大学全册高等数学知识点(全)

1、实用标准大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一 . 数列函数 :1. 类型 :(1) 数列: *( ) ;*anf nan 1 f ( an )(2) 初等函数 :(3)分段函数 : *F (x)f1( x) x x0; * F (x)f ( x) x x0;*,f2 (x) x x0a x x0(4)复合 ( 含 f ) 函数 : yf (u), u(x)(5)隐式(方程):F (x, y)0(6)xx(t)参式(数一, 二):y(t)y(7)变限积分函数 : F ( x)xf (x,t )dta(8)级数和函数 ( 数一 , 三 ):S( x)an xn , xn 02. 特征

2、(几何 ):(1)单调性与有界性( 判别 ); (f ( x) 单调x0 , ( xx0 )( f (x)f ( x0 ) 定号 )(2) 奇偶性与周期性 ( 应用 ).3.反函数与直接函数 :y f (x) xf 1( y)yf 1 (x)二.极限性质 :1.类型 : * lim an ; *lim f ( x) ( 含 x); *limf ( x) ( 含 x x0 )nxx x02. 无穷小与无穷大 ( 注 : 无穷量 ):3. 未定型 :0, ,1,0 ,00,004. 性质: * 有界性, * 保号性, * 归并性三 . 常用结论 :111n n1 ,an (a 0) 1 ,(anb

3、ncn )nmax(a, b, c) ,ana00n!精彩文档实用标准1 ( xlim xxlim xn0),1 ,xxx0xelimx ln n x0 ,ex0,xx0x四.必备公式 :1.等价无穷小 :当 u( x)0时 ,sin u(x)u( x) ;tan u(x)u( x) ;eu( x)1u( x) ;ln(1u( x)u( x) ;arcsin u( x)u(x) ;arctan u(x)u( x)2. 泰勒公式 :(1)ex1x1 x2o( x2 ) ;2!1 x2(2)ln(1x)xo( x2 ) ;2(3)sin xx1 x3o(x4 );3!(4)cos x11 x21

4、x4o( x5 ) ;2!4!(1) x2(5)(1x)1xo( x2 ) .2!五.常规方法 :前 提 :(1)准确判断0 ,1, M(其它如:0( 如 : 1t )x1.抓大弃小 (),0 ,lim ln n x0 ,x x1cosu(x)1 u 2 (x) ;2(1u( x)1u( x) ;,0,00,0 );(2) 变量代换2.无穷小与有界量乘积(M ) (注 : sin 11,x)x3. 1 处理(其它如: 00, 0)4.左右极限 ( 包括 x):1 ( x 0) ;1(1)(2) ex (x) ; ex (x 0) ;(3) 分 段 函 数 : x , x ,xmax f ( x

5、)精彩文档实用标准5. 无穷小等价替换 ( 因式中的无穷小 )( 注 : 非零因子 )6. 洛必达法则(1)先”处理” , 后法则 ( 0最后方法 ); (注意对比 :lim x ln x 与 limxln x )0x 11xx01 x11111(2)幂指型处理 : u( x)v(x )ev ( x)ln u ( x) ( 如 : ex 1exex (ex 1x1) )(3) 含变限积分 ;(4) 不能用与不便用7. 泰勒公式 ( 皮亚诺余项 ): 处理和式中的无穷小8.极限函数 :f ( x)limF (x, n) (分段函数 )n六.非常手段1.收敛准则 :(1)an f( )limf(x

6、)nx(2)双边夹 :*bnancn ? ,* bn , cna?(3)单边挤 :an 1f (an )*a2a1 ? *anM ? * f '(x) 0?2.导数定义 ( 洛必达 ?):limf'(x0 )fx0x3.积分和 :lim 1 f ( 1 )f ( 2)f ( n)1f ( x)dx ,0nnnnn4.中值定理 :lim f (xa)f ( x)alimf '()xx5. 级数和 ( 数一三 ):(1)an 收敛lim an0 , ( 如 lim 2nnn! ) (2)lim( a1 a2an )an ,n 1nnnnn1(3) an 与(anan 1 )

