北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题2(附答案)

1、北师大版八年级数学下册第一章三角形的有关证明单元培优测试题2 （附答案）1 .已知 AOB 45o，点P在 AOB内部，点R与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，则 POP2是（）A,含30°角的直角三角形B .等腰直角三角形C.等边三角形D.顶角是30°的等腰三角形2 .如图，在等月ABC中，AB AC,AB的垂直平分线MN交AC于点D, DBC 15°,则 A的度数是（）.A. 35°B. 40°C. 50°D. 55°ycm,则y与x的函数关系式3 .若等腰 ABC的周长是50cm, 一腰长为xcm ,底边长为

2、及自变量x的取值范围是()A. y 50 2x(0 x 50)25C. y 50 2x( x 25)1，cc、B. y -(50 2x)(0 x 50)2125D. y -(50 2x)(一 x 25)224 .如图，OP平分/ MON, PA ± ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2 , OA=3 ,则PQ长的最小值为（）C. 3D. 45 .如图，等腰 RtAABC中，/ BAC=90°, ADBC于点D, / ABC的平分线分别交 AC、AD于E、F两点，EGBC于点G,连接AG、FG .下列结论： AE = CE; ABFAGBF;BEAG; AEF为

3、等腰三角形.其中正确结论的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6 .如图，已知 AD是BBC的角平分线，AD的中垂线交 AB于点F,交BC的延长线于点E.以下四个结论：(1)/EAD = / EDA ； (2)DF /AC ； (3) / FDE=90° ； (4) / B = / CAE.恒成立的结论有（A . (1)(2)B. (2)(3)(4)C.(2)(4)D. (1)(2)(3)(4)CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC,交CD于点E, BC=8, DE=3,7.如图，AABC中,则4BCE的面积等于中,8.如图，AABCB. 8C. 12D. 3AB =

4、 AC , AD ±BC ,垂足为 D , DE / AB ,交AC于点E,则下列结论不正确的是（B. BD = CDC. AE= EDD. DE = DB9 . AABC 中，AB=20cm , AC=15cm ,高 AD=12cm ,贝U BC 的长为.10 .如图，已知 祥BC和祥DE均为等边三角形，点 。是AC的中点，点 D在射线BO上, 连结OE, EC,则/ ACE =°若AB=1,贝U OE的最小值= .11 .如图，等边 "BC的边长为4AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2,当EF+CF取得最小值时，则/ ECF

5、二EB13.如图，等腰AABC底边上的高14.如图，在平面直角坐标系中，点12 .如图，在 Rt4BC中，/ C=90°, AD平分/ BAC交BC于点D,过点D作DEAB于点E,若CD =2, BD=4,则AE的长是AD = BC, AB = 2j2,那么AABC的周长为2M(6, 0), N(0, 6), 一点P从点O出发，以每秒1个1单位长度的速度沿折线 O-N-M运动.设点P运动时间为t,当t 6 5J2时，直线x ±有一个动点C和y轴上有一个动点D ,则PD + DC + OC的最小值是C15.如图，A,B,C三点在同一直线上，分别以AB,BC(AB>BC

6、)为边，在直线AC的同侧作等边A ABD和等边A BCE连接AE交BD于点M,连接CD交BE于点N,连接MN.以下结论：,A BMN是等边三角形.其中正确的是AE=DC , MNAB , BDAE,/ DPM=60(把所有正确的序号都填上)16 .如图，在AABC中，AB = AC =15, AB的垂直平分线 DE交AC于D ,连ZBD,若 4BC的周长为23,贝U BC=侧，那么AE和BC还平行吗？画图证明你的判断19.如图，在平面直角坐标系中，已知点17 .如图，ZXABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形 CDE ,使点E,A在直线DC的同侧，连结AE.(1)求证：

7、AE/BC .(2)点D在AB的延长线上，仍以CD为边作等边三角形 CDE ,使得E,A在直线DC的同CD = CB, /A=50 °,求/ ACD 的度数.A 0,8 , B 6,8 , C 6,0 .点P同时满足下面两个条件：点P到 AOC两边的距离相等；PA PB.用直尺(没有刻度)和圆规作出点P (保留作图痕迹，不写作法 );(2)点P的坐标为20 .如图，在等腰直角ABC中，AC BC,ACB 90 , CAB,ACB的平分线交于点P.(1)求证：AB CP BC .(2)如图，若 CAB的外角平分线以及ACB的平分线交于点P, (1)中结论是否仍成立？写出结论，并说明理由

