小学奥数平面几何五大定律教学教材

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除小学奥数平面几何五大定律教学目标：1 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；S1S2两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；ABab如右图 S1 : S2a : b夹在一组平行线之间的等积变形，如右图；CDSACD S BCD反之，如果 S ACD S BCD ，则可知直线AB 平行于 CD 等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积比等于它

2、们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在 ABC 中， D , E 分别是 AB, AC 上的点如图(或 D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上)，则 S ABC:SADE (ABAC) :( ADAE )ADADEEBCBC图图D三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理” )：AS1 S1 :S2S4:S3或者 S1S3 S2S4 AO:OC S1 S2 : S4S3S2S4蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途

3、径通过构造O模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；S3BC另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系aD梯形中比例关系 (“梯形蝴蝶定理”AS1)：S422S2 S1 : S3 a: bOa2 : b2 : ab : ab ； S1:S3: S2 :S4S3 S 的对应份数为2a b BCbword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除四、相似模型( 一)金字塔模型(二 ) 沙漏模型AEFDADFEBGCBGC ADAEDEAF ；ABACBCAG SADE： SABCAF2: AG2所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，

4、不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形五、燕尾定理ABO :在三角形ABC中，AD，相交于同一点O，那么SSACOBDDCABE CF上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO 和ACO的形状很象燕子的尾巴， 所以

5、这个定理被称为燕尾定理该定理在许多几何题目中都有着FE广泛的运用， 它的特殊性在于， 它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的O三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.BDC典型例题【例 1】如图，正方形ABCD 的边长为6， AE1.5， CF2长方形 EFGH 的面积为HHADADEEGGBFCBFC【解析】 连接 DE ，DF ，则长方形EFGH 的面积是三角形DEF 面积的二倍三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，S DEF661.5622624.54216.5 ,所以长方形 EFGH 面积为 33word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除【巩固

6、】如图所示，正方形 ABCD 的边长为 8厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为 10厘米，那么长方形的宽为几厘米？EEABABFFDGCDGC【解析】 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等( 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 ) 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半证明：连接 AG ( 我们通过 ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起) 在正方形 ABCD 中， S ABG1AB AB 边上的高，2S ABG1SWABCD ( 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半)2同理， S ABG1 SEFGB 2正方形 ABCD 与长方形 EFGB 面

7、积相等 长方形的宽88 10 6.4(厘米)【例 2】长方形 ABCD的面积为 36 cm2， E、 F 、 G为各边中点，H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？AHDEGBFC【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接BH 、 HC ，如下图：AHDEGBFC可得： S EHB1SAHB、SFHB11S DHC ，而 SABCDS AHB S CHB S CHD 3622SCHB、SDHG1 (S21即SEHBSBHFS DHGAHBSCHBSCHD)36 18；22而SEHBSBHF SDHG所以阴影部分的面积是：解法二：特殊点法找那么图形就可变成右图：S阴影1BE1111SEB

8、F，SEBFBF(AB) ( BC)36 4.5 22228S阴影18 S EBF 184.513.5H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，AD (H)EGBFCword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除这样阴影部分的面积就是DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：S阴影SABCD S AEDS BEF1111111S CFD 36236223636 13.5 2222【巩固】在边长为6 厘米的正方形ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接 , 求阴影部分面积ADA (P)DADPPBCBCBC【解析】 （法 1）特殊点法由于P 是正

9、方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的1 和 1 ，所以阴影部分的面46积为 62( 11) 15 平方厘米46（法 2）连接 PA 、 PC由于PAD 与PBC 的面积之和等于正方形ABCD 面积的一半， 所以上、 下两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1 ，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD 面积的 1 ，46所以阴影部分的面积为62( 11) 15 平方厘米46【例 3】如图所示，长方形ABCD 内的阴影部分的面积之和为70， AB8 ， AD15 ，四边形

10、 EFGO 的面积为ADOEGBFC【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和，以及三角形AOE和 DOG 的面积之和，进而求出四边形EFGO 的面积由于长方形 ABCD 的面积为 158 120，所以三角形BOC 的面积为 1201AOE 和30 ，所以三角形437020；DOG 的面积之和为 1204又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为12011，所以四边形EFGO 的面积为230430 20 10另解：从整体上来看，四边形EFGO 的面积三角形 AFC 面积三角形 BFD 面积白色部分的面积，而三角形 AFC

