第五十六讲 函数的幂级数展开

1、第五十六讲 函数的幂级数展开重点：用间接方法把函数展开成幂级数难点：用直接方法把函数展开成幂级数我们知道，幂级数的每一项都是幂函数，它的部分和是的一个n次多项式，多项式的运算是比较简单的。在其收敛域内，幂级数的和函数就可以用它的部分和来逼近，而且误差当n®¥时趋于零，所以这种逼近可以达到任意的精确度。这就启发我们将一个比较复杂的函数用多项式去逼近它。这个问题实质上就是把已知函数展开成幂级数的问题。那么对于任意一个函数，能否将其展开成一个幂级数？如果能够展开成一个幂级数，它是否以为和函数？一、泰勒(Taylor)级数泰勒公式 如果函数在点附近有直到阶导数，则有 （1）其中 （

2、在与之间）。称为拉格朗日余项，称（1）式为泰勒公式。如果令=0，由（1）有 （2）其中 （）。称为麦克劳林（Maclaurin）公式。公式说明，任意一个函数只要有直到阶导数，就等于一个n次多项式与一个余项的和。下列幂级数 （3）称为麦克劳林级数。那么它是否以函数为和函数呢？若令麦克劳林级数（3）的前项的和为，即 ，则。级数（3）收敛于函数的条件是 。因此，当时，有。反之，若，必有 。这表明，麦克劳林级数（3）以为和函数的充要条件，麦克劳林公式中的余项（当n®¥）。这样，我们就得到了函数的幂级数展开式 （4）且展开式是唯一的。事实上，假设函数的幂级数展开式为 根据幂级数在收敛

3、域内可以逐项求导数的性质，容易得到 ，因此，函数的幂级数展开式唯一。综合上述，如果函数在点附近有任意阶导数，且麦克劳林公式中的余项（当n®¥）。那么，函数就可展开成形如（4）的幂级数。类似地，如果函数在点附近有任意阶导数，且泰勒公式中的余项（当n®¥）。那么，函数就可展开成幂级数 ，称为泰勒级数。二、直接展开式利用麦克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，称为直接展开法。例1 将函数展开成的幂级数。解 由于（）。所以 =1于是得级数 它的收敛半径R=+¥。该级数是否以为和函数，即它是否收敛于，还要考察函数的麦克劳林公式中的余项。因为 ()所以 。由

4、于级数绝对收敛，所以当n®¥，。由此可知，。于是得展开式 （）。例2 将函数展开成的幂级数。解 由于（），所以 ，。于是得到幂级数 且它的收敛半径R=+¥。该级数的麦克劳林公式中的余项为 于是 （当n®¥）。因此得到展开式 （）。三、间接展开式以上将函数展开成幂级数的例子，是直接按公式计算幂级数的系数，然后考察余项是否趋于零。这种直接展开的方法计算量较大，而且研究余项在初等函数中也不是件容易的事，下面我们利用一些已知函数的展开式、幂级数的运算（如四则运算，逐项求导，逐项积分）以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数。这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法。例3 将函数展开成的幂级数。解 因为 ，而 （）。根据幂级数可逐项求导的法则，得 （）。例4 将函数展开成的幂级数。解 因为 （），把换成，得 （）。例5 将函数展开成的幂级数。解 因为 ，而 （），所以将上式从0到逐项积分，得 （）。上述展开式对也成立，这是因为上式右端的幂级数当时收敛，而函数在处有定义且连续。例6 将函数展开成的幂级数。解 因为 ，而= （）。所以 =- = （）。例7 将函数展开成的幂级数。解 令，则，代入得，即将函数展开成的幂级数，于是有 = （）。所以 （）。最