8、21.如图，AABC与3DE都是等边三角形，B,C, D在一条直线上，连结B, E两点交AC于点M ,连结 A, D两点交CE于N点.(1) AD与BE有什么数量关系，并证明你的结论.(2)求证：AMNC是等边三角形.22 .已知：如图，/ AOB=2 / BOC=60° , OD是/ AOC的平分线，求/ BOD的度数.23 .如图，在等腰直角三角形 ABC中，/ ACB = 90°,在AABC内一点P,已知/ 1 = /2 =/ 3,将4BCP以直线PC为对称轴翻折，使点 B与点D重合，PD与AB交于点E,连结S2,则W的值为S124.已知直角三角形的两边长 4 y满足

9、 的长.X2 16y 9 0,求这个直角三角形第三边AD ,将那PD的面积记为Si,将ABPE的面积记为参考答案1 B【解析】【分析】由P, Pi关于直线 OA对称，P、P2关于直线 OB对称，推出 OP=OPi=OP2, /AOP = /AOPi, /BOP = /BOP2,推出/ PiOP2=90°,由此即可判断.【详解】解：: pi与点P关于OA对称， .OPi = OP, /PiOA = /POA,丁点P2与点P关于OB对称 -OP2= OP , / P2OB = / POB .OP2=OPi,Q AOB 45oPiOP2=Z PiOP+Z P20P=2 (/ POA+Z P

10、OB) =90° POP2是等腰直角三角形故选：B【点睛】本题考查轴对称的性质、等腰直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用对称的性质解决问题，属于中考常考题型2. C【解析】【分析】设 A ，根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得a a i5 2 i80 .【详解】设 A，由MN AB且平分AB知， ABD ,又 DBC 15 ,且AB AC , ABC C15 .由 A ABC C 180 知 a a 152 180 ,50 .即A 50故选 C 【点睛】考核知识点：线段垂直平分线性质.理解运用性质是关键.3. C【解析】【分析】根据题意，等腰三角形的两腰长相等，即可列出关系式

11、【详解】依题意，y 50 2x ,根据三角形的三边关系得，25xxy502x ,得 x,2xxy502x ,得 x25,25得，25 x 25,225故y与x的函数关系式及自变量 x的取值范围是：y 50 2x( x 25),故选C .【点睛】本题考查了一次函数的应用，涉及了等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 做此类题型要注意利用三角形的三边关系要确定边长的取值范围.4. B【解析】【分析】依据角的平分线上的点到角的两边的距离相等进行解答即可.【详解】解：. OP 平分/ MON , PA± ON 于点 A,当PQMO时，PQ有最小值，所以PQ的最小值=PA = 2.故选：B.【点

12、睛】本题主要考查的是角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键.5. C【解析】【分析】判断即可.利用全等三角形的性质以及角平分线的性质定理【详解】 BF 平分/ABC, /BAC=90°, EG ± BC .AE = EG, .EC>EG,.EC>AE,故错误， . AE = EG, BE= BE RtAABE RtAGBE (HL).AB = BG, 点B在AG的垂直平分线上， .AE = EG.点E在AG的垂直平分线上BE是AG的垂直平分线.BEXAG,故正确， . BA = BG, /ABF = /GBF, BF=BF,ABFAGBF (SAS)

13、,故正确， BE是AG的垂直平分线 .AF = FG, EFXAG ./ AFE = Z EFG . ADXBC, EGXBC/.AD / EG ./ AFE = Z FEG ./ EFG = Z FEG.-.FG = EGAF = FG = EG = AE,故正确，故选：C.【点睛】 本题考查全等三角形的判定及性质，线段垂直平分线的判定和性质、角平分线的性质等知识点，关键在于熟悉各知识点6. C【解析】【分析】由中垂线的性质知，DE=AE ,由等边对等角知，/ EAD=/EDA,故可判断(1)由中垂线的性质知， FD=FA?Z FDA= / FAD ,由 AD 平分/ BAC ?/ FAD=

14、 / DAC , / FDA= / DAC ? DF / AC ,故可判断(2)由三角形的外角与内角的关系知，/ EAD= / DAC+ / CAE , / EDA= / B+ /BAD，而/ EAD=/ EDA , / FAD= / DAC ,故有/ EAC= ZB,故可判断(4)【详解】 1) / EF是AD的中垂线，DE=AE. ./ EAD= / EDA.故(1)正确 . EF为中垂线， . FD=FA. . / FDA= / FAD. . AD 平分/ BAC ,/ FAD= / DAC ,所以/ FDA= / DAC. .DF / AC.故(2)正确 / EAD= / EDA ,