11、 面积三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积，即1207050，所以四边形的面积为6050 10word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是 36， E 是 AD 的三等分点，AE2ED ，则阴影部分的面积为AEDAEDNMOOBCBC【解析】 如图，连接 OE ON:NDS COE:S CDE1SCAE :SCDE1:1，所以 S OEN1根据蝴蝶定理，SOED；212OM :MA S BOE :S BAE1SBDE :SBAE1: 4，所以 S OEMSOEA11253，S OEA2S

12、 OED6，所以阴影部分面积为：11又SOEDS矩形ABCD362.7 3425【例 4】已知 ABC 为等边三角形， 面积为 400， D 、 E 、 F 分别为三边的中点，已知甲、 乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积 ( 丙是三角形 HBC )A甲 乙DIJFM NH 丙BEC【解析】 因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形ABC 的一半，即为 200根据图形的容斥关系，有S ABCS丙S ABNS AMCSAMHN ，即 400S丙

13、 200200SAMHN，所以 S丙 SAMHN 又 S阴影S ADFS甲S乙SAMHN ，所以 S阴影S甲 S乙S丙 S ADF1431400 43 4【例 5】如图，已知 CD5，DE 7，EF 15， FG6 ，线段 AB 将图形分成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG 的面积是AACDEFGCDEFGBB【解析】 连接 AF ， BD 根据题意可知， CF571527；DG715628；所以， S BEF15SCBF，SBEC12SCBF，SAEG21S ADG ， S AED7 S ADG，27272828word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站

14、删除于是：21S ADG15S CBF65； 7S ADG12 S CBF38；28272827可得 S ADG40 故三角形 ADG 的面积是 40【例 6】如图在 ABC 中， D, E 分别是 AB , AC 上的点，且 AD : AB2:5，AE:AC4:7 ， S ADE16 平方厘米，求 ABC 的面积AADDEEBCBC【解析】 连接 BE ， S ADE : S ABEAD:AB2:5(24):(5 4)，S ABE : S ABC AE : AC4 :7(45):(75)，所以 S ADE : S ABC(2 4):(75) ，设 S ADE8 份，则S ABC35份， S

15、ADE16 平方厘米，所以1份是 2平方厘米，35 份就是 70 平方厘米， ABC 的面积是70平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角 ) 两夹边的乘积之比【巩固】如图，三角形ABC 中， AB 是 AD 的 5 倍， AC 是 AE 的 3 倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形 ABC 的面积是多少？AADEDEBCBC【解析】 连接 BE EC3AESV ABC3SV ABE又 AB5ADSV ADESVABE5 SV ABC 15 ， SV ABC 15SV ADE 15 【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲 ( 阴影部

16、分 ) 、乙两部分， BDDC 4， BE3， AE6 ，乙部分面积是甲部分面积的几倍？AAE乙E乙甲甲BCBDCD【解析】 连接 AD BE3， AE6AB3BE ， SVABD3SVBDE又 BDDC4 ，SV ABC2 SV ABD，SV ABC 6 SVBDE，S乙甲 5Sword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除【例 7】如图在 ABC 中， D 在 BA 的延长线上， E 在 AC 上，且 AB : AD5:2，AE :EC3: 2 ， S ADE 12 平方厘米，求 ABC 的面积DDAAEEBCBC【解析】 连接 BE ， SADE : SABEAD : AB2:5

17、(23): (53)SABE : SABCAE : AC3: (32)(35): (32)5 ，所以 S ADE : S ABC(32) : 5(32)6 : 25 ，设 S ADE6 份，则 S ABC25 份， S ADE12 平方厘米，所以 1 份是 2 平方厘米，25份就是 50 平方厘米， ABC 的面积是 50 平方厘米由此我们得到一个重要的定理，共角定理：共角三角形的面积比等于对应角( 相等角或互补角) 两夹边的乘积之比【例 8】如图，平行四边形ABCD ， BEAB ， CF2CB ， GD3DC ， HA4AD ，平行四边形ABCD 的面积是 2 ， 求平行四边形ABCD 与

