《离散数学》第五章1-2节

1、编辑ppt1代数系统代数系统由集合和该集合中的一个或多个由集合和该集合中的一个或多个n元运算所组成元运算所组成的系统，称为代数系统。的系统，称为代数系统。 代数系统是一种数学结构，它由集合、关系、运算、定代数系统是一种数学结构，它由集合、关系、运算、定义、公理、定理和算法组成。义、公理、定理和算法组成。 第三篇第三篇 代数系统代数系统编辑ppt2第五章第五章 代数结构代数结构代数系统的运算与性质代数系统的运算与性质半群、群与子群半群、群与子群阿贝尔群和循环群阿贝尔群和循环群陪集与拉格朗日定理陪集与拉格朗日定理同态与同构同态与同构环与域环与域编辑ppt35-1 代数系统的引入代数系统的引入举例实

2、数举例实数R上的上的一元运算：一元运算：f(a)=1/a，f(a)=-a二元运算：二元运算：f(a,b)=a+b 例例 (1)数的加法是实数集数的加法是实数集R上的二元运算上的二元运算 (2)设设S是一个集合，集合的并、交是是一个集合，集合的并、交是(S)上的二元运算上的二元运算 对于集合对于集合A，一个从，一个从An到到B的映射，称为的映射，称为A上的上的n元运算元运算。如果。如果B A，则称该，则称该n元运算是元运算是封闭的封闭的。编辑ppt4*1元硬币元硬币 5角硬币角硬币1元硬币元硬币5角硬币角硬币可口可乐可口可乐 桔子汁桔子汁桔子汁桔子汁 牛奶牛奶例例 编辑ppt5u在后面的学习中，

3、主要是讨论一个集合上的二元运算。在后面的学习中，主要是讨论一个集合上的二元运算。u要确定一个二元运算，就是确定任意两个元素的运算结果。当要确定一个二元运算，就是确定任意两个元素的运算结果。当A是有是有限集时，限集时，A上的运算可用一个表来表示：上的运算可用一个表来表示：设设A=a1,a2,an，。是，。是A上的运算，则下表称为运算上的运算，则下表称为运算“。”的的运算表运算表a1a2ai。 a1 a2 aj an a 11 a12 aij 其中，其中，aij=ai。aj编辑ppt6例如例如， ， 一个非空集合一个非空集合A连同若干个定义在该集合上的运算连同若干个定义在该集合上的运算f1，f2，

4、fn所组成的系统就称为一个所组成的系统就称为一个代数系统代数系统，记作记作。编辑ppt7一、二元运算的基本性质一、二元运算的基本性质 设设*是定义在集合是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的 x,yA，都有，都有x*yA,则称二元运算则称二元运算*在在A上是上是封闭的封闭的。例例 考察下列运算是否是指定集合上封闭的二元运算考察下列运算是否是指定集合上封闭的二元运算?(1) (1) 整数集合整数集合Z Z上的加、上的加、减减、乘、乘、除除。(2) (2) 自然数集合自然数集合N N上的加、减、乘、上的加、减、乘、除除。(3) (3) 非零实数集非零实数集R R*

5、*上的上的加加、减减、乘、除。、乘、除。(4) n(4) n阶实矩阵上的加、乘。阶实矩阵上的加、乘。(5) (5) 集合集合S S的幂集上的的幂集上的、 、- -、 。5-2 运算及其性质运算及其性质编辑ppt8注意注意: :通常用通常用。，*，.，等符号表示二元运算，称为等符号表示二元运算，称为算符算符。例例1 设设A=x|x=2n,nN, 加法运算，乘法运算是否封闭？加法运算，乘法运算是否封闭？编辑ppt9考察下列运算在指定集合上是否符合交换律考察下列运算在指定集合上是否符合交换律?(1) (1) 实数集合上的加、实数集合上的加、减减、乘、乘、除除。(2) n(2) n阶实矩阵上的加、阶实

6、矩阵上的加、乘乘。(3) (3) 集合集合S S的幂集上的的幂集上的、 、- -、 。 设设*是定义在集合是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的 x,yA，都有都有x*y=y*x,则称二元运算则称二元运算*是是可交换的可交换的。例例2 设设Q是有理数集合，是有理数集合，是是Q上的二元运算，对于任意的上的二元运算，对于任意的a,bQ，ab=a+b-ab，问运算，问运算是否可交换。是否可交换。解：解：ab=a+bab=b+aba=ba, 是可交换的。是可交换的。编辑ppt10 设设*是定义在集合是定义在集合A上的二元运算，如果对于任意的上的二元运算，如果对于任意的