15、/ EAD= / DAC+ / CAE , / EDA= / B+ / BAD , / DAC+ / CAE= / B+ / BAD , / FAD= / DAC , ./ EAC= /B.故(4)正确故选：C【点睛】此题考查线段垂直平分线的性质，解题关键在于由中垂线的性质得到，DE=AE ,由等边对等角得到，/ EAD= Z EDA7. C【解析】【分析】 过E作EF± BC于F,根据角平分线性质得出 EF=DE=3 ,根据三角形的面积公式求出即可.【详解】解：过E作EFXBC于F,. CD是AB边上的高线，BE平分/ ABC , DE=3 ,. EF=DE=3 ,11.BCE 的

16、面积 S= - XBCX EF=MM=12,22故选C.【点睛】本题考查了角平分线性质的应用，能求出BC边上的高是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角的两边的距离相等.8. D【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，平行线的性质解答即可.【详解】AB=AC, ADXBC, /. Z CAD=/BAD, A 正确，不符合题意；BD=CD, B正确，不符合题意； . DE / AB, . EDA=Z BAD. / EAD = /BAD, ./ EAD = /EDA, .AE=ED, C 正确，不符合题意；DE与DB的关系不确定，D错误，符合题意.故选D.【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平

17、行线的性质，掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键.9. 25cm 或 7cm【解析】【分析】高的位置不确定，应分情况进行讨论：（1）高在内部；（2）高在外部.依此即可求解.如图（1）AB=20cm , AC=15cm , AD ±BC,贝u BD= Jab2_AD2 =16cm, CD= Jac2AD2 =9cm ,则 BC=25cm ;如图(2),3C2)由（1）得 BD=16cm , CD=9cm ,贝U BC=7cm .则BC的长为25cm或7cm.故答案为：25cm或7cm.【点睛】此题考查了勾股定理，本题需注意高的位置不确定，应根据三角形的形状分两种情况讨论.110, 3

18、0 一4【解析】【分析】1根据等边二角形的性质可得OC= AC, /ABD=30°,根据"SAS"可证 ”3口04 ACE,可2OE得/ ACE =30° = /ABD,当OEEC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求 的最小值.【详解】解： ABC的等边三角形，点 O是AC的中点，-OC= 1AC, / ABD= 30° 2.ABC和AADE均为等边三角形，.-.AB=AC, AD = AE, Z BAC=Z DAE =60°, ./ BAD = Z CAE,且 AB = AC, AD = AE,ABDA ACE (SAS)

19、./ ACE =30° = / ABD当OEEC时，OE的长度最小，. / OEC = 90°, / ACE = 30°，OE 最小值= 1 OC = 1 AB = 12441故答案为：30,4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.11. 30°【解析】【分析】作E关于AD的对称点G,从而可知EF+FC=GF+FC,点G是AB的中点，根据三线合一可知CG平分/ ACB进而可知答案.【详解】如图，作E关于AD的对称点G, . AD是等边AABC的BC边上的中线 AD垂直平分BD .AG=AE=2

20、, GF=EF.点 G 是 AB 的中点，EF+FC=GF+FC当点G, F, C三点共线时，EF+FC的值最小等于 CG .ABC是等边三角形，G是AB的中点， CG 平分/ ACB ,1 ,1ECF =/ACB= 60o=30o22故答案为300.【点睛】是解题的关键AE长.本题考查的是轴对称的应用和等边三角形的性质，能够推出EF+FC=GF+FC12. 2.3【解析】【分析】先证明AE=AC ,利用勾股定理求出 BE长，在RtAABC中利用勾股定理可求 【详解】解： AD 平分/ BAC 交 BC 于点 D, DCAC, DE LAB , .CD=ED .又 AD=AD , .-.RtA

21、ADERtAADC (HL) .AE=AC .在 RtBDE 中，BEU.2 DE2=2 5设 AE=x ,贝U AC=x , AB=2 石 +x,在RtAABC中，利用勾股定理得(2j3+x) 2=62+x2, 解得x=2 73 .所以AE长为2 故答案为2百.【点睛】本题主要考查了勾股定理、角平分线的性质、 全等三角形的判定和性质，解题的关键是借助勾股定理构造方程求解.13. 4+4、2【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得到BD = DC ,根据题意得到 AD=BD=DC,根据等腰直角三角形的性质计算即可.【详解】. AB =AC , AD ± BC, . BD = DC ,

