第六章定积分及其应用解答资料

1、第五、六章习题解答(1)、判断题;5、错.1、错；2、错；3、对；4、对(需加上f (x)可积且k为常数的条件)、填空题1、In 2; 2、sinx , 0; 3、6; 4、1; 5、21 ,8三、计算题e1、解 e1Ir1飞n x = 11n xdx + In xdx1 1 2八丄-(1-丄)e-(e-1) =2 上=_(xln x11edx) xln xe1 dx2、解i Jsin3 x -sin5 xdx 二JIsin2 xcosxdx-sin2 xcosxdx韦 sidzsi- 2 n xd ( s i x) s55in7123、解 0 f(x)dxX2dx2 11 (x_1)dx =

2、 §x1(2xx)d x3 14、 dXx2dt.1 t4ddx+X十-4x3.1 t4dt)3X I o4 t+IL-_2x_3x_3x2一1一x8：1一x122x121 x1 x85、Xarcta n tdt02X四、解由f(t)dt =2x2 +5x3两边对x求导得：f(x) = 4x 5XX2X2n所以 a f(t)dt = a(4t+5)dt =(2t +5t)a=2x +5x 2a 5a于是 2x2 5x 2a2 5a =2x2 5x 3所以 -2a2 -5a - -3即2a2 5a - 3 = 01解此关于a的方程得：a =-或a = -3 .2五证因为f(x)在闭区间

3、a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，所以当x (a,b)时，有xf (x)(x-a) - f (t)dtF (x)(x-a)2x又因为若令 G(x) = f (x)(x-a) - f (t)dta则当(a,b)时，有G (x) = f (x) f (x) - f (x)二 f (x) : 0f (x) =0(注：原题中的条件应为：f(x) ： 0 ,或需在题中再添上一句话：只在个别的孤立点处成立)所以G(x)在a,b)内单调递减，于是当(a,b)时，G(x) ：G(a) =0从而当x (a, b)时，F (x) : 0故F(x)在(a,b)内单调递减.、判断题1、错;、计算题2、对；3、错

4、；4、对；5、对.1、解1 arcta nx0 1 x21dx 二 o arctanxd(arctanx)=1 (arcta nx)22、解1 22(arctan 1) (arctan 0)232e2dx1 x J l n x2L .1 d (1 十 ln x) = 2J1 十 ln x1.1 lnxe2= 2.3 -2 =2(、.3 -1).(注：此题把积分下限改为_ n3k3、解(1 sin x)dx = dx -13cos3=二(cosx4 - 3-2 - 3-2 - 3-兀ln 24、解1,否则为广义积分）二-3 .0 sin dx =,712(1-cos x)d(cosx)x)0 =

5、二(cos 二13cos 二3)-(cosO -1 cos2 0)2t2、- e4 1 . t2dtex -1dx令 t =、ex -1 -1(1-冷dt=2(t _arctant)|1 ej = 2(1 _arctan1) _(. e_1 _arctan e_ 1)兀. := 2(1e1 arcta n.e1)4213(1 一 Edt(注：此题和第6题做法一样，只是积分下限不同，可只做第6题)5 JX _1人 2 2t 25、解dx令 tx1 dt1 x0 1 + t(壬dt01 t2ji= 2(t arctant)0 = 2(2arcta n2)ln 2；:6、解0 Vex -1dx令t

6、= Pex -1二 2(tarctant)2, H2 costdt解,o x2 4 - x2 dx令x = 2sint ,o2 4sin21 2costsiILIL2/V217-2nu2-1cos4t)dt = 2 02 dt02 cos4xd (4x)TTTTJIJI8、解12I 2xarctan xdxarctanxd(x ) (x arctanx1 x2dx)1 1=-arctan1 一 f(1 一1 二1 .(1-arcta n1)(1 厂2 42 4441 1 二 1)dx-(x-arctanx)。9、解02excosxdx 二 02exd(sinx)x . =e sinx2 exs

