2,3,4）.在每个队员的各单项得分按均值估算的前提下，将表1.2数据代入这一模型，用数学软件Lindo来进行求解.求解得到结果为：,即：，（=2,8,9,10； =1,2,3,4）；此外，还有.即表示队员2，8，9，10参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目4（自由体操）的比赛，队员4参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛，队员5参加了项目2（平衡木）和项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）的比赛.以此阵容出赛能使该团队在每个选手的各单项得分按得分均值估算的前提下总分最高，总分是：224.7

19、分.（见表）问题一（2）的最优阵容及得分表1.2.1队员1（高低杠）2（平衡木）3（跳马）4（自由体操）总得分19.5224.729.69.09.09.339.849.19.559.49.769.779.889.09.89.19.399.09.29.09.7109.49.19.29.55.2 问题二的分析与求解问题二（1）的分析与求解模型（一）、我们要考虑到每个队员各单项得分的每个分值，建立一个0-1规划模型，找出团体总分能大于等于236.2分且夺冠前景最大的那个阵容.这种情况下就要引入160个0-1变量.（=1,2,3,40）(=1,2,3,4)、 从表中分析得到，每个队员各单项得分有4个分

20、值，那么每个项目对应40个分值，而每个选手参加一项比赛只能有一个得分，因此得约束条件： (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) (j=1,2,3,4) /这些约束条件是为了保证每个队员各单项得分要不就取一个，要不就不取.、由条件：“每个项目可以有6名选手参加”即每个项目的参赛选手不能超过6名，得约束条件： （j=1,2,3,4） 、由条件：“每个队应有4人参加全能比赛”即每个队参加全能比赛的人有且仅有4名，得约束条件：

21、、由条件：“参加单项比赛的每个运动员至多只能参加三项单项”即不参加全能比赛的运动员最多只能参加3三个单项，得约束条件： 、由条件：“参加全能比赛的选手要四项全参加”，得约束条件： 、由条件“团体总分要大于等于236.2分”，得约束条件： （=1,2,3,40; =1,2,3,4） 目标函数可定为满足以上条件的同时取出夺冠前景最大的阵容，即：Max (即第个项目对应的第个值的概率)根据以上条件得出团体总分能大于等于236.2分且夺冠前景最大的那个阵容的模型：Maxs.t. (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3

22、,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) (=1,2,3,4) （=1,2,3,40; =1,2,3,4）此模型涉及到了160个0-1变量，建立出来的数学模型很庞大，而且这个模型是非线形规划模型，要用到非线形的数学软件来求解，由于目前还没找到相应的数学软件，所以只建立了模型未求出结果，最后我采用了第二个模型.模型（二）、根据前面的第一题，我们知道，当每个选手各单项得分取期望值进行计算时，最大值才224.7，跟236.2相差的距离还很远，所以这里我对数据进行了处理，决定按每个选手各单项得分最大的分值进行计算，得出在此前提下团体总分最大分值，然

23、后再在236.2分和最大值中分段进行讨论，找出在不同总分值下的阵容，将这些阵容中各参赛选手的得分和概率分布图画出，再根据这些图得出在此前提下夺冠前景最大的阵容.首先把表1 经Excel软件处理得出每个选手各单项得分最高情况下的表2.1.得分最高的情况下的表2.1=1=2=3=4=19.4109.89.9=29.89.4109.6=3109.59.410 =49.59.99.710=59.49.79.39.9=69.99.99.19.4=710109.39.8=810109.99.8=99.49.8109.9=109.7109.69.8当运队员入选项目时，表示她在该项目得分最高的分数，否则.于是

24、各队员在各单项得分按得分最高的分值估算时，该队团体总分可表示为，这就是在这种情况下该问题的目标函数，这种情况下这个问题的0-1规划模型可写作：Maxs.t. ； （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） ； （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10） ； (=1，2，3，4) ； （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）（=1,2,3,4）在这种情况下，将表1. 2数据代入这一模型.同样我们这里用数学软件Lindo来进行求解.求解得到结果为：,即：，（=1,4,7,8 =1,2,3,4）；此外，还有.即表示队员1，4，7，8参加全能比赛，此外还有队员2参加了项目3（跳马）的比赛

25、，队员3参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛，队员9参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛.以此阵容出赛能使该团队在每个选手的各单项得分按得分最高的分值估算的前提下总分最高，总分是：236.5分.得出团体总分最大的分值后，因为每项各选手的评分精确到小数点后一位.当团队总分为236.2时模型为：Maxs.t. ； （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）； （=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10）； (=1，2，3，4) ； =236.2 （=1,2,3,4,5,6,7,8,

