《高等数学教学》9-2 偏导数

1、第二节一、一、 偏导数偏导数二二 、高阶偏导数、高阶偏导数 偏 导 数 第九章 目的要求：理解偏导数的基本概念、意义及与目的要求：理解偏导数的基本概念、意义及与一元函数的导数联系与区别，熟练掌握偏导数一元函数的导数联系与区别，熟练掌握偏导数的计算方法。的计算方法。一一 偏导数偏导数(一) 定义及求法(二)几何意义(三)与连续的关系引入引入理想气态方程：理想气态方程：温度温度T不变不变VRTP 等温过程等温过程P对对V的变化率？的变化率？容积容积V不变不变等容过程等容过程P对对T的变化率？的变化率？),(yxfz 固定固定yz对对x的变化率？的变化率？固定固定xz对对y的变化率？的变化率？xxf

2、xxfxyxx)()(limlim0000一元函数一元函数二元函数二元函数xzx0limxyxfyxxfx),(),(lim00000yzy0limyyxfyyxfx),(),(lim00000(一一)、 偏导数的定义及求法偏导数的定义及求法0)(ddxxxfx 定义定义1 1设函数设函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当的某一邻域内有定义，当y固定在固定在y0而而x在在x0有增量有增量x时时,相应地函数有增量相应地函数有增量:f(x0+ x,y0)-f(x0,y0)如果如果xyxfyxxfx),(),(lim00000存在，则称此极限为函数存在，则称此极限为函数z=

3、f(x,y)在点在点(x0,y0)处处对对x的偏导数的偏导数，记作：记作：),(,00000000yxfzxfxzxyyxxxyyxxyyxx类似地，函数类似地，函数z=f(x,y)在点在点(x0,y0)处处对对y的偏导数的偏导数定义为定义为：yyxfyyxfy),(),(lim00000记作：记作：),(,00000000yxfzyfyzyyyxxyyyxxyyxx00),(ddxxyxfx0),(dd0yyyxfy定义定义2 2如果函数如果函数z=f(x,y)在区域在区域D内每一点内每一点(x,y)处对处对x的偏导数都存在的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是那么这个偏导数就是x 、y的函数

4、，它就称为函数的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自对自变量变量x的偏导函数的偏导函数，记作：，记作：xxfzxfxz,类似地，可以定义函数类似地，可以定义函数z=f(x,y)对自变量对自变量y的偏导函数的偏导函数：记作：记作：yyfzyfyz,通常把通常把偏导函数偏导函数简称为简称为偏导数偏导数偏导函数与偏导数的区别与联系偏导函数与偏导数的区别与联系:区别区别:),(yxfx函数函数),(00yxfx数数联系联系:00),(),(00yyxxxxyxfyxf),(zyxfx例如例如, 三元函数三元函数 u = f (x , y , z) 在点在点 (x , y , z) 处对处对 x 的的

5、偏导数的概念可以推广到二元以上的函数偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . lim0 x), (zyf),(zyfxxx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数定义为偏导数定义为(请自己写出请自己写出)例例1 . 求223yyxxz解法解法1xz)2, 1 (xz解法解法2) 2, 1(xz在点(1 , 2) 处的偏导数.) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz先求后代先代后求例例2. 设，）且1, 0(xxxzyzyzxxzyx2ln1 证证:xzyzxxzyxln1 例例3.

6、 求222zyxr的偏导数 . 解解:xryryyxx yz求证,1yxyxxylnz22222zyxx2rxrzzr,ry偏导数记号是一个偏导数记号是一个例例4. 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程求证求证:1pTTVVpTRVp证证:,VTRp ,pTRV ,RVpT pTTVVp说明说明:(R 为常数为常数) , Vp2VTRTVpRpTRVVpTR1不能看作不能看作分子与分母的商分子与分母的商 !此例表明此例表明,整体记号整体记号,二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:00),(dd00 xxyxfxxfxxyy00),(dd00yyyxfyyfxxyy是曲线是曲

7、线0),(yyyxfzxTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0MyTM00),(xxyxfz在点在点M0 处的切线处的切线对对 y 轴的斜率轴的斜率.(二二)、 偏导数的几何意义偏导数的几何意义u例例5 5 考察考察在在( (0,0) )处的偏导数与连续性处的偏导数与连续性. . ),(yxf22yxxy )0 , 0(),( yx)0 , 0(),( yx0解解:xfxffxx)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0000lim0 xxyfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0000lim0yy

8、偏导数存在偏导数存在连续连续(三三)、与连续的关系、与连续的关系u例例6 6结论结论偏导数存在偏导数存在连续连续考察考察在在( (0,0) )处的偏导数与连续性处的偏导数与连续性. .22),(yxyxf 解解:xfxffxx)0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0 xxx0limyfyffyy)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0yyy0lim设设 z = f (x , y)在区域在区域 D 内具有偏导数内具有偏导数),(, ),(yxfyzyxfxzyx )(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 若这两个偏导数仍存在偏导数，若这两个偏导数仍存

9、在偏导数， 则称它们是则称它们是z = f (x, y) 的的二阶偏导数二阶偏导数 . 按求导顺序不同按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数有下列四个二阶偏导数22xz );,( yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 概念概念混合偏导数混合偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.二、高阶偏导数二、高阶偏导数类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.例如，例如，z = f (x , y) 关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322)(xzxzxz = f (x , y) 关于关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 , 再

10、关于再关于 y 的一阶的一阶) (yyxznn111nnxz22exy例例7. 求函数求函数2exyz.23xyz解解 :xz22xz) ( 223xyzxxyzyzxyz2yxz2 22 yz注意注意: :此处此处,22xyzyxz但这一结论并不总成立但这一结论并不总成立. .2exy22exy2exy22exy22exy24exy的二阶偏导数及的二阶偏导数及 定理定理本定理对本定理对n元函数的高阶混合导数也成立元函数的高阶混合导数也成立.l注注如果函数如果函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数的两个二阶混合偏导数yxz 2及及xyz 2在区域在区域D内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏

11、导数内连续，那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等必相等.例如例如, 对三元函数对三元函数 u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx说明说明:函数在其定义区域内是连续的函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序数可以选择方便的求导顺序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx因为初等函数的偏导数仍为初等函数因为初等函数的偏导数仍为初等函数 ,当三阶混合偏导数当三阶混合偏导数在点在点 (x , y , z) 连续时连续时, 有有而初等而初等例例8. 证明函数证明函

12、数222,1zyxrru满足拉普拉斯满足拉普拉斯0222222zuyuxu证：证：xu22xu利用对称性利用对称性 , 有有,3152322ryryu222222zuyuxuu方程方程xrr21rxr2131rxrrx4352331rxr5232231rzrzu52223)(33rzyxr2r0思考与练习思考与练习解答提示解答提示: P129 题 5，时当022 yx222),(yxyxxyxfx222),(yxyxyyxfy,022 yx当0)0 ,(dd)0 , 0(xxfxfx0), 0(dd)0 , 0(yyfyfy00P129 题 5 , 62223)(2yxyx222222)()(yxyxx即 xy0 时,P129 题6(1),12yxxz22yxyyz,)(12222yxxz,)(2222yxyyxz22222)()(2yxyxyz(2),1yxyxzxxyzyln,) 1(2 .22yxyyxzxxyxyxzyyln1 .12xxyzy222ln作业作业P69 1偶偶； 3； 4；5； 6