《高等数学教学汇编》(11)

1、编辑编辑ppt12.1 幂级数幂级数编辑编辑ppt一、函数项级数的一般概念一、函数项级数的一般概念1.1.定义定义: :,120 xxxnn例如级数例如级数编辑编辑ppt2.2.收敛点与收敛域收敛点与收敛域: :如果如果Ix 0, ,数项级数数项级数 10)(nnxu收敛收敛, ,则称则称0 x为级数为级数)(1xunn 的的收敛点收敛点, ,否否则则称称为为发发散散点点. .所所有有发发散散点点的的全全体体称称为为发发散散域域. .函函数数项项级级数数)(1xunn 的的所所有有收收敛敛点点的的全全体体称称为为收收敛敛域域, ,编辑编辑ppt)()(limxSxSnn函数项级数的部分和函数项

2、级数的部分和余项余项)()()(xSxSxrnn(x在收敛域上在收敛域上)0)(lim xrnn注意注意函数项级数在某点函数项级数在某点x的收敛问题的收敛问题,实质上实质上是数项级数的收敛问题是数项级数的收敛问题.3.3.和函数和函数: :)()()()(21xuxuxuxSn),(xSn编辑编辑ppt例例 1 1 求级数求级数nnnxn)11()1(1 的收敛域的收敛域.解解由比值判别法由比值判别法)()(1xuxunn xnn 111)(11 nx, 111)1( x当当,20时时或或即即 xx原级数绝对收敛原级数绝对收敛., 11 x编辑编辑ppt, 111)2( x当当, 11 x,0

3、2时时即即 x原级数发散原级数发散.,0时时当当 x 1)1(nnn级数级数收敛收敛;,2时时当当 x 11nn级数级数发散发散;)., 0)2,( 故级数的收敛域为故级数的收敛域为, 1|1|)3( x当当, 20 xx或或编辑编辑ppt二、幂级数及其收敛性二、幂级数及其收敛性1.1.定义定义: :形形如如nnnxxa)(00 的的级级数数称称为为幂幂级级数数. .,000nnnxax 时时当当其中其中na为为幂级数系数幂级数系数.2.2.收敛性收敛性: :,120 xxxnn例如级数例如级数;,1收收敛敛时时当当 x;,1发发散散时时当当 x);1 , 1( 收敛域收敛域);, 11,(

4、发发散散域域编辑编辑ppt定理定理 1 (1 (AbelAbel 定理定理) )如如果果级级数数 0nnnxa在在0 xx 处处发发散散, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处发发散散. .证明证明, 0lim0 nnnxa,)1(00收敛收敛 nnnxa如如果果级级数数 0nnnxa在在)0(00 xxx处处收收敛敛, ,则则它它在在满满足足不不等等式式0 xx 的的一一切切x处处绝绝对对收收敛敛; ;编辑编辑ppt), 2 , 1 , 0(0 nMxann使使得得,M nnnnnnxxxaxa00 nnnxxxa00 nxxM0 ,10时时当当 xx,00收收敛敛

5、等等比比级级数数nnxxM ,0收收敛敛 nnnxa;0收收敛敛即即级级数数 nnnxa编辑编辑ppt采采用用反反证证法法证证之之. .时时发发散散, ,当当( (2 2) )0 0 xx 则则级级数数当当0 xx 时时应应收收敛敛,这与所设矛盾这与所设矛盾.由由(1)结论结论编辑编辑ppt如如果果幂幂级级数数 0nnnxa不不是是仅仅在在0 x一一点点收收敛敛, ,也也不不是是在在整整个个数数轴轴上上都都收收敛敛, ,则则必必有有一一个个完完全全确确定定的的正正数数R存存在在, ,它它具具有有下下列列性性质质: :由由Abel 定理可以看出定理可以看出, 1) 幂级数在幂级数在 (R , R