22、/ ADB= / ADC=90 , AD = 1BC, 2/.AD =BD = DC,/ B= / BAD=45，- CAD=45 , ./ BAD+ Z CAD=90 ,即/ BAC=90 , AB 2=BD2+AD2, .BD = AB =2,2.BC = 2BD = 4, .ABC 的周长=AB+AC+BC = 4+4 直，故答案为4+4 、. 2 -【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键.14. . 37【分析】先根据当t 6 5夜时，ON+NP= t 6 5J2，NP=5 J2 , PM= J2 ,求得点P的坐标为(5, 1),再作点

23、P关于y轴对称的点P',作点。关于直线x=1的对称点O',则P'(-5, 1),2O' (1, 0),连接O'P',交y轴于点D,交直线x=l于点C,则此时PD+DC+OC值最小， 2等于线段O'P'的长，然后运用勾股定理求解即可.【详解】. ON=6 ,当 t=6+5 应时，ON+NP=6+5&, NP=5>/2，PM=无，作PH，x轴与点H,则AMPH是等腰直角三角形，. PM=近， .PH=HM=1, .OH=5, P(5,1),作点P关于y轴对称的点P',作点。关于直线x=1的对称点O',则P

24、'(-5, 1), O'(1, 0),2连接O'P',交y轴于点D,交直线x=1于点C,则此时PD+DC+OC值最小，等于线段 O'P'2的长.- P' (-5, 1), O' (1, 0), PD+DC+OC=O'P'= J 5 1 2 12 扃, PD+DC+OC最小值为 历.故答案为,37 .【点睛】本题属于几何变换综合题， 主要考查了轴对称最短， 等腰直角三角形的判定与性质，及勾股 定理的综合应用，正确作出辅助线是解答本题的关键. 15.【解析】 【分析】由三角形ABD与三角形BCE都为等边三角形，利用等边

25、三角形的性质得到两条边对应 相等，两个角相等都为60。，利用SAS即可得到三角形 ABE与三角形DBC全等即可得结论； 由中三角形 ABE与三角形DBC全等，利用全等三角形的对应角相等得到一对角相等， 再由/ ABD= Z EBC=60 ,利用平角的定义得到/ MBE= / NBC=60 ,再由EB=CB ,利用 ASA可得出三角形 EMB与三角形CNB全等，利用全等三角形的对应边相等得到MB=NB ,再由/ MBE=60 ,利用有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形可得出三角形BMN为等边三角形；可得/ BMN=60 ,进行可得/ BMN= / ABD ,故MN/AB ,从而可

26、判断，正 确；无法证明PM=PN,因此不能得到 BDXAE；由得/ EAB= /CDB,根据三角形内角和和外角的性质可证得结论【详解】等边 AABD和等边ABCE, .AB=DB , BE=BC , / ABD= / EBC=60 , ./ABE= /DBC=120 ,在“BE和ADBC中，AB= DBABE= DBC , BE=BC/.ABE DBC (SAS), .AE=DC , 故正确； ABEADBC ,/ AEB= / DCB ,又/ ABD= / EBC=60 , ./ MBE=180 -60 -60 =60° , 即 / MBE= / NBC=60 ,在4MBE和ANB

27、C中,AEB= DCB. EB= CB , MBE= NBCMBEA NBC (ASA),.BM=BN , / MBE=60 ,则ABMN为等边三角形，故正确； BMN为等边三角形， . / BMN=60 , / ABD=60 , ./ BMN= / ABD , MN/AB , 故正确；无法证明PM=PN ,因此不能得到 BDXAE;由得/ EAB= / CDB , / APC+ / PAC+ / PCA=180 , / PAC+ / PCA= / PDB+ / PCB= / DBA=60 , / DPM = / PAC+ / PCADPM =60 ,故正确，故答案为：.【点睛】此题考查了等边

28、三角形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握判定与性质是解本题的关键.16. 8【解析】【分析】先根据AB的垂直平分线 DE分别交AB、AC于点E、D得出AD=BD ,再根据ADBC的周长为23, AC=15即可求出BC的长.【详解】DE是线段AB的垂直平分线,.AD=BD , .AD+CD=BD+CD=AC ,DBC 的周长为 23, AC=15 , .BC=23-15=8 .故答案为：8.【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解 答此题的关键.17. (1)证明见详解，(2)同样有 AE/BC,作图证明见详解.【解析】【分析】(1

