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文档简介

1、距离（二）备用例题禾I用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题.-例1如图，已知正方形ABCD的边长为4, E、F分别是 AB、AD的中点，GC丄平面ABCD，且一GC = 2,求点B到平面EFG的距离.''-.分析：由题设可知CG、CB、CD两两互相垂'直，可以由此建立空间直角坐标系.用向量法求解，就是求出过B且垂直于平面EFG的向量，它的长即为点 B到平面EFG的距离.解：如图，设 CD 4i，CB 4j，CG 2k， 以i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系C xyz.由题设 C(0,0,0),A(4,4,0)

2、 ,B(0,4,0) ,D(4,0,0)， E(2,4,0), F(4,2,0), G(0,0,2).BE (2,0,0) , BF (4, 2,0),BG (0, 4,2) , GE (2,4, 2),EF (2, 2,0).设BM 平面EFG , M为垂足，则M、G、E、F四点共面，由共面向量定理知，存在实数a、b、c,使得BMaBE bBF cBG (a b c 1),BM a(2,0,0) b(4, 2,0) c(0, 4,2) = (2a+4b, 2b 4c,2c).由BM 平面EFG，得BM GE , BM EF，于是BMGE0,BMEF 0 .(2a4b,2b4c,2c)(2,4

3、, 2)0(2a4b,2b4c,2c)(2, 2,0)0ab c115 a a 5c 011整理得：a 3b 2c 0，解得b . 11 a b c 13cBM = (2a+4b, 2b-4c,2c) = (-2 ,-2 ,-6).|BM|12116112 1111故点B到平面EFG的距离为2 1111说明：用向量法求点到平面的距离，常常不必作出垂线段，只需利用垂足 在平面内、共面向量定理、两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就 可以了.例2已知正方体 ABCD A'B'C'D'的棱长为1,求 直线DA'与AC的距离.分析：设异面直线DA'

4、、AC的公垂线是直线I，则 线段AA'在直线I上的射影就是两异面直线的公垂线 段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解.解：如图，设 B'A' i，B'C' j，B'B k，以 i、j、k为坐标向量建立空间直角坐标系 B' xyz,则有A'(1,0,0)，D(1,1,1)，A(1,0,1)，C(0,1,1).DA' (0, 1, 1)，AC ( 1,1,0)，A' A (0,0,1).设n (x, y, z)是直线l方向上的单位向量，贝U x2 y2 z21 .n DA'，nAC，y zx y00，解得x yz 二或 x yz22233xyz1取n诗，¥33)

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