立体几何一之点线面

1、精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：sh13年 级：高二课时数：3学员姓名：Selena辅导科目：数学学科教师:满英课 题立体几何（一）1、熟悉点线面之间的位置关系和集合描述语言教学目的2、熟悉异面直线所成角的概念和求法3、熟悉直线和平面所成角的概念和求法教学内容% 知识点回顾1公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。集合语言：公理2：过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面。推论1、推论2、推论3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 集合语言；2. 空间中直线与直线之间的位关系:空间两条直线的位置关系有且只有三种,如图：A

2、B与BC相交于B点，AB与"8/平行.AB与V Cz异面。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.3. 空间中直线与平面之间的位置关系：其中直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外。注意，我们不提倡如下画法.4. 平面与平面之间的位置关系:5求空间角(1) 异面直线所成的角通过平移成两相交直线所成的角来算(2) 斜线和平面所成的角是一个直角三角形所成的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面内 的射影。因此求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足、再作垂线找射影.通过解直角三角形求解；二例题讲解

3、例仁 求证：两两相交而不过同一点的四条直线必在同一平面内.分析：四条直线两两相交且不共点，可能有两种: 一是有三条直线共点；二是没有三条直线共点，故而证明要分两种情况.團 1-23(1) 已知：dCla = P, dCb=Q. dCc = R, a、b、c 相交于点 0. 求证：a、b、6 d共面.证明：.dria=P,过d、a确定一个平面a (推论2). 同埋过d、b和d、c各确定一个平面0、Y voea, OGbf OGc, .*.0G a t OG P f OG y .平面a、B、Y都经过直线d和d外一点0. J. a、B、Y重合.a、b、c、d共面. 注：本题的方法是“同一法”（2）已

4、知：dAa = P, dAb=Q, dAc = R, aCb = M, bAc=N, aClc=S,且无三线共点.EJ 1-24求证：a、b、c、d共面证明：Tdriahp,d和a确定一个平面a （推论2）Vanb=M, dClb=Q,/.MG a , QG a /.MQc Q 即b u a.同理Cu a.a、b、c、d四线共面.注：让学生从实物摆放中得到四条直线的两种位置关系. 分类讨论时，强调要注意既不要重复，又不要遗漏. 结合本例，说明证诸线共面的常用方法.例2、如图，已知空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、CD上的点，且EF交GH于P. 求证：P在直线BD上.分

5、析：易证BD是两平面交线，要证P在两平面交线上，必须先证P是两平面公共点.已知：EFCIGH=P, EGAB、FGAD, GGBC, HGCD,求证：B、D、P三点共线.证明：TABriBDuB,AB和BD确定平面ABD （推论2）VAGAB, DGBD,：ADu平面ABD （公理1）.VEEAB, FEAD,EF U平面ABD EFnGH=P,.卩丘平面ABD.同理，PG平面BCD.VBD u 平面ABD, BD u 平面BCD,二平面 ABDD 平面 BCD=BD.-P已BD即B、D、P三点共线.注：給合本例，说明证三点共线的常规思路.变式练习：两个平面两两相交，有三条交线，若其中两条相交

6、于一点，证明第三条交线也过这一点.实用标准文案分析：虽说是证三线共点问题.但与例2有异曲同工之处.都是要证点P是两平面的公共点.P A y =b, a A y =c, bDc = p.求证：pEa. 证明：.bOc=p, ApGb. *. P A y =b,/-be P /.pF B 同理，pe a .又I a A p=a, ApGa.例3、设图中的正方体的棱长为a,(1) 图中哪些棱所在的直线与直线BA'成异面直线？(2) 求直线BA'和CC'所成的角的大小.(3) 求异面直线BC和AA'的距离.解：(I) A'平面BC',而点B,直线CC&#

7、39;都在平面BC'内，且EECC，直线BA'与CC'是异面直线.同理，直线C D'、D' D、DC、AD、B C'都和直线BA'成异面直线.B'(2) VCCA BB，ABAZ和BB'所成的锐角就是BA'和CC'所成的角.V=ZAz BB' =45° , /.BAZ和CC'所成的角是45° .(3) TAB丄AA' , ABCAA' =A,又TAB丄BC, ABABC=B, /.AB 是 BC 和 AA'的公垂线段. TAB二a, BC和AA&#

8、39;的距离是a.说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要注意书写规范.变式练习：1、(1)两条直线互相垂直，它们一定相交吗？解析：不一定，还可能异面.(2)垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？解析：三种：相交，平行，异面.2、画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为(1)平行直线；(2)相交直线；(3)异面直线.例 4、在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，AB二BC二3,AA二4.求异面直线AiB和AD所成的角的余弦.AB解析:1625变式练习:U 在长方体ABCD-AiBiCiDi中，ZC BC二45° , ZB AB二60

