《高等数学教学》09空间解析几何

1、编辑ppt西南财经大学经济数学系西南财经大学经济数学系孙疆明孙疆明高等数学高等数学微积分微积分精编辑ppt向量及其线性运算向量及其线性运算数量积、向量积、混合积数量积、向量积、混合积平面平面空间曲线及其方程空间曲线及其方程曲面及其方程曲面及其方程空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数编辑ppt一、向量及其线性运算一、向量及其线性运算向量概念向量概念有大小、有方向的量称为向量有大小、有方向的量称为向量. .abvFAB用符号 、 、 、 、等标记.用符号 、 、 、 、等标记.如果强调起点A、终点B,也记如果强调起点A、终点B,也记 10.ABa向向量量的的大大小小叫叫做做向向量量的的模模

2、. .记记为为、 等等. .模模为为 的的向向量量叫叫做做单单位位向向量量. .模模为为 0 0 的的向向量量叫叫零零向向量量. . 记记为为 两向量大小相等、方向相同叫做两向量两向量大小相等、方向相同叫做两向量相等相等；两向量方向相同或相反两向量方向相同或相反,叫做两向量叫做两向量平行平行(共线共线);编辑ppt起点放在一起，向量在一个平面内，叫做起点放在一起，向量在一个平面内，叫做共面共面;向量的线性运算向量的线性运算(加减、数乘加减、数乘) ,aAB bBCACACcabab 记记为为设设 连连接接 、 得得向向量量叫叫做做向向量量 、 的的和和; ; ,aAB bACBCCBcabab

3、 BCcbaba 记记为为记记为为设设 连连接接 、 得得向向量量叫叫做做向向量量 与与 的的差差; ;叫叫做做向向量量 与与 的的差差; ;Cbab aBAAaBbCab 编辑ppt 与一向量与一向量 大小相等、方向相反的向量叫做大小相等、方向相反的向量叫做原向量的负向量原向量的负向量. 记为：记为： .a a()abab AaBbCab b ()ab 向量加法性质向量加法性质abba()()abcabc abab abab 12121 ()nnnaaaaaaa Cbab aBAabcab bc abc编辑ppt , 0 0 . .aaaaaa 设 为向量, 为实数, 为新向量,其大小为设

4、为向量, 为实数, 为新向量,其大小为且时, 与 同向; 时,与 反向 称且时, 与 同向; 时,与 反向 称之为数 与向量 的乘积之为数 与向量 的乘积00, 1, ( 1),()()()()().aaaaaaaaaaaabab 向量数乘性质向量数乘性质定理：定理：(向量平行条件向量平行条件) ,.0.abbaa 向向量量与与平平行行存存在在唯唯一一实实数数使使其其中中向量的数乘向量的数乘编辑ppt 证证 充充分分性性由由向向量量数数乘乘定定义义可可得得；()0,0.0,0;aabba 必必要要性性则则当当时时 有有0;babab 当当时时, ,因因 与与 平平行行, ,所所以以 、 或或者

5、者同同向向, ,或或者者反反向向,;,.bbababbaaababbaa又 =,故当 、 同向有 =使又 =,故当 、 同向有 =使当 、 反向时,有 =使当 、 反向时,有 =使证完证完0,()1,1(:),aaaaaaabaaaaae时,且时,且故选长度 的向量 记就可用数表示故选长度 的向量 记就可用数表示注意注意各平行向量各平行向量编辑ppt向量的乘法向量的乘法(积积)向量的夹角向量的夹角 , ,.:( , ),( , ).a ba ba ba b 两两非非零零向向量量把把起起点点放放在在一一起起构构成成的的不不超超过过 的的角角叫叫向向量量的的夹夹角角记记为为1.向量的数量积向量的数

6、量积(点积点积)投影向量长度乘积投影向量长度乘积 ,cos( , ),.: .a ba ba ba ba b 为两向量,称数为向量的为两向量,称数为向量的数量积记为数量积记为 cos( , )a ba ba b 即即ab( , )a b: 1. ; 2. (); 3. ()()().a bb aabca ba bababa b性质性质24. .a aa 编辑ppt2.向量的向量积向量的向量积(叉积叉积)3.向量的混合积向量的混合积, sin( , ) .: .a ba ba bababab 为为两两向向量量. . 以以数数为为模模, ,以以从从 到到右右手手定定则则为为方方向向的的向向量量叫叫