7、 同敛散n1七.常见应用 :1.无穷小比较 ( 等价 , 阶 ): * f (x)kxn ,( x0)?(1)f (0) f '(0)f ( n 1) (0)0, f (n ) (0)af ( x)axn( xn )axnn!n!(2)xxkt n dtf (t)dt002. 渐近线 ( 含斜 ):(1)a limf (x) ,blimf ( x) axf (x) ax bxxx,( 1(2)f ( x)ax b0 )x精彩文档实用标准3.连续性 :(1)间断点判别 ( 个数 );(2)分段函数连续性( 附 : 极限函数 ,f '( x) 连续性)八. a, b 上连续函数性质

8、1.连通性:f ( a,b) m, M (注:01,“平均”值:f (a)(1) f (b)f ( x0 ) )2. 介值定理 : ( 附: 达布定理 )(1)零点存在定理 :f (a) f (b)0f (x0 )0 ( 根的个数 );()0(x() )'0ff(2)a.第二讲 : 导数及应用 ( 一元 )( 含中值定理 )一.基本概念 :1.差商与导数 :f '(x)limf ( xx)f (x)f '(x0 )limf ( x) f ( x0 )x;xx0x 0x x0(1)f'(0)lim f ( x)f (0)( 注 : limf ( x)A( f 连续

9、 )f (0)0, f '(0) A )x0xx0x(2) 左右导 :f ' ( x0 ), f ' (x0 ) ;(3)可导与连续 ; (在 x 0处 ,x 连续不可导 ;x x 可导 )2.微分与导数 :f f ( xx)f ( x) f '( x)x o( x)df f '( x)dx(1)可微可导 ;(2)比较f , df 与 "0"的大小比较(图示 );二 . 求导准备 :1. 基本初等函数求导公式 ; ( 注 : ( f ( x) )' )2.法则 : (1) 四则运算 ; (2)复合法则 ;(3)反函数 dx1d

10、yy '三.各类求导 ( 方法步骤 ):1.定义导:(1)f '(a)与f'( );(2) 分段函数左右导;x ax(3)limf ( x h)f ( xh)h 0h(注 :f ( x)F (x) ,xx0 ,求 : f '(x0 ),f '(x) 及 f '(x) 的连续性 )axx0精彩文档实用标准2. 初等导 ( 公式加法则 ):(1)uf g( x) , 求 : u '(x0 ) ( 图形题 );x(2)F ( x)f (t) dtaxb,求:F '(x)(注:b(f ( x, t)dt)', (f ( x, t)

11、 dt)', (f (t) dt)' )aaa(3)yf1 (x) ,xx0, 求 f ' ( x0 ),f ' ( x0 ) 及 f '(x0 )( 待定系数 )f2 (x)xx03.隐式 ( f (x, y)0 )导:dy , d 2 ydxdx2(1)存在定理 ;(2)微分法 ( 一阶微分的形式不变性).(3)对数求导法 .xx(t )24.dy , dy参式导 ( 数一 , 二):, 求:yy(t )dx dx25.高阶导 f (n ) ( x) 公式 :(eax )( n)aneax ;(1) (n)bnn!;abx(a bx)n 1(sin

12、ax)(n )an sin(axn) ;(cos ax)( n)an cos( axn)22(uv)( n)u(n) v Cn1u( n 1)v ' Cn2u ( n 2) v "注 : f ( n)(0) 与泰勒展式 :f ( x)a0a1 x a2 x2an xnanf ( n) (0)n!四.各类应用 :1.斜率与切线 ( 法线 ); (区别 :yf (x) 上点 M 0 和过点 M 0 的切线 )2. 物理:( 相对)变化率 速度;f "( x)3.曲率 ( 数一二 ):( 曲率半径 ,曲率中心 ,曲率圆 )( 1f '2 ( x) 34. 边际与弹

13、性 (数三): ( 附: 需求 , 收益, 成本, 利润)五 . 单调性与极值 ( 必求导 )1. 判别 ( 驻点 f '(x0 ) 0 ):(1)f '(x)0f ( x);f '(x)0f ( x);精彩文档实用标准(2) 分段函数的单调性(3)f '( x)0零点唯一 ;f "( x)0驻点唯一 ( 必为极值 , 最值 ).2.极值点 :(1) 表格 ( f '(x) 变号 ); (由 limf '(x)0, limf '(x)0, limf ''(x)0 x 0 的特xxx2x x0x x0x x0点)(