6、 ) 收敛收敛 ;2) 在在R , R 可能收敛也可能发散可能收敛也可能发散 .Rx外发散外发散;3) 编辑编辑ppt定义定义: : 正数正数R称为幂级数的称为幂级数的收敛半径收敛半径.称为幂级数的称为幂级数的收敛区间收敛区间., 0 R规定规定, R收收敛敛区区间间0 x;收敛区间收敛区间),( .问题问题如何求幂级数的收敛半径如何求幂级数的收敛半径?),(RR(1) 幂幂级级数数只只在在0 x处处收收敛敛,( (2 2) ) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛, ,(R , R ) 加上收敛的端点称为加上收敛的端点称为收敛域收敛域.编辑编辑ppt定理定理 2 2 如果幂级数如果幂级数

7、0nnnxa的所有系数的所有系数0 na,设设 nnnaa1lim (或或 nnnalim)(1) 则则当当0 时时, 1R;(3) 当当 时时,0 R.(2) 当当0 时时, R;证明证明nnnnnxaxa11lim xaannn1lim ,x 1) 若若 0,则则:当当,x1原级数收敛原级数收敛;当当,1x原级数发散原级数发散.即即1x即即1x;1R编辑编辑ppt, 0)2( 如如果果, 0 x),(011 nxaxannnn有有,|0收收敛敛级级数数 nnnxa.0收收敛敛绝绝对对从从而而级级数数 nnnxa; R收收敛敛半半径径,)3( 如果如果, 0 x.0 nnnxa必必发发散散级

8、级数数. 0 R收敛半径收敛半径定理证毕定理证毕.编辑编辑ppt0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为说明说明: :据此定理据此定理1limnnnaaR编辑编辑ppt例例2 2 求下列幂级数的收敛区间及收敛域求下列幂级数的收敛区间及收敛域:解解)1(nnnaa1lim 1lim nnn1 1 R,1时时当当 x,1时时当当 x,)1(1 nnn级级数数为为,11 nn级级数数为为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散;)1()1(1nxnnn ;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx编辑编辑pptnnna limnn lim, , R级数只在级数只在0 x处收敛处收敛,nnnaa1lim

9、 11lim nn, 0 , 0 R;)()2(1 nnnx;!)3(1 nnnx编辑编辑ppt例例3.12) 1(nnnnx求幂级数的收敛域的收敛域.解解: 令令 ,1 xt级数变为级数变为nnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12当当 t = 2 时时, 级数为级数为,11nn此级数发散此级数发散;当当 t = 2 时时, 级数为级数为,) 1(1nnn此级数条件收敛此级数条件收敛;因此级数的收敛域为因此级数的收敛域为,22t故原级数的收敛域为故原级数的收敛域为,212x即即.31x编辑编辑ppt例例4.nnxnn202) !(!

10、 )2(求幂级数的收敛半径的收敛半径 .解解: 级数缺少奇次幂项级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理不能直接应用定理2,比值判别法求收敛半径比值判别法求收敛半径. lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当时级数收敛时级数收敛时级数发散时级数发散 故收敛半径为故收敛半径为 .21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx2故直接由故直接由编辑编辑ppt三、幂级数的运算三、幂级数的运算1.1.代数运算性质代数运算性质: :(1) 加减法加减法 00nnnnnnxbxa.0 nnnxc(其中其中 2

11、1,minRRR )nnnbac RRx, ,2100RRxbxannnnnn和和的收敛半径各为的收敛半径各为和和设设 编辑编辑ppt(2) 乘法乘法)()(00 nnnnnnxbxa.0 nnnxc RRx, (其中其中)0110bababacnnnn 编辑编辑ppt2.2.和函数的分析运算性质和函数的分析运算性质: :编辑编辑ppt xnnnxdxxadxxS000)()(即 00nxnndxxa.110 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)编辑编辑ppt0)()( nnnxaxS即 0)(nnnxa.11 nnnxna(收敛半径不变收敛半径不变)编辑编辑ppt解解1limnnnaaR11limnnn,1时时当当 x,1时时当当 x,) 1(11nnn级数为该级数收敛该级数收敛该级数发散该级数发散, )1(1nn级数为例例 5 5 求级数求级数 11)1(nnnnx的和函数的和函数. 编辑编辑ppt,) 1()(11nnnnxxS, 0)0(S显然两边积分得两边积分得)1ln()( 0 xdttSx21)( xxxS,11x )11( x