第二章理解练习知识题及参备考资料答案解析

1、第二章 静电场练习题及参考答案1、均匀带电导体球，半径为 a，带电量为Q。试求（1）球内任一点的电场（2）球外任一点的电位移矢量解:（ 1）E 0 r a（2） D?r r a4 r2、 放在坐标原点的点电荷在空间任一点r处产生的电场强度表达式为EJr4 or（1 ）求出电力线方程；（2）画出电力线。y C1x解：（1）式中，G,C2为任意常数。z C?y（2 ）电力线图所示。3、用球坐标表示的场 Egr25，求r（1） 在直角坐标中点-3，4，5）处的 E（2） 在直角坐标中点-3，4，5）处的Ex分量解:（ 1 ） E252r（2） Ex25x，rEx3.2204、两点电荷qj4C，位于x

2、轴上x 4处，q2 4C位于轴上y 4处，求空间点0,0,4处的(1)电位；(2)该点处的电场强度矢量。解:( 1)0,0,40(2)E宀宀4 0r1 4 0r25、一个点电荷q位于 a,0,0处，另一个点电荷2q位于a,0,0处，其中a 0。求(1)求出空间任一点x, y, z处电位的表达式;(2) 求出电场强度为零的点。解：(1 )建立如图18-1所示坐标空间任一点的电位巾r"i'q 14 0 r?2 2 2其中，A 、x a y zx a 1 2 y2z2(2 )根据分析可知，电场等于零的位置只能位于两电荷的连线上的q的左侧，设位于x处,则在此处电场强度的大小为令上式等

3、于零得求得6、真空中均匀带电球体,其电荷密度为半径为a，试求解：（1）D 3r r a(2)当 r a时，E3a3 or37、设无限长直线均匀分布有电荷，已知电荷密度为i，如图所示，求（1） 空间任一点处的电场强度;（2） 画出其电力线，并标出其方向。解（1）2 or图1（2）其电力线如图2所示。8、设z 0为两种媒质的分界面，z 0为空气，其介电常数为 1 o，z 0为介电常数2 5 0的媒质2。已知空气中的电场强度为 E1 4&X ?，求（1 ）空气中的电位移矢量。（2）媒质2中的电场强度。解：（1 ）空气中的电位移矢量D10E10z（2）由边界条件切向分量E2xEix法向分量D2

4、zDiz故：E2zD2z /21得媒质2中的电场强度为:E24$x - e59、电偶极子电量为 q，正、负电荷间距为 d，沿z轴放置，中心位于原点，求出空间任点P x,y,z处的电位表达式。解:x,y,zq4 0r2q4ori图1其中,，2 2X yz d/222x y z d/210、同轴线内导体半径为a，外导体半径为b，内、外导体间介质为空气，其间电压为（1 ）求r a处的电场强度（2 ）求a r b处的电位移矢量解：（1 ）导体内部没有电荷分布，故内导体内部r a处的电场强度处处为零。图2（2）设单位长内导体表面电荷密度为|，由电荷的分布对称性可知，离导线等距离处的电场大小处处相等，方向

5、为沿柱面径向g，在底面半径为r长度为L的柱体表面使用高斯定理得:E dS E dS E dS E dSs侧面顶面底面2 rLEr 00 lL/ 0可得a rb任一点处的电场强度为：e e l2 or再由UbEr abdrdrr a20ri lnb20 a得arb任一点处的电位移矢量为：D0E?r°Urln b / a11、自由空间中一点电荷电量为2C,位于S 1,2,1处，设观察点位于(1 )观察点处的电位(2 )观察点处的电场强度。P 3,4,5 处，求解：(1)任意点x, y,z处的电位x,y,zq2 2 ,240 i x 1 y 2 z 1将观察点代入3,4,54 o , 3

6、1146(2)源点位置矢量e 2(?ye场点位置矢量rf4ey 5?z点电荷到场点的距离矢量R rf rs 2g 2§y 4R 2 6qE(3,4,5)3 R4 °R1厂ex gy 2(?z48 6012、平行板电容器极板长为a、宽为b，极板间距为d，如图所示。设 x d的极板上的自由电荷总量为Q，求（1）电容器间电场强度;（2）电容器极板间电压。解：（1）建立如图所示坐标。设上极板的电荷密度为，则Qab极板上的电荷密度与电场法向分量的关系为Q0En-Qab由于平行板间为均匀电场，故EeXEnex旦oab0U E exdxx d将上面电场代入得:Qdoab13、电荷q均匀分