7、作作向向量量 与与 的的向向量量积积记记为为ba abab : 1. ; 2. (); 3. ()()(). 4. ,abbaabcabababa kbababa b 性性质质为为邻邻边边 面面积积. .(), ,.abca b c 叫叫作作的的混混合合积积b a b sin( , )ba b 编辑ppt0.a b 向向量量垂垂直直0.ab 向向量量平平行行 (), ,abca b c 混混合合积积性性质质：以以为为棱棱的的平平行行六六面面体体体体积积. .abcbc , , ,.ijk jki kiji j k设为相互垂直且依顺序设为相互垂直且依顺序构成右手系的三单位向量,则构成右手系的三单

8、位向量,则 ijk()0,(0,0)abcabc bc 三三向向量量共共面面a b c c b 编辑ppt二、空间直角坐标系二、空间直角坐标系O在在空空间间取取定定一一点点O)( x点点 的的数数轴轴 分分别别称称 轴轴, ,和和三三个个相相互互垂垂直直的的单单位位向向 (, , ),i j k量量 记记ijk(O就就构构成成三三个个相相互互垂垂直直交交于于称称为为原原y轴,轴,)z轴轴.称之为直角坐标系称之为直角坐标系xyz.Oxyz记为：记为： 按按x,y,z轴顺序轴顺序,坐标系符合坐标系符合右手定则右手定则,称为右手系称为右手系. 任意两坐标轴确定一个平任意两坐标轴确定一个平面称坐标面面

9、称坐标面. x,y 轴确定坐标轴确定坐标面称面称xOy面面(或或xy面面); x,z 轴轴确定坐标面称确定坐标面称xOz面面; y,z 轴轴确定坐标面称确定坐标面称yOz面面.编辑ppt三个坐标面把空间三个坐标面把空间分为八个部分，每分为八个部分，每个部分叫一个卦限个部分叫一个卦限. .如图如图: :在在xy坐标平面的上坐标平面的上部部, , 依次称为依次称为、卦限卦限. .在在xy面下部与第一面下部与第一卦限相对应的称为卦限相对应的称为第第卦限卦限; ;以后依以后依次称为第次称为第、卦限卦限. .编辑ppt ,. rMOMr 任任给给向向量量 空空间间对对应应有有点点使使rOMxxyyzzP

10、Q QR R , ,OMOP OQOR 以以为为对对角角线线作作长长方方体体, ,与与坐坐标标轴轴重重合合的的棱棱为为则则 rOPOQOR ,OPxi OQyj ORzk 又又 rxiyjzk 所所以以( , , )Mrx y z ( , , )(),:( , , )( , , )oMx y zMrrM x y zr x y z 称称为为空空间间点点或或矢矢径径或或向向量量的的坐坐标标 记记作作或或编辑ppt空间点坐标的位置特征空间点坐标的位置特征1. 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 0,0

11、,0;xyz 卦卦限限点点 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 0,0,0;xyz 卦卦限限点点 2. 0; 0; 0;xOyzyOzxxOzy 坐标面上点 坐标面上点 坐标面上点 坐标面上点 坐标面上点 坐标面上点 编辑ppt3. 0,0; 0,0; 0,0;xyzyxzzxy 轴轴上上点点 轴轴上上点点 轴轴上上点点 4. 0,0,0;Oxyz点 点 向量运算的坐标表示向量运算的坐标表示 111111222222333333 (,), (,), (,),aOMx iy jz kxy zbONx iy jz kxy zcOPx iy jz kxy z设设121

12、2121. (,);abxxyy zz 1111112. (,);axyzx iy jz k 111222/xyzabxyz abOMONNM 其其中中编辑ppt 111222122212221333 () () ()( )()a bx iy jz kx iy jz kxx i iy ijz i kyx j iy jjz j kzx k iy kjz kj 证证 1,1,1,0,0,0.i ijjk ki ji kj k 注注意意：222111() aOMxyz 向向距距量量公公式式离离的的模模 两两点点：222121212()()()NMabxxyyzz 121212222222111222