14、2) 二阶导 ( f '(x0 ) 0 )注 (1) f 与 f ', f " 的匹配 ( f ' 图形中包含的信息 );(2)实例 :由 f '(x)(x) f ( x)g (x) 确定点“ xx0 ”的特点 .(3) 闭域上最值 ( 应用例 : 与定积分几何应用相结合 , 求最优 )3. 不等式证明 ( f ( x) 0 )(1)区别 :*单变量与双变量 ?*xa, b 与 xa,), x(, ) ?(2)类型 :*f '0, f (a)0 ;*f '0, f (b)0*f "0, f (a), f (b) 0;*f &q

15、uot;( x)0, f '(x0 )0, f (x0 )0(3)注意 :单调性端点值极值凹凸性. (如 :f (x)Mf max ( x)M )4. 函数的零点个数 : 单调 介值六 . 凹凸与拐点 ( 必求导 !):1.y "表格 ; ( f "( x0 ) 0 )2.应用 : (1) 泰勒估计 ;(2)f'单调; (3)凹凸 .七.罗尔定理与辅助函数: (注 :最值点必为驻点 )1.结论 :F (b) F ( a)F'( )f ( ) 02.辅助函数构造实例 :f ()F (x)x(1)f (t)dta(2)f'() g()f () g

16、 '()0F (x)f ( x) g(x)(3)f'() g()f () g '()0F (x)f (x)g( x)(4)f'()() f () 0F (x)e( x)dxf ( x) ;精彩文档实用标准3.f (n) ( ) 0f ( x) 有 n 1个零点f ( n 1) ( x) 有 2 个零点4.特例 : 证明 f(n) ( ) a 的常规方法: 令 F ( x)f (x) Pn ( x) 有 n1 个零点 ( Pn (x) 待定)5. 注: 含 1, 2 时,分家!( 柯西定理 )6.附 ( 达布定理 ):f (x) 在 a,b 可导 ,c f 

17、9;(a), f '(b) ,a, b , 使 :f '( )c八.拉格朗日中值定理1.结论 : f (b)f (a)f '( )(b a) ;(a)(b),'() 0)2.估计 :ff '() x九.泰勒公式 ( 连接 f , f ', f " 之间的桥梁 )1.结论 :f ( x)f ( x0 )f '( x0 )( x x0 )1 f "( x0 )( x x0 )21 f "'( )( xx0 ) 3;2!3!2. 应用 : 在已知 f (a) 或 f (b) 值时进行积分估计十 . 积分中值

18、定理 ( 附 : 广义 ): 注 : 有定积分 ( 不含变限 ) 条件时使用 第三讲 :一元积分学一 . 基本概念 :1. 原函数 F ( x) :(1)F '( x)f ( x) ;(2)f ( x)dxdF ( x) ;(3)f ( x)dx F (x) c注 (1)()x()( 连续不一定可导 );Fxaft dt(2)x)()x() ( f ( x) 连续 )(xtfdt( )dtfxatf ta2. 不定积分性质 :(1)(f ( x)dx) 'f (x) ;d ( f ( x) dx) f (x)dx(2)f'( x)dxf ( x) c ;df ( x)

19、f ( x) c二 . 不定积分常规方法1. 熟悉基本积分公式2. 基本方法 : 拆 (线性性 )(k1 f ( x)k2 g (x) dxk1f ( x) dxk2g ( x) dx3.凑微法 ( 基础 ):要求巧 , 简 , 活 ( 1sin 2 xcos2 x )精彩文档实用标准如 : dx1 d ( axb),xdx1 dx2 ,dxd ln x,dx2d xa2xxxdxd 1x2 ,(1ln x)dxd( x ln x)1 x24. 变量代换 :(1)常用 ( 三角代换 , 根式代换 , 倒代换 ):xsin t, ax b t , 1t, ex 1 tx(2)作用与引伸 ( 化简

20、 ):x2 1xt5. 分部积分 ( 巧用 ):ln ,arctan ,x(1)含需求导的被积函数( 如( );xxf tdta(2)“反对幂三指” :xn eax dx,xn ln xdx,(3)特别 :xf ( x)dx (*已知 f ( x) 的原函数为 F ( x) ;*已知 f '(x)F ( x) )6.特 例 :(1)a1 sin xb1 cos x;(2)( ) kxdx,()sinaxdx快速法;a sin xdxp x ep xb cos x(3)v( x) dxun ( x)三 . 定积分:1. 概念性质 :(1) 积分和式 ( 可积的必要条件 : 有界 , 充分