7、布在内半径为a,外半径为b的球壳形区域内，如图示:0 r a（1 ）求 a r b各区域内的电场强度;r b(2)若以r处为电位参考点,试计算球心(r0)处的电位。解：(1 )电荷体密度为:q4(b a3由高斯定理： 0E ?dSsdV可得,a区域内,Eib区域内,E21erc3 a q a区域内，Eera00Ei?drbE2 ?drab E3?dr代入各量并计算得,0与 t(b2 a2)4 o(b a ) 211A1a(；b)q4 ob14、图示球形电容器的内导体半径-1，外导体内径飞='：厂，其间充有两种电介质三与W , 它们的分界面的半径为F二二二工。 已知三与W的相对介电常数分

8、别为二 nF一 ' -。求此球形电容器的电容亍。(已知 止匚) 解:15、图示极板面积为S、间距为d的平行板空气电容器内，平行地放入一块面积为S、厚度为a、介电常数为的介质板。设左右两极板上的电荷量分别为Q与 Q。若忽略端部的边缘效应，试求(1)此电容器内电位移与电场强度的分布； (2)电容器的电容及储存的静电能量。Ci QU0QEi(d a)C22 2SU2E2a aC1C2C1C2°a(d a)o1 Q2 1 °a (d a) 2Q2 C 2 So，求空间电场强度16、半径为a的均匀带电无限长圆柱导体，单位长度上的电荷量为分布。可作一个与已知柱体同轴的、高为解：

9、因为电荷分布具有柱对称性，由静电场的高斯定理,I、半径为r的柱面为高斯面 S，则分区域讨论:(1) r v a时，由高斯定理得：E 0(2) r > a时，高斯面S内包围的电荷量为 q I ,同理可得17、两个点电荷，电量分别为 +q和-3q，相距为d，试求:(1)在它们的连线上电场强度E=0的点与电荷量为+q的点电荷相距多远?(2)若选无穷远处电势为零，两点电荷之间电势U=0的点与电荷量为+q的点电荷相距多远？解：(1)据题意可知电场强度 E=0的点一定在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q的点一侧，设与电荷量为 +q的点电荷相距为r，则由E=0得:203q0(d解得：1 、2 rd

10、。2(2)据题意可知电位U0的点(a)可能在它们的连线上(b)也可能在它们的连线的延长线上且位于电荷量为+q的点一侧，设与电荷量为+q的点电荷相距为r，则由U 0可得:U q ( 3q )040r 40(d r)或 U q (35)040r 40(d r)1分别解得：(a) r d4(b) r -d218、一个半径为a的电介质球内含有均匀分布的自由电荷，电荷体密度为证明其中心点的电位是-2 r 30证明：由静电场的高斯定理可求得空间的电场强度分布为：Ei 3&(r a)30 r3E2 吗&(a)3 0r若选择无穷远为电位参考点，球心为坐标原点，则可得球心的电位为：a0 E?dl

11、 EdrE“drEzdr000a2(2 r 1) a2将电场强度的大小分别代入，并计算得：° r，结论得证。2 r 3 019、证明极化介质中，极化电荷体密度 b与自由电荷体密度的关系为：b证明：由高斯定理的微分形式? D 及电位移矢量的定义式D0E P和极化电荷体密度公式p? P得:?D ?( 0E P) 0 ?E?Pb化简得：，结论得证。20、一个半径为a，带电量为Q的导体球，球外套有半径为b的同心介质球壳，介质的介电系数为 ，壳外是空气。求空间任意点的D, E,P及电位。解：由介质中静电场的高斯定理，得空间各区域的电位移矢量分别为：D10(r a)D2Qr(?r (a r b)4 rD3Qr(?r(r b)4 r空间各区域的电场强度分别为:EiE2E30(r a)?r (a r b)4 rQ4°r2r(r b)空间各区域的极化强度矢量分别为:P10 (r a)Q4 (14 rP2-)?r (a rb)P30(rb)空间各区域的电位分别为aEidrrb