1立体几何中的向量方法教学设计

1、第三章空间向量与立体几何课题：3.2.1立体几何中的向量方法一第课时课型：新授课教学目标：教学目标：知识目标：向量运算在几何证实与计算中的应用. 掌握利用向量运算解几 何题的方法,并能解简单的立体几何问题.水平目标：理解空间向量的概念,掌握其表示方法；会用图形说明空间向 量的运算律；解决简单的立体几何中的问题.德育目标：学会用开展的眼光看问题,熟悉到事物都是在不断的开展、进 化的,会用联系的观点看待事物.批注：教学重点：向量运算在几何证实与计算中的应用.教学难点：向量运算在几何证实与计算中的应用.教学用具：多媒体,三角板,直尺教学方法：讨论法.教学过程：一.引入以前人们为夯实地面,米用的是一种

2、由一人合作使用的石制工具,石墩上有三个石耳,用三根粗绳子拴着,三个人站在三个方位 上,同时拉绳子使石墩离开地面,然后石墩落下夯实地面.假设三个人所站方位使得绳子两两成等角,且与水平地面所成角为45°,为了使质量为100 kg的石墩垂直离开地面,每个人至少需要用缗23kg的力.问题1:在空间中给定一个定点 A一个石耳和一个定方向绳 子方向,能确定这条直线在空间的位置吗？提示：能.问题2:在空间过一定点且与一定直线垂直的平面位置确定 吗？提示：确定.二.新课讲解：1. 直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线 的 向量.2. 平面的法向量直线l ±缶取直线l的 a,那么a叫做

3、平面a的法向量.由直线上一点和直线的方向向量可以确定直线的位置；由平面上一点和平面的法向量也可以确定平面的位置.问题1：假设直线l的方向向量为a,平面劣的法向量为u,当a II u时,l与a有什么关系？假设a±u呢？问题2:假设u, v分别是平面a, 6的法向量,那么u / v, u±v时, 叫6是什么位置关系？空间中平行关系、垂直关系的向量表示设直线l, m的方向向量分别为a, b,平面a, 6的法向量分别 为u, v,那么线线平行 l II m？ ？ :线面平行l II 0？ ？ ；面面平行Ot/阿 ？ .线线垂直l± m？ ？ ;线面垂直l X 0？ ？ ；

4、面面垂直a±阿？ .归结小结：1. 直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类.解 题时,可以选取坐标最简的方向向量.2. 一个平面的法向量不是唯一的,在应用时,可以根据需要进行选 取,一个平面的所有法向量共线.3. 由于直线的方向向量与平面的法向量可以确定直线和平面的位 置,所以可以利用直线的方向向量和平面的法向量来表示空间直 线、平面间的平行、垂直等位置关系.例1 (1)设a, b分别是不重合的直线li, 12的方向向量,根据下列条件判断ll与l2的位置关系： a= (2,3, 1), b= (-6, 9,3); a= (5,0,2), b = (0,4,0); a=

5、(-2,1,4), b= (6,3,3).(2) 设u, v分别是不同的平面 叫(3的法向量,根据以下条件判断叫6的位置关系：-1 u = (1, 1,2), v =(3,2, * u = (0,3,0), v = (0, 5,0); u = (2, 3,4), v = (4, 2,1).(3) 设u是平面a的法向量,a是直线l的方向向量,根据以下条 件判断0C和l的位置关系： u = (2,2, 1), a=( 3,4,2); u = (0,2, 3), a= (0, 8,12); u = (4,1,5), a = (2, 1,0).思路点拨先判断直线的方向向量与平面的法向量的关系,再判 断

6、线面、面面关系.精解详析 -3 = (2,3, 1), b= ( 6, 9,3),1. . a= gb, . . a II b, . . 11 / I2. .*=(5,0,2), b= (0,4,0), .ab = 0, /.alb,11 _L 12. .*=(2,1,4), b = (6,3,3),a与b不共线,也不垂直,二h与I？相交或异面(不垂直)1(2)u=(1, 1,2), v = (3,2,一夕,u v = 32 1 = 0,uXv, aX 6 .11=(0,3,0), v = (0, 5,0), =-|v,二 U V,二 all 3 . u=(2, 3,4), v = (4, 2

7、,1),.u与V不共线,也不垂直,a与6相交但不垂直.(3). u=(2,2, -1), a = (3,4,2),- u a = 6+82=0, . u_La,.'.I？ DC或 I / DC1 u = (0,2, 3), a= (0, 8,12), u = , I X a vu = (4,1,5), a=(2, 1,0), . .u 与 a 不共线,也不垂直,.I与以相交,但不垂直.同步练习：1. 直线I的方向向量为U=(2,0, 1),平面a的一个法向 M 为v=( 2,1, 4),贝!Jl与a的位置关系为.解析：. uv=(2,0, 1)(一2,1, 4)= 4+0 + 4 =

8、0 ,U±V, l II oc或 l？ oc2. 根据以下条件,判断相应的直线与直线、平面与平面、直线与平面的位置关系.(1) 直线li与12的方向向量分别是 a= (1, 2, 2), b =(一2, 3,2).(2) 平面 叫(3的法向量分别为 u = (1,3,6), v= (-2, 6,一 12).(3) 直线1的方向向量、平面a的法向量分别是 a= (2,0,3), v =(1, 4, 3).(4) 直线1的方向向量、平面a的法向量分别是 a= (3,2,1), v=(1, -2,1).解：(1)a=(1 , 2, 2), b= (- 2, 3,2), ab= 2 + 6

9、4 = 0, aXb, -11 _L I2.(2) . u = (1,3,6), v= (-2, 6, 12),. v= 2(1,3,6)= 2u, . . u/ v, L all 3(3) a= (2,0,3), v= (1, 4, 3), a与v既不共线也不垂直,l与a斜交.(4) . a= (3,2,1), v= (1, 2,1),a v = 3 4 + 1 = 0, aLv,l？ oc或 l II cc例 2点 A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3),求平面 ABC 的一个 /向量.精解详析由可得设坐标原点为O,T 土 AB = OB OA=(0,2,0)(1,0,0

10、)= (1,2,0),T I-4 ,、AC OC OA (0,0,3) (1,0,0) (一 1,0,3).设平面ABC的一个法向量为n= (x, y, z),5八八那么 n AB = (x, y, z) ( 1,2,0)= x+ 2y = 0,T ,、, -n AC = (x, y, z) (- 1,0,3)= x+ 3z= 0.不妨令x = 6,那么y= 3, z=2.因此,可取n = (6,3,2)为平面ABC的一个法向量.利用待定系数法求法向量的解题步骤:同步练习：3. 平面内的两个向量 a= (2,3,1), b = (5,6,4),那么该平面的一个法向量为()A. (1, - 1,1)B. (2, 1,1)C. (-2,1,1)D (1,1, -1)4. 四边形ABCD是直角梯形,/ ABC= 90°, SAL平面ABCD, SA= AB= BC= 2, AD = 1