9、76; 求ABi与BG所成角的余弦.所臥 cosZD lAB i解析:AB； + AB； _ DR _ 4 J + 6宀 4a2 _ 乔 2'AB'AD _卮 _可2. 在长方体ABCD-AiBiCiDi中，AAi=cf AB二a, AD二b,且a>b.求AG与BD所成的角的余弦.AB解析：法（一）连AC,设ACPIBD二0,则0为AC中点，取GC的中点F,连OF,贝IJO所以ZFOB即为AC】与DB所成的角.在FOE中，OE = #J+b2, OF = Va2 +b2 +c2, BF=b2 +c2,由余弦定理，得7（a2 +b2） +7（a2 +b2 +c2）-（b2

10、+c2） cosZFOB =4 4_4_2 - J a'十 b： J J 十 b：十 c? 4a3-b2_ J2 +/）（/ +b2法（二）取AC冲点O, B，B中点G在厶CiO.G中，ZCOG即为AC】与BD所成的角.OqZoE, CqZeF, OiClAC.由解法可知：co$ZC】OG = /.1 1（/+工）2+62+工）（如图5）法（三）延长CD到E,使ED=DC.则ABDE为平行四边形.AEBD,所以ZEAG即为AG与BD所成的角. 连EG,在ABC】中AE= Ja2 +b2 , AC = 7a2 +b2 +c2, C1E=74a2 +c2.由余弦定理，得2 寸£

11、十 b： 7a2 +b2 + ccosZEAG（+旳+（+/ +）- （4/+ 刊b2 - a2 +匕2）（+ J + J）<0.所以ZEAG为钝角.根据异面直线所成角的定义，AG与BD所成的角的余弦为屆7以）（+ X +L）【课堂小练】1.在长方体ABCDABCD】中，AB=214, BC = 5, £ = 12.求BD和B£所成的角的余弦.2.在长方体ABCD-ABiCiD中，EC = £, CD二导，DD】 =乙£屈 求AiCWB】所成角的大小.60° 3. 在棱长为a的正方体ABCD-AbGD中，0是正方形ABCD的中心，E, F

12、分别是AB, BC中点.求：（1）异面 直线AQ和CD的距离；（2）异面直线C1O和EF的距离.72a9 a4. 在长方体 ABCD-AiBiCiDi 中，ZBABi=ZBiAiCi=30° .求：（1） AB 与 AC所成的角的度数；（2） A A 与 CB所 成的角的度数；（3） AB】与A心所成的角的余弦.3130°； 45°；-4B【课堂总结】1、空间中两条直线的位置关系有哪些：2、如何求异面直线所成的角？主要有哪些步骤？【课后练习】1、在下列六组条件中，（1）空间三个点（2）空间的一条直线与一个点（3）空间两条相交直线（4）三条平行直线与第四条直线都相交

13、（5）两两相交且不同于一点的三条直线（6）三条直线中的一条与其余两条分别相交，能确定一个 平面的条件是 （不能的请举岀反例）2、判断下列命题的真假。（1）可画一个平面，是它的长为4cg宽为2cm.（错）（2）-条直线把它所在的平面分成两部分，一个平面把一个空间分成两部分。（对）（3）平面a与平面0只有一个公共点。（错）（4）经过平面内的任意两点的直线，若直线上各点都在这个面内，那么这个面是平面。（对 ）3、若a、b为异面直线，c/a则c与b的位置关系是（D ）A相交B平行C异面D异面或相交4、空间四边形ABCD中，对角线AC = 8, BD = 6,分别为AB.CD的中点，且MN = 5、求异

14、面直线AC.BD所成的角。90°5、在空间四边形ABCD中，BD = 4, AC = 6,且AC丄BD, WN分别为AB.CD的中点，求M/V及MN与3D所成角的正切值。arcsmI136、空间四边形ABCD中，AD = BC = 2, EF分别是AB、CD的中点，EF = *、D求异面直线AD. BC所成的角。解析：取3D中点G,连结 E,F分别是AB. CD的中点, EG" AD.FGHBC、且EG = lAD = hFG = ZC = l,2 2异面直线AD.BC所成的角即为EG,FG所成的角，在应GF 中,gsZEGF=EGrFGEF丄2EG FG2:.ZEGF =

15、 120°,异面直线AD.BC所成的角为60。 说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形AEGF内角ZEGF是钝角时，表示异面直线AD.BC所成的角是 它的补角。1. “直线/上有两点到平面加勺距离相等”是“直线/与半面Q半行”的 （）A、充要条件.B、充分非必要条件.C、必要非充分条件.D、非充分非必要条件.2. 若-为两条不同的直线，Q, 0为两个不同的平面，则以下命题正确的是（）BA.若 mH a、nV a 9 则 ml In ；B.若 m/n9 丄 a,则”丄 a；C.若 in/ a, nil a,则 m/n ；D.若a I 0 = 7.""丄 贝 ij” 丄 a.3. 设a,b是两条直线，70是两个平面，则。丄b的一个充分条件是【】A. a 丄 a.bU p.a 丄 0B. all a,b 丄 0,a”C. a丄a上丄队all卩D. qIIa）川卩.a丄p3. 在空间中，给出下列4个命题(其中a、b、c表示直线，0表示平面)，则正确命题的序号是()三个点确定一个平面；(2)若° | c, b|c,则d|b：(3)在空间中，若角q与角Q的