21、条件 : 连续 )(2) 几何意义 ( 面积 , 对称性 , 周期性 , 积分中值 )aax x2 dx(a0)a2 ;*b*(x08abf (x)dx M (ba) ,bM(3) 附:f (x) g( x)dxaabaa b )dx 02g( x) dx )(4) 定积分与变限积分 , 反常积分的区别联系与侧重xf (t) dt 的处理 ( 重点 )2:变限积分( x)a(1)f 可积连续 , f 连续可导(2)xf (t) dt)'f ( x);xx(x t) f (t )dt)'f (t) dt;aaaxa) f (x)f ( x)dt (xa(3)xf (t)dt 参与

22、的求导 ,极限 ,极值 ,积分(方程)问题由函数 F ( x)a精彩文档实用标准3.公式 :b()( )( )(上必须连续 !)NLfdxF (x)在 a,bxF bF aa注 : (1) 分段积分 , 对称性 ( 奇偶 ), 周期性(2) 有理式 , 三角式 , 根式(3)b含f (t )dt 的方程 .a4.变量代换:b()()'( )fx dxfu tut dta(1)af ( x)dxaf (ax)dx( xat) ,00aaa41(2)af ( x)dxaf (x) dx(xt) f (x) f ( x) dx (如 :dx)04 1sin x(3)I n2 sinn xdx

23、n1 I n 2 ,0n(4)2f (sin x) dx2f (cos x)dx ;f (sin x)dx2 2f (sin x)dx ,0000(5)xf (sin x)dx2f (sin x)dx ,005.分部积分(1)准备时“凑常数”xb(2)已知 f '( x) 或 f ( x)时 ,求aa6.附 :三角函数系的正交性 :f ( x)dx22cosnxdx2sin nx cosmxdx0sin nxdx00022cosnxcosmxdx(nm)0sin nxsin mxdx0022 nxdx2cos2 nxdxsin00四.反常积分 :1.类型 :(1)(),a(),()(

24、f ( x) 连续 )ffdxfdxaxdxxx(2)bf ( x)dx :(f (x) 在 xa, xb, xc(a c b) 处为无穷间断 )a2.敛散 ;3.计算 :积分法NL 公式极限 ( 可换元与分部 )4.特例 :(1)1dx ;(2)11dxx pxp10五 . 应用 : ( 柱体侧面积除外 )1. 面积 ,精彩文档实用标准bd1()();SfxgSf ( y) dy(1)a(2)c;S1r 2 ()d侧面积: Sb(3);(4)2 f ( x) 1 f '2 (x)dx2a2. 体积 :(1) Vb f 2 ( x) g 2 (x)dx ; (2)Vd f 1 ( y)

25、 2 dy 2bxf ( x)dxxayca(3) Vx x0 与 Vy y03.弧长 :ds(dx) 2(dy) 2(1)yf (x),x a, bsbf '2 ( x)dx1axx(t )t t1 , t2 st2y '2 (t) dt(2),x '2 (t)yy(t )t1(3)rr ( ), :sr 2 ()r '2 ( )d4. 物理(数一 ,二)功, 引力, 水压力 , 质心,5. 平均值 ( 中值定理 ):(1)f a,b1bbaf (x)dx ;axf (t)dtTf 0)lim0f 以 T 为周期 :f0(2), (xxf (t)dt)T第四讲

26、 :微分方程一 . 基本概念1. 常识 : 通解 , 初值问题与特解 ( 注 : 应用题中的隐含条件 )2. 变换方程 :(1)令 xx(t )y '" Dy " ( 如欧拉方程 )(2)令 uu(x, y)yy( x, u) y ' ( 如伯努利方程 )3. 建立方程 ( 应用题 ) 的能力二 . 一阶方程 :1.形式 : (1)y 'f (x, y) ; (2)M ( x, y)dxN ( x, y)dy 0 ; (3)y(a) b2.变量分离型 :y 'f ( x) g( y)(1)解法 :dyf (x)dxG ( y) F ( x)C