13、 cos( , )x xy yz za bxyzxyz 两两向向量量夹夹角角：1212123. ;a bx xy yz z 编辑ppt1 22 1122112211112224.()()() a by zy z iz xz x jx yx y kijkxyzxyz ,.ijk jki kij 注注意意向向量量自自身身叉叉积积为为0 0，且且在在右右手手系系下下：12 33 212332123321112223335.() ()()() a b cx y zy zy z xz xz x yx yxyzxyzxyz 12121 2,0a bx xy yz z 垂垂直直 ijk编辑ppt例例(11

14、4)(1,1, 1).Ma 求求过过点点， ， 且且平平行行的的直直线线 ( , , )N x y z解 设为所求直线任一点，则解 设为所求直线任一点，则 /MNa114.111xyz 1 ( , , )1,M x y zO M 解解 设设为为所所求求轨轨迹迹任任一一点点，则则222 (0)(1)(0)1xyz 即即222 2 .xyzy 整整理理得得1 (0,1,0)1O例例 求求到到点点距距离离为为 的的点点的的轨轨迹迹. . ( 1,1,2),(1,0,0),(1,1,1)Pab 例例 求求过过平平行行的的平平面面. . ( , , ) M x y zPM 解 设为所求平面任一点，则解

15、设为所求平面任一点，则平面法线，平面法线，编辑ppt ,()0abPMab 根据向量积知法线方向为所以根据向量积知法线方向为所以 (0, 1,1) (1,1,2) ()(1)1(2)0abPMxyzPMabyz 由由，得得 1zy 整整理理得得12 ( 1,1,2),(2, 2,1)PP例 求到距离相等点的轨迹.例 求到距离相等点的轨迹.12 ( , , ) M x y zP MP M 解解 设设为为轨轨迹迹任任一一点点，则则222222 (1)(1)(2)(2)(2)(1)xyzxyz 6623xyz 整整理理得得例例 已知两点已知两点(-1, 0, 2),(3, -2, 4), 求此两点间

16、的距离求此两点间的距离. .222 (31)( 20)(42)242 6d 解解编辑ppt向量的方向角向量的方向角 (,),().xyzaaaaa 设设称称向向量量 与与三三个个坐坐标标轴轴的的夹夹角角记记 , , , ,为为向向量量的的方方向向角角coscos,xa iaa ia 因因为为所所以以cos cos,cosyzxaaaaaa，类似，类似coscoscosyzxaaaaijkijkaaaa 2221, coscoscos1.aa而所以而所以编辑ppt 空间解析几何利用空间坐标系把空间解析几何利用空间坐标系把空间点构成的几何图形与代数方程联空间点构成的几何图形与代数方程联系起来系起来

17、. .若曲面若曲面S上任意一点的坐标上任意一点的坐标zyOx关于曲面的两个基本问题关于曲面的两个基本问题: :三三. .空间曲面与方程空间曲面与方程则称方程则称方程F(x,y,z)=0 0为曲面为曲面S的方程的方程, 而称曲面而称曲面S为方程为方程F(x,y,z)=0的图形的图形.(如上图如上图)都都满足方程满足方程F(x,y,z)=0 0；而不在曲面而不在曲面S上的点上的点, 坐标都不满足方程坐标都不满足方程F(x,y,z)=0,0,1. 1. 巳知曲面的几何轨迹巳知曲面的几何轨迹, , 建立曲面的方程建立曲面的方程M(x,y,z)S定义定义2. 巳知曲面的方程巳知曲面的方程, , 研究方程

18、的图形研究方程的图形编辑ppt由几何轨迹求曲面方程，常用距离、夹角公式由几何轨迹求曲面方程，常用距离、夹角公式.例例 一动点一动点M( x, y, z)与两定点与两定点A(- -1,0,4)和和B(1,2,-1)B(1,2,-1)的的 MAMB解解 因因222222(1)(4)(1)2(1)xyzxyz（）4410110 xyz故故M( x, y, z)的轨迹方程的轨迹方程距离相等距离相等, 求此动点求此动点M的轨迹方程的轨迹方程.(即即A、B两点连线的垂直平分两点连线的垂直平分面的方程面的方程)为为4410110 xyz000 1.(,)( ,).M xy zrA B C 平平面面与与定定点