29、)先证明 小CEBCD ,继而可得/ EAC= / B=60° = Z ACB ,问题得证；(2)画图并观察作图猜想 AE / BC,证明ZACEABCD ,继而推导出/ EAC+ / BCA=180° , 即可得结论.【详解】(1) ABC和4DEC是等边三角形， . BC=AC , CD=CE , / BCA= / ECD , / BCA 七 DCA= / ECD -乙 DCA ,即/ BCD= Z ACE , .在 AACE 和 ABCD 中 AC=BC , / ACE= / BCD , CE=CD ,ACEA BCD(SAS), / B=60° , ./

30、EAC= /B=60° =/ACB ,/.AE / BC.(2)同样有 AE / BC,E. CD .ABC和ADEC是等边三角形，BC=AC , CD=CE , / BCA= / ECD= 60, / BCA 七 DCA= / ECD -乙 DCA , . / BCD= / ACE , .在 AACE 和 ABCD 中 AC=BC , / ACE= / BCD , CE=CD ,ACEA BCD(SAS), ./ EAC= /DBC=120 , / EAC+/ BCA=180 , .AE / BC.【点睛】本题结合等边三角形考查平行线判定，运用SAS证得ACEBCD,即可找出对应角

31、相等，从而利于平行线判定定理证明.18. 15°【解析】【分析】利用等腰三角形性质得出/ B=/ACB=65。以及/ B=ZCDB,从而得出/ BCD度数，最后进 一步得出答案即可.【详解】 . AB=AC, /A=50°,，/B=/ACB= (180 -50°)及=65° , .CD = CB,. B=/CDB, ./ BCD=180°-65 °X2=50° , ./ ACD=65° -50 =15° .熟练掌握相关概念是解题本题主要考查了三角形内角和定理与等腰三角形性质的综合运用, 关键.19. (1

32、)详见解析；(2) (3, 3).【解析】【分析】(1)作/ AOC的角平分线和AB的垂直平分线，它们相交于点 P,点P即为所求；(2)由 于P点在AB的垂直平分线上，而 AB/X轴，则P点的横坐标为3,加上点P在第一象限 的角平分线上，则 P点的横纵坐标相等，于是得到P (3, 3).【详解】(1)如图，点P为所作；(2) P点坐标为(3, 3).故答案为(3, 3).【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.20.

33、 (1)详见解析；(2)第(1)小题中结论不成立，理由详见解析【解析】【分析】(1)在AB上截取BG BC ,连接PG ,证得 PBC PBG ,再根据等腰三角形的性质即可求证；(2)延长AB至点G ,使BG CB，连接CG ,证得 ACG CBP ,得到PC AG AB BG AB BC,故结论不成立.【详解】(1)如图，在 AB上截取BG BC,连接PG ,. PB 平分/ CBA , ./ PBC=/ PBG,PBC PBG(SAS),BCP BGP 45 .又 PAG 22.5 , APG 22.5 . AG PG PC. AB AG GB CP BC.(2)第(1)小题中结论不成立.

34、理由如下：如图，延长 AB至点G ,使BG CB，连接CG . BCGBGC. CABABC 45 ,CBG 135 , BCG BGC 22.5 .ACG 112.5 , PCB 45 , PBC 112.5故/ ACG= / CBP=112.5 , . ACG CBP(ASA).PC AG AB BG AB BC.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，证明全等三角形.21. (1) BE=AD ,见解析；(2)见解析.【解析】【分析】(1)依据等边三角形的性质可得到BE=AD, CE=CD, / ACB= / ECD=60°

35、,然后可证明/ACD = Z BCE=120 °,依据SAS可证明ZXBCEAACD ,最后依据全等三角形的性质可得到 BE=AD；(2)证明BCMA ACN,从而得到 MC=CN,然后证明/ MCN=60°即可.【详解】(1) BE=AD .理由如下：. Z BCA=Z DCE=60° , .BCE=/ACD.BC AC在ABCE 和 AACD 中，:BCE ACD , BCEAACD (SAS),，BE=AD;CE CD(2) /A BCEA ACD, /. Z CBM = /CAN. /ACB = /DCE=60° , . ACN=60° , .BCM = /ACN.CBM CAN在 ABCM 和 AACN 中， BC AC, .A BCMA ACN (ASA),，CM=CN.BCM ACNACN=60°, /.A CMN是等边三角形.【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定， 证得ABCMACN是解题的关键.22. / BOD=15【解析】【分析】求出/ AOC,根据角平分线定义求出/ DOC,代入/ BOD= / DOC- / BOC求出即可.【详解】 .