27、g( y)精彩文档实用标准(2)“偏”微分方程 :zf ( x, y) ;x3.一阶线性 ( 重点 ):y 'p( x) yq( x)xp ( x) dx1xM (x) e x0yM (x)q( x)dx y0 (1)解法 ( 积分因子法 ):M (x)x0(2)变化 :x ' p( y) xq( y) ;(3)推广 :伯努利 ( 数一 ) y ' p(x) yq( x) y4.齐次方程 : y '( y)x(1)解法 :yuxu '(u),dudxu(u)uxx(2)特例 :dya1 xb1 yc1dxa2 xb2 yc25.全微分方程 ( 数一 ):

28、M ( x, y)dxN (x, y) dy0 且 NMxydUMdxNdyUC6.一阶差分方程 ( 数三 ):yx 1 ayx0yxca xbx p( x)yx*xnQ( x)bx三.二阶降阶方程1.y "f ( x) :yF (x)c1xc22.y "f ( x, y ') : 令y 'p(x)y"dpf ( x, p)dx3.y "f ( y, y ') : 令 y 'p( y)y "dp( y, p)pfdy四.高阶线性方程 :a( x) y "b(x) y 'c( x) y f ( x

29、)1. 通解结构 :(1)齐次解 : y0 (x)c1 y1 ( x) c2 y2 (x)(2)非齐次特解 :y(x) c1 y1 ( x)c2 y2 ( x) y *( x)2.常系数方程 :ay "by ' cyf ( x)精彩文档实用标准(1) 特征方程与特征根 : a 2 bc 0(2)非齐次特解形式确定:待定系数 ;(附 :f ( x)keax 的算子法 )(3) 由已知解反求方程 .3.欧拉方程(数一):ax2 y " bxy ' cy f ( x) ,令x etx2 y"D( D1)y, xy 'Dy五 . 应用 ( 注意初始

30、条件 ):1. 几何应用 (斜率, 弧长 , 曲率, 面积, 体积);注 : 切线和法线的截距2. 积分等式变方程 ( 含变限积分 );x可设f ( x)dxF ( x), F (a)0a3. 导数定义立方程 :含双变量条件f (xy)的方程4. 变化率(速度)5.dvd 2xF madt 2dt6.路径无关得方程( 数一 ):7. 级数与方程 :QPxy(1)幂级数求和;(2)方程的幂级数解法: ya0a1 xa2 x2, a0y(0), a1y '(0)8. 弹性问题 ( 数三 )第五讲 :多元微分与二重积分一 . 二元微分学概念1. 极限 , 连续 , 单变量连续 , 偏导 ,

31、全微分 , 偏导连续 ( 必要条件与充分条件 ),(1)ff (x0x, y0y),x ff ( x0x, y0 ), y f f (x0 , y0 y)(2)limf , fxlimx f, f ylimy fxy(3)f xxf yy df , limfdf( 判别可微性 )x)2( y)2(注 :(0,0)点处的偏导数与全微分的极限定义:精彩文档实用标准f x (0,0)lim f ( x,0)f (0,0) , f y (0,0)lim f (0, y) f (0,0)x 0xy 0y2. 特例 :xy(0,0)(1)f (x, y)x2y2(0,0) 点处可导不连续 ;:0,(0,0

32、)xy(0,0)f ( x, y)x2y 2(0,0) 点处连续可导不可微 ;(2):0, (0,0)二 . 偏导数与全微分的计算 :1. 显函数一 , 二阶偏导 : z f ( x, y)注 : (1) xy 型 ; (2)zx ( x0 , y0 ) ;(3)含变限积分2. 复合函数的一 , 二阶偏导 ( 重点 ):zf u( x, y), v( x, y)熟练掌握记号f1' , f2' , f11",f12" , f 22" 的准确使用3.隐函数 ( 由方程或方程组确定):(1)F ( x, y, z)0形式 : * F (x, y, z) 0 ; *( 存在定理 )G( x, y, z)0(2)微分法 ( 熟练掌握一阶微分的形式不变性): Fx dx Fy dy Fzdz 0 ( 要求 :二阶导)(3) 注 : ( x0 , y0 ) 与 z0 的及时代入(4) 会变换方程 .三 . 二元极值 ( 定义 ?);1. 二元极值 ( 显式或隐式 ):(1) 必要条件 ( 驻点 );(2) 充分条件 ( 判别 )2. 条件极值 ( 拉格朗日乘数法 ) ( 注: 应用 )(1)目标函