18、四边形 EFGH 的面积比HHABEABEGDCGCDFF【解析】 连接 AC 、 BD 根据共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 与FBE 互补，S ABCABBC111BEBF133S FBE又 S ABC1，所以 SFBE3 同理可得S GCF8 ， SDHG15 ， S AEH8 所以 SEFGHS AEHSCFGS DHGS BEFSABCD 8 8 15+3+2 36 所以 SABCD21 SEFGH3618【例 9】如图所示的四边形的面积等于多少？CO1313131312D121212AB【解析】 题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积.我们可以

19、利用旋转的方法对图形实施变换：word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为13的两条边重合，此时三角形OAB 将旋转到三角形OCD的位置 .这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积 .因此，原来四边形的面积为12 12144 .( 也可以用勾股定理)【例 10】 如图所示，ABC 中，ABC90 ， AB3 ， BC5 ，以 AC 为一边向ABC 外作正方形ACDE ，中心为 O ，求OBC 的面积EEODDOAA33B5CB5CF【解析】 如图，将OAB 沿着 O 点顺时针旋转9

20、0，到达 OCF的位置由于ABC90 ，AOC90 ，所以OABOCB180 而OCFOAB ，所以OCFOCB180 ，那么 B、C、 F三点在一条直线上由于 OBOF ， BOFAOC 90，所以BOF 是等腰直角三角形，且斜边BF为5 38，所以它的面积为21816 4根据面积比例模型，OBC 的面积为16510 8【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，AEB90， AC、BD交于 O已知 AE 、 BE 的长分别为 3cm、 5cm ，求三角形 OBE 的面积CBCBOOFEEDADA【解析】 如图，连接DE ，以 A 点为中心，将ADE 顺时针旋

21、转90 到ABF 的位置那么 EAFEAB BAFEABDAE 90 ，而AEB 也是 90 ，所以四边形 AFBE 是直角梯形，且AF AE 3，所以梯形 AFBE 的面积为：3 53112 ( cm2 ) 222222又因为ABE 是直角三角形，根据勾股定理，所以ABAE BE3 534S ABD1 AB217 ( cm 2 ) 2那么 S BDE S ABDS ABE S ADES ABD SAFBE 17 12 5 ( cm2) ，word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除所以 S OBE12 ) S BDE 2.5 ( cm2【例 12】 如下图， 六边形 ABCDEF

22、中， ABED ，AFCD ，BCEF ，且有 AB 平行于 ED ， AF 平行于 CD ，BC 平行于 EF ，对角线 FD 垂直于 BD ，已知 FD24 厘米， BD18厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？BGBACACFDFDEE【解析】 如图，我们将BCD 平移使得 CD 与 AF 重合，将DEF 平移使得 ED 与 AB 重合，这样 EF 、 BC 都重合到图中的AG 了这样就组成了一个长方形BGFD ，它的面积与原六边形的面积相等，显然长方形BGFD 的面积为 24 18432平方厘米，所以六边形ABCDEF 的面积为 432平方厘米【例 13】 如图，三角形A

23、BC的面积是 1， E 是 AC 的中点，点 D 在 BC上，且 BD: DC 1:2， AD与 BE 交于点 F 则四边形 DFEC 的面积等于AAA33EEF23FEBFB1CDBCDCD【解析】 方法一：连接 CF ，根据燕尾定理，S ABFBD1S ABFAES ACFDC，S CBF1,2EC设 S BDF1份，则 S DCF2 份， S ABF3 份， S AEFS EFC3 份，如图所标所以 SDCEF5 S ABC51212方法二：连接DE ，由题目条件可得到 S ABD1 S ABC1，11213SABD3BF1，SADES ADCS ABC3，所以SADE1223FES D

24、EF1S DEB11S BEC111 S ABC1，22323212而 SCDE211DFEC 的面积等于5 3S ABC所以则四边形2312【巩固】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米， EC2DE ， F 是 DG 的中点阴影部分的面积是多少平方厘米 ?ADA A1DD3 FEFEx2FE33yGxyBGCB BGCCword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除【解析】 设 S DEF1份，则根据燕尾定理其他面积如图所示S阴影5 S BCD5平方厘米 .1212【例 14】 四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ( 如图所示 ) 如果三角形 ABD 的面积等于