7、x,yA，都有（都有（xy）z=x(yz),则称二元运算是则称二元运算是可结合的可结合的。考察下列运算在指定集合上是否符合结合律考察下列运算在指定集合上是否符合结合律?(1) N(1) N、Z Z、Q Q、R R、C C集合上的加、乘。集合上的加、乘。(2) n(2) n阶实矩阵上的加、乘。阶实矩阵上的加、乘。(3) (3) 集合集合S S的幂集上的的幂集上的、 、 。编辑ppt11例例3 设设A是一个非空集合，是是一个非空集合，是A上的二元运算，对于任意上的二元运算，对于任意a,bA,有有ab=b,证明是可结合的。证明是可结合的。证明证明：对于任意的：对于任意的a,b,cA (ab) c=b

8、c=c而而 a(bc)=ac=c所以所以 （ab）c = a(bc)运算特点？运算特点？编辑ppt12 设设、*是二元运算，对于任意的是二元运算，对于任意的x,y,zA，都有，都有 x*(yz)=(x*y) (x*z) (yz)*x=(y*x) (z*x) 则称则称*对于对于是是可分配的可分配的。如：如：(1) N(1) N、Z Z、Q Q、R R、C C集合上的乘法对加法。集合上的乘法对加法。(2) n(2) n阶实矩阵上的乘法对加法。阶实矩阵上的乘法对加法。(3) (3) 集合上的集合上的、互相可分配。互相可分配。x*(y+z), (y+z) * x编辑ppt13例例4 设集合设集合A=，

9、在在A上定义两个二元运上定义两个二元运算算*和和，运算，运算对于对于*可分配吗？运算可分配吗？运算*对于对于呢？呢？解：解：对运算：对运算： ( )与与( )( ) ( )， ( )与与( )( ) ( )，对对运算：运算：（ ），（），（ ）（ ）* 编辑ppt14 设设、*是可交换二元运算，对于任意的是可交换二元运算，对于任意的x,yA，都有，都有 x*(xy)=x x(x*y)=x 称称*，满足满足吸收律吸收律。如：如： 集合上的集合上的和和满足吸收律。满足吸收律。即，任意集合即，任意集合A，B满足满足 A (A B) =A A (A B) =A编辑ppt15学习如登山，学习如登山，苦战

10、能过关。苦战能过关。例例5 N是自然数全体，是自然数全体，x,yN xy=max(x,y) xy=min(x,y)验证验证, 满足吸收律。满足吸收律。解：解：a (ab)=max(a,min(a,b)=a a (ab)=min(a,max(a,b)=a因此因此*，满足吸收律。满足吸收律。 编辑ppt16 设设*是定义在集合是定义在集合A上的一个二元运算，如果对于任意的上的一个二元运算，如果对于任意的xA,都都有有xx=x,则称运算是则称运算是等幂的等幂的。(若某些元素满足，称为若某些元素满足，称为等幂元等幂元)编辑ppt17例例6 设设(S)是集合是集合S的幂集，在的幂集，在(S)上定义的两个

11、二元运算上定义的两个二元运算“并并”、“交交”，验证是等幂的。，验证是等幂的。若若x是是中关于中关于*的等幂元，对于任意正整数的等幂元，对于任意正整数n，则，则xn=x。编辑ppt18)x*S)(rexxx（)xe*xx*eS)(xx（ 给定给定S，*且且el, erS,则则el为关于为关于*的的左幺元左幺元：er为关于为关于*的的右幺元右幺元：既为左幺元又为右幺元，称既为左幺元又为右幺元，称e为关于为关于*的的幺元：幺元：二、幺元、零元、逆元二、幺元、零元、逆元)xx*eS)(lxx（编辑ppt19如：如：(1) (1) 在在N N、Z Z、Q Q、R R、C C上，上，0 0是加法的幺元，

12、是加法的幺元，1 1是乘法的幺元。是乘法的幺元。(2) n(2) n阶阶0 0矩阵是矩阵加法的幺元，矩阵是矩阵加法的幺元，n n阶单位矩阵是矩阵乘法阶单位矩阵是矩阵乘法 的幺元。的幺元。(3) (3) 在集合上，在集合上， 是是运算的幺元，全集是运算的幺元，全集是运算的幺元运算的幺元 。编辑ppt20例例7 设集合设集合S=，在，在S上定义两个二元运算和上定义两个二元运算和。试指出左幺元或右幺元。试指出左幺元或右幺元。 编辑ppt21 给定给定且且el, er分别是关于分别是关于*的左右幺元，则的左右幺元，则el = er =e,且且幺元幺元e唯一。唯一。证明：证明： el * er = el