19、点连连线线垂垂直直同同一一直直线线 方方向向的的点点的的轨轨迹迹编辑ppt ( , , ), ,N x y zNMr 设动点为则设动点为则000 ()()()0A xxB yyC zz 平平面面方方程程： AxByCzD 整整理理得得：结论：平面方程均为一次方程结论：平面方程均为一次方程, ,反之亦然反之亦然. .1. 0,D 平平面面过过原原点点；平面的空间位置：平面的空间位置：2. ,0,;D D DA B CA B C 平面与三轴交点，平面与三轴交点，OxyzOxyzDADBDC000,.DAxByCz 编辑pptxOz面的方程为面的方程为 y = = 0 因因xOy平面上任意一点的坐标

20、满足平面上任意一点的坐标满足z = 0；而凡满而凡满3. 坐标平面的方程分别为坐标平面的方程分别为xOy面的方程为面的方程为 z = 0; yOz面的方程为面的方程为 x = 0;足足z z = 0= 0的点又都在的点又都在 xOy平面上；平面上；平行于平行于xOy面的平面方程为面的平面方程为 z = c;平行于平行于yOz面的平面方程为面的平面方程为x=a 平行于平行于xOz面的平面方程为面的平面方程为y=b( (c为常数为常数, , 表示此平面在表示此平面在 z z 轴上的截距轴上的截距) )( (b为常数为常数, , 表示此平面在表示此平面在 y y 轴上的截距轴上的截距) )( (a为

21、常数为常数, , 表示此平面在表示此平面在 x x 轴上的截距轴上的截距) )编辑pptOxyzOxyzOxyzOxyzcaOxyzOxyzb编辑ppt222000()()()xxyyzzR2222000()()()xxyyzzR2222xyzR到定点到定点 距离为距离为R的点的轨迹的点的轨迹. .0000(,)Mxy z 0( , , ),.M x y zM MR 设设动动点点为为则则动动点点特别地特别地, ,以原点为以原点为球球心心, ,R为半径的球面方程为为半径的球面方程为;是是此此球球面面的的上上半半部部.是是此此球球面面的的下下半半部部222 zRxy222 zRxy而而2.球面球面

22、000(,)xy zR其中为圆心， 为半径.其中为圆心， 为半径.Oxyz编辑ppt二二元元方方程程在在空空间间都都表表示示柱柱面面. .( , )0,()( , )0.F x yzxOyxyF x y 表表示示平平行行 轴轴 与与平平面面交交线线 准准线线为为平平面面曲曲线线的的柱柱面面3.柱面柱面( , )0,()( , )0.F y zxyOzyzF y z 表表示示平平行行 轴轴 与与平平面面交交线线 准准线线为为平平面面曲曲线线的的柱柱面面( , )0,()( , )0.F x zyxOzxzF x z 表表示示平平行行 轴轴 与与平平面面交交线线 准准线线为为平平面面曲曲线线的的柱

23、柱面面00(,0)xy00(, )xy z00(,)0F xy xyzxyz00(0,)y z00( ,)x y zxyz00(,0,)xz00(, ,)xy z编辑ppt巳知曲面的方程巳知曲面的方程, 研究方程的图形研究方程的图形通常情况下通常情况下, ,三元方程的图形为一张空间曲面三元方程的图形为一张空间曲面; ;至于至于会会得出曲面得出曲面S的全貌的全貌这种方法称为这种方法称为一、二元方程的图形一、二元方程的图形,则应由具体的坐标系而定则应由具体的坐标系而定.一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状一般的三元方程，通常很难立即想出其图形的形状.但若依次用平行于坐标面的平面但若依次用平