7、inxdxJl Tt眨 x2=e2 +exd (cosx) = e2 + ex cosxexcosxdx二 e2 亠 yosxdxJI2 x7：.2e cosxdx = -12jixe2 1H2sec uJI3cscudu 二(In cscucotu)|3 二TtJIjijilnCSC - cot -lnCSC - cot 33442 1厂lnv3<3-ln12-14-ln 1 -ln( .2 -1) 一1 n( .6 - .3). 3三、证明题1、证1 00 xm(1 x)ndx令t = 1 x - (1 t)mtndt =1tn(1-t)mdt2、解1xn(1x)mdx .bb先证

8、f (x)dx f (a b - x)dxaabf (x) dx令 x = a b - t -aaf (a b - t)dtbf (a b - t)dta2 ex cos xdx = ) 2 dx令x 二 tanuu (,0). (0,)du22 7 tan u secubf (a b - x)dxa2cos x再计算卡越dx由于ba f(x)dx 二bf (a +b - x)dx所以3 cos xdx =百 x(二-2x)JI亏厂二cOs (63 x)dx于是所以、填空题1、2、(丁 x)一 2(6 丁 x)2 二二cos ( x)=3 2dx.2sin x(亍 x) 2x沂dx訂(二-2x

9、)2cos x仃dx =gx(： -2x)cos2 x sin2e' X(二-2x)2cos x兀 -2sin x , dx x(： - 2x)xdxJTx(二-2x)dx1(In x -In机-2x)|JIJ-2cos xx(二-2x)dx2(3)713、s = (2x 3 -x2)dx .、计算题1、解1二arcta nxx2dx =arcta nx叫xarcta nbbm飞-2:1 一 (ln訂吋JI-2ln2 -： X _x)dx ,e1ln ydy,1-f arctanxd(_)=1xi2 dx = Tim 1 x(1 x2)b b1Jim J arcta nxd(-)xar

10、 cta n 二12 b尹(1+x2)阿嘗行lnb訓(1 52)-如2-lim arctalim Inb11n 2b八b 4 b.4 b22b 141(11 xx 2 )dxln22:1b1b_112 解i x)dx=bJ；7F贏严=bmiu+，1皿nx+lnb):：x Dljim：。nb_1ln b + 1二 lim lnF11 -ln2 =1 ln2 .jat3、解o e cosbtdt 口1： ：_gt1-；0 c0Sbtd(eim .oc1)dxx 11 - ln2)obtd (e)一1"a(1 .ccJim et cosbt: b q et sinbtdt1acb catl

11、im e cosbc 1 sinbtd(e t)1 b .-esin bt： - b°et cosbtdte_at cosbtdt2 lim e'c sin be -爲 lima a"：a2c：1acosbtdt-tecK-(1 7)：e_at cosbtdt-hee°t cosbtdta2 b214、解：sin(ln x)dx =limjin(ln x)dx = limxsin(ln x)1cos(ln x)dxs1 1.-.sin(ln x) dx=lim - sin(ln ；) -xcos(ln x)：-01=lim p ；sin(ln ；) _1；

12、cos(ln ；)_ . sin(ln x)dx1 1T 一 lim-Sin(ln x)dx - -1 - °sin(ln x)dx12 pS i n ( xndx 二-1b 1 .dx=b耐 d(lnx)-be 1三、解2 时dx 珂im： 2x(lnx)于是，当k=1时b 1bkdx = lim d(ln x) = lim ln(ln x) 22 x(ln x)k b2 lnx i2=Jim ln(ln b) _ln(ln 2) =+cO当k =1时2 口讪心侧住叫1“显然当k 1时珂叭总(lnb)1_(ln2)J(ln 2)1x(l nx)kdx 二k 1而k : 1时k dx =址2 x(lnx)k综上可知：当k 1时，2 x(lnx)1收敛，当心时，.2x(ln x)k发散.四、解由曲线y =x及直线x = 2, y = 0所围成的平面图形如下图阴影部分(注：由于篇幅所限图略)该图形绕X轴旋转所得旋转体的体积为:Vx =二 o (x3)2dx =二128JI7该图形绕y轴旋转所得旋转体的体积为:Vy：(22 -(3,y)2dy 八.；(4