13、 el * er = er el = er = e 唯一性唯一性？编辑ppt22 给定给定S，*且且l, r, S,则则l为关于为关于*的的左零元左零元：r为关于为关于*的的右零元右零元： e为关于为关于*的的零元零元：)*S)(rrxxx（)0*xx*S)(xx（浅色浅色 深色深色浅色浅色深色深色浅色浅色 深色深色深色深色 深色深色)x*S)(llxx（幺元？零元？幺元？零元？例例8 设集合设集合S=浅色，深色浅色，深色定义在定义在S上一个二元运算如下表所示上一个二元运算如下表所示编辑ppt23如：如：在在N N、Z Z、Q Q、R R、C C上，上， 0 0是乘法的零元，加法没有零元。是乘

14、法的零元，加法没有零元。(2) n(2) n阶阶0 0矩阵是矩阵乘法的零元，矩阵是矩阵乘法的零元，n n阶矩阵的加法无零元。阶矩阵的加法无零元。(3) (3) 在集合上，在集合上，运算的零元是全集，运算的零元是全集，运算的零元是运算的零元是编辑ppt24证明：证明： l l = = l l*r r = = r r l l = = r r r r是右零元是右零元 l l是左零元是左零元把把l l = = r r 记作记作，则则是是S S中的零元。假设中的零元。假设也是也是S S中的零元，则中的零元，则 = *= 是零元是零元 是是S S中关于中关于*运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。 给定给定

15、且且l, r分别是关于分别是关于*的左右零元，则的左右零元，则l=r=,且且零元零元唯一。唯一。编辑ppt25 设设A是一个代数系统，且集合是一个代数系统，且集合A中元素的中元素的个数大于个数大于1，如果该，如果该系统中存在幺元系统中存在幺元e和零元和零元，则，则e证明：设证明：设e=；对任意；对任意x， 则则 e*x= x；*x=；x= , 即即A中所有元素都是相同的。中所有元素都是相同的。 矛盾？矛盾？ 编辑ppt26 给定给定S，*且且e，aS，e为幺元，则为幺元，则 b为为a的的左逆元左逆元： b为为a的的右逆元右逆元： b为为a的的逆元逆元：)*S)(ebabb（)b*aa*bS)(

16、ebb（)bS)(eabb（考虑：考虑：(1) (1) 整数集合整数集合Z Z上，加法逆元上，加法逆元? ?(2) (2) 在集合上，在集合上， 运算、运算、运算的逆元运算的逆元? ?先求先求幺元幺元编辑ppt27例例9 设集合设集合S=，定义，定义S上的一个二元运算上的一个二元运算*如下表所示，试指出如下表所示，试指出中各元素的左、右逆元情况中各元素的左、右逆元情况* 先找先找幺元幺元编辑ppt28一般来说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元，一般来说，一个元素的左逆元不一定等于该元素的右逆元，而且，一个元素可以有左而且，一个元素可以有左(右右)逆元而没有右逆元而没有右(左左)逆元，甚

17、逆元，甚至其数目也可以是不唯一的。至其数目也可以是不唯一的。若若b是是a的逆元，则的逆元，则a也是也是b的逆元，简称的逆元，简称a与与b互为逆元互为逆元 一个元素一个元素x的逆元记为的逆元记为x-1一个元素的左逆不一定等于右逆，并且不一定都存在，一个元素的左逆不一定等于右逆，并且不一定都存在，也不唯一也不唯一编辑ppt29例例 设设A=1,2,3,4,5, 的运算表为：的运算表为：1为幺元，为幺元，2,4都是都是3的左逆元，的左逆元，3是是5的左逆元的左逆元所以所以3是是2,4的右逆元，的右逆元， 5是是3的右逆元，但的右逆元，但3不存在不存在逆元逆元1 2 3 4 52 3 1 4 43 3

18、 3 2 14 5 1 3 25 4 3 2 2123451 2 3 4 5编辑ppt30 给定给定及幺元及幺元eS，如果，如果*是是可结合可结合的并且一个元素的并且一个元素x 的左的左逆元逆元 和右逆元和右逆元 存在，则存在，则 = ，且每个元素的逆，且每个元素的逆元唯一元唯一证明证明： = *e= * (x * ) =( * x) * =e* =若若b，c均为均为a的逆元，则的逆元，则b=b*e=b*(a*c)=(b*a)*c=e*c=c 故逆元唯一故逆元唯一1lx1lx1lx1rx1lx1rx1rx1rx1rx1lx1rx1lx编辑ppt311封闭性封闭性 运算表中元素都属于运算表中元素都属于A。2可交换性可交换性 表关于主对角线对称