25、三角形BCD 的面积的 1，且 AO 2， DO3 ，那么 CO的长度是 DO 的长度的 _倍3ADADOH OGBCBC【解析】 在本题中，四边形ABCD 为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件SV ABD : SV BCD1: 3 ，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形” ，于是可以作 AH 垂直 BD 于 H ， CG 垂直 BD 于 G ，面积比转

26、化为高之比再应用结论：三角形高相同， 则面积之比等于底边之比，得出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题解法一： AO : OC S ABD:SBDC1: 3 ，OC2 3 6 ，OC :OD 6:32:1 解法二：作 AHBD于H，CGBD于GS ABD1S BCD ， AH11SDOC，3CG， S AOD331，OC 2 36 ，OC : OD 6:32:1 AOCO34 个三角形，其中三个三角形的面积已知，【巩固】如图，四边形被两条对角线分成求：三角形 BGC 的面积； AG :GC ？AD12 3GBC【解析】 根据蝴蝶定理，

27、SVBGC12 3 ，那么 SVBGC6 ；根据蝴蝶定理，AG :GC12 : 36 1:3【例 15】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O 点， CEF 、 OEF 、 ODF 、 BOE 的面积依次是2、4、 4 和 6 求：求 OCF 的面积；求GCE 的面积 ADOFGBECword 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除【解析】 根据题意可知， BCD 的面积为 244616 ，那么 BCO 和 CDO 的面积都是 16 28，所以OCF 的面积为 8 44；由于 BCO 的面积为8， BOE 的面积为6，所以 OCE 的面积为 8 62 ，根据蝴蝶定理，EG:FGS CO

28、E :S COF2 : 41: 2，所以 S GCE :S GCFEG:FG 1:2，那么 S GCE1 SCEF1 221233【例 16】 如图，长方形ABCD 中， BE : EC2:3 ， DF : FC1: 2 ，三角形 DFG 的面积为 2 平方厘米，求长方形 ABCD 的面积ADADGGFFBECBEC【解析】 连接 AE ， FE 因为 BE:EC2:3 ， DF :FC1: 2，所以 SVDEF( 311) S长方形 ABCD1 S长方形 ABCD 153210因为 SVAEDAG :GF115:1 ， 所 以 SVAGD 5SVGDF 10平方厘米，所以S长方形 ABCD

29、，2:210S AFD 12平方厘米因为SVAFD1 S长方形ABCD，所以长方形ABCD的面积是72平方厘米V6【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3 平方厘米， M 是 AD 边上的中点求图中阴影部分的面积BCGAMD【解析】 因为 M 是 AD 边上的中点，所以AM :BC1: 2，根据梯形蝴蝶定理可以知道S AMG : S ABG : SMCG : S BCG2 （）（）21: 2:2:4，设 SAGM1份，则 S MCD1 2 31: 12 : 12 : 2份，所以正方形的面积为 122 4阴影2 2 4份，所以S阴影 : S正方形1: 3，所以3 12份， SS阴影1平方厘米

30、【巩固】在下图的正方形ABCD 中， E 是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于 F 点，三角形BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形ABCD 面积是平方厘米word 可编辑资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除ADFBEC1:2，根据蝴蝶定理得 S梯形（129(平方厘米)，【解析】连接 DE ，根据题意可知 BE:AD2）S ECD 3 ( 平方厘米 ) ，那么 SWABCD12 ( 平方厘米 )【例 18】 已知 ABCD 是平行四边形， BC : CE 3: 2 ，三角形 ODE 的面积为 6 平方厘米则阴影部分的面积是平方厘米ADADOOBCEBCE【解析】 连接 AC 由于 ABCD 是平行四边形， BC : CE3:2，所以 CE:AD2:3 ，根据梯形蝴蝶定理，SV COE : SV AOC : SV DOE : SV AOD22:23: 23: 324:6:6:9，所以 SV AOC6 ( 平方厘米 ) ， SV AOD9 ( 平方厘米 ) ，又 SV ABCSV ACD69 15 ( 平方厘米) ，阴影部分面积为6 15 21( 平方厘米 ) 【巩固】右图中 ABCD 是梯形， ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示( 单位：平方厘米 ) ，阴影部分的面积是平方厘米ADAD992121O44BECBEC【分