24、行于坐标面的平面x = a、y = b和和z = c去截去截曲面曲面S，则可得一系列的截口曲线；，则可得一系列的截口曲线； 再将它们综合起来就再将它们综合起来就例例4 4 考察下列的图形方程考察下列的图形方程: : (1) 2x- - z= =0 (2) 2x+y+2z=4 222(3) xyR“平行截口平行截口”法法.2(5) 4.x22(4) zxy编辑ppt方程不含方程不含y, 用平行于用平行于xz面的任何面的任何平面平面 y=b 与之相交与之相交(联立联立)，得交，得交线线与与xOz面的交线为面的交线为 2x- - z = = 0是是 y=b 平面直线平面直线 2x- - z=0故该方

25、程的图形是经过故该方程的图形是经过y轴且轴且的平面的平面.解解 (1)由方程由方程2x- - z = 0是一次方程是一次方程平面平面.D = 0,平面过原点平面过原点.在在xOz面上为直线面上为直线 2x- - z = 0；xzyO 20ybxz b编辑ppt此为平面的截距式方程此为平面的截距式方程. .1111242xyz它与它与x、y、z轴的交点分别为轴的交点分别为(2, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2).解解 由方程由方程 2x + y + 2z = 4有有(2) 2x + y + 2z = 4 224编辑ppt222(3) xyR222xyR在空间，因方程在空间，

26、因方程222xyR222,xyRzcz=c 平面上平面上圆心在圆心在z z轴轴( (原点原点), ),半径为半径为R 圆圆. .解解 在在xy面上，方程面上，方程是原点为心，半径为是原点为心，半径为R的圆的圆.用任意平行用任意平行xy平面的平面平面的平面 z=c 去截曲面，其交线为去截曲面，其交线为不含不含z，曲面是以曲面是以 z 轴为心的圆柱面轴为心的圆柱面. 一般地一般地, 方程方程 F(x,y,z)=0 中缺少某中缺少某个变量个变量, 则方程表示曲面平行那个作标轴，则方程表示曲面平行那个作标轴，曲面称为柱面曲面称为柱面. 柱面名称以坐标面柱面名称以坐标面交线交线 ( 称为称为准线准线)名

27、称命名名称命名.编辑ppt如如zxy2.平平行行 轴轴的的抛抛物物柱柱面面 yzx221.49平平行行 轴轴的的双双曲曲柱柱面面 xOyzxOyz编辑ppt22(4) zxy解解 用用平面平面z=c( (c0) )去截曲面去截曲面, ,其截线为其截线为22 xyczc当当c=0时时, ,只有原点只有原点( (0, , 0, , 0) )满足此方程；满足此方程；c00时时,其截痕为以其截痕为以(0,0,c)为圆心为圆心,显然显然c越大，其交线圆越大越大，其交线圆越大.以以为半径的圆为半径的圆.抛物线抛物线.若用若用平面平面y=0去截曲面去截曲面, ,其截痕为其截痕为抛物线抛物线.20 zyx20

28、 zxyxyzOc方程图形称为旋转抛物面方程图形称为旋转抛物面. .编辑ppt曲线曲线L L称为此旋转曲面的母线称为此旋转曲面的母线, ,l曲面曲面 是是 z=y2绕绕z轴轴旋转而成抛物面旋转而成抛物面. .22zxy一般，一般，如果有一条平面曲线如果有一条平面曲线L(如如y=f(x)，绕着同一平面内一条，绕着同一平面内一条l已知直线已知直线 (如如x轴轴) 旋转一周形成的曲面称为旋转一周形成的曲面称为旋转曲面旋转曲面.已知直线已知直线旋转曲面的轴旋转曲面的轴.称为此称为此Oxyz y=f(x)绕绕x轴旋转轴旋转,曲面方程曲面方程:( , , ) , ( ),( ,0,0),M x y zxf xx为曲面任一点，则为曲面任一点，则过该点作垂直轴截面是一过该点作垂直轴截面是一个圆 半径圆心故方程为：个圆 半径圆心故方程为：yzf xyzfx22222( )( ) y=f(x)绕绕y轴旋转轴旋转,曲面方程曲面方程:yfxz22() z=f(y)绕绕z轴旋转轴旋转,曲面方程曲面方程:zfx