26、9,10）（=1,2,3,4）.将表1. 2数据代入这一模型.同样我们这里用数学软件Lindo来进行求解.求解得到结果为：,即：，（=2,4,7,8 =1,2,3,4）；此外，还有.即表示队员2，4，7，8参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛，队员9参加了项目3（跳马）的比赛.以此阵容出赛就有可能得出总分：236.2分.此外多运行两次还可得出阵容：队员1，3，4，8参加全能比赛，此外还有队员2参加了项目1（高低杠

27、）和项目3（跳马）的比赛，队员6参加了项目2（平衡木）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）和项目4（自由体操）的比赛，队员9参加了项目3（跳马）和项目4（自由体操）的比赛 .同样可得到每个选手各单项得分按最高分估算时，团体总分为236.3的阵容，即队员1，3，4，8参加全能比赛，此外还有队员2参加了项目1（高低杠）和项目3（跳马）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目2（平衡木）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛，队员9参加了项目3（跳马）和项目4（自由体操）的比赛；或队员1，4，7，8参加全能比赛，此外还有队员2参加了项目3

28、（跳马）的比赛，队员3参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛，队员5参加了项目2（平衡木）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛，队员9参加了项目3（跳马）和项目4（自由体操）的比赛.团体总分为236.4的阵容，队员1，4，7，8参加全能比赛，此外还有队员2参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛，队员9参加了项目2（平衡木）和项目3（跳马）的比赛.或队员4，7，8，9参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目2（平衡木）和项目3（跳

29、马）和项目4（自由体操）的比赛，队员2参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目1（高低杠）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛.或队员1，4，8，9参加全能比赛，此外还有队员2参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目2（平衡木）的比赛，队员7参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛，队员10参加了项目3（跳马）的比赛.团体总分为236.5的阵容，即队员4，7，8，9参加全能比赛，此外还有队员1参加了项目2（平衡木）和项目3（跳

30、马）的比赛，队员2参加了项目3（跳马）的比赛，队员3参加了项目1（高低杠）和项目4（自由体操）的比赛，队员5参加了项目4（自由体操）的比赛，队员6参加了项目1（高低杠）和项目2（平衡木）的比赛. 总结分析： 团体总分大于等于236.2的共有8个阵容.1、阵容一问题2（1）阵容一参赛表2.1.1项目参赛队员总分1247836236.2224781632478194247835阵容一概率分布图 12、阵容二问题2（1）阵容二参赛表2.1.2项目参赛队员总分1134827236.2213486731348294134879 阵容二概率分布图23、阵容三问题2（1）阵容三参赛表2.1.3项目参赛队员总

31、分1134827236.3213486731348294134859阵容三概率分布图34、阵容四问题2（1）阵容四参赛表2.1.4项目参赛队员总分1147836236.3214785631478294147839 阵容四概率分布图45、阵容五问题2（1）阵容五参赛表2.1.5项目参赛队员总分1147836236.4214786931478294147835阵容五概率分布图56、阵容六问题2（1）阵容六参赛表2.1.6项目参赛队员总分1749836236.4274981637498124749815阵容六概率分布图67、 阵容七 问题2（1）阵容七参赛表2.1.7项目参赛队员总分11498372

32、36.42149876314981024149835阵容七概率分布图78、阵容八问题2（1）阵容八参赛表2.1.8项目参赛队员总分1749836236.5274981637498124749835阵容八概率分布图8 分析上列阵容的得分和概率分布情况可知，阵容八的分值最高且得分概率最大，所以阵容八为最佳阵容.该队为了夺冠应排出的阵容就是阵容八. 问题二（2）的分析与求解分析阵容八的图表，可得出有：（13/24）*100%=54%的得分概率为0.1；（8/24）*100%=33%的得分概率为0.2；（2/24）*100%=8%的得分概率为0.3；（1/24）*100%=4%的得分概率为0.4.则其

33、夺冠前景为54%*0.1+33%*0.2+8%*0.3+4%*0.4=16% 问题二（3）的分析与求解要得出阵容八的得分前景即参赛选手各单项得分期望值的总分.首先把阵容八的参赛选手各单项得分的期望值算出.经Excel软件处理得出参赛选手各单项得分按期望值估算下的总分.（见表）参赛选手的期望值得分表2.3.1478912356总分=19.19.89999.7222.5=29.199.89.299.1=39.58.99.199.59=499.29.39.79.89.7由表中便可看出各参赛选手的期望值和该阵容的得分前景即：222.5分. 问题二（4）的分析与求解根据表1，我们可得出该阵容在每个参赛选手各单项得分最低时的总分算出，这时的总分即该阵容有100%的把握得到的分数.然后再用该分数除以90%即得出该阵容有90%的把握战胜的分数.首先把该阵容参赛选手各单项得分按最低得分估算时的总分算出.经Excel软件处理得出参赛选手各单项得分按最低分估算下的