第八讲平面向量及向量的应用

1、第八讲 平面向量及向量的应用一、主干知识整合1.向量的概念(1) 概念：既有大小又有方向的量，表示向量的有向线段的长度叫做该向量的模长度为0,方向任意的向量为零向量，0与任一非零向量共线.(2) 向量夹角：a, b的夹角记为a, b,范围是0, n .(3) 投影：a, b = 0 , | b| cos 0叫做b在a方向上的投影投影是数量.2 向量的运算与重要法则(1) 加法、减法运算：a+ b为平行四边形法则，a b为三角形法则；(2) 数乘运算：入(卩a)=(入卩)a,(入+卩)a=入a+卩a,入(a+b)=入a+入b;(3) 数量积运算：a b= b - a, (a+ b) c= a c

2、 + b c,(入 a) b= a (入 b)=入(a b) 3 两非零向量平行、垂直的充要条件(1) 共线条件：a,b( b*0)共线？存在 入，a=入b,坐标表示为(xi,yi)=入(X2,y2)? Xiy2=x?yi；(2) 垂直条件：a丄b? a b= 0，坐标表示为 X1X2 + y1y2= 0.二、要点热点探究?探究点一向量的概念及线性运算例 1 (1)2012 广东卷若向量 BA (2,3) , CAf (4,7)，则 BC=()A. ( 2, 4) B (2,4) C (6,10) D ( 6, 10) 在厶ABC所在的平面内有一点 P,如果2PA+ PC= XB- PB,那么

3、 PBC的面积与厶ABC的面积之比是(3 代3)1 1 2B. 2C. 3D. 3?探究点二平面向量的数量积问题例2 (1)2012 课程标准卷已知向量a, b夹角为45,且|a| = 1, |2a b| = _ 10,则|b|(2)2012 天津卷已知 ABC为等边三角形，AB= 2,设点P, Q满足AP=入XB, Xq= (1 入)AC 入 R.若昴CP=号，则入=()1代2 b.1土，22C.3222变式题 平面上O, a B三点不共线,6A匕a, 6B= 则厶OAB勺面积等于（A. |a|1 2 3|b|2 B. ,|a|2|b|2 +a ba bC.； Ja|2|b|2-a b2D.

4、； Ja|2|b|2+a b?探究点三有关向量的平行、垂直问题c,则 | a+ b|例 3 (1)设 x，y R,向量 a= (x, 1) , b= (1 , y) , c = (2 , - 4)，且 a丄c, b / =( )a b=茴成立的充分条件是(| a| b|D . a / b 且 | a| = | b|A. 5 B. 10 C . 2 5 D . 10（2）设a, b都是非零向量，下列四个条件中，使A. a=- b B . a / bC. a= 2b变式题 （1）在厶ABC中，若AB= XB- AC BA- 热 CA- SB则厶ABC是 （）A.等边三角形 B .锐角三角形 C .

5、钝角三角形 D .直角三角形如图 2- 8-1，已知 |OA = 3, |6B = 1, OA 6B= 0,DR/ AO是6，若OF tOA+ OB则实数t等于（）?探究点三平面向量的综合应用例4 2012 安徽卷若平面向量a, b满足|2 a b| | b|0 , a与b的夹角B j0,亍，且a b和b a都在集合.若平面向I 2 n Z 冲，贝U a参考答案：例1 (1) A(2)A例2 (1) 3._2 (2)A例2变式题C例 3 (1) B(2)C 例 3 变式题(1)D(2)B9例 4 :一 98示例：1、1【跟踪练】(1) A(2)D备用例题：例 1:答案(2 sin2,1 cos

6、2)解析根据题意可知圆滚动了2个单位弧长，点 P旋转了 2弧度结合图象，设滚动后圆与x轴的交点为 Q圆心为C2，作GM!y轴于M / PCQ= 2,Z PCM= 2 才，二点P的横坐标为2 1X cos 2 于?= 2 sin2，点P的纵坐标为1 +1 x sin则&=10si n3n4 =(7 .2 , ,2)故答案为A.例3：答案C解析本题考查平面向量的数量积的运算以及向量的新定义, 熟悉的问题解决.根据新定义得：突破口是通过新定义把问题转化为a b _ b b=I a| b|cos B =| b| b|=| a|cos BTbl2，b a | a| b|cos Bb a=-a a | a

7、| a|且ab和ba都在集合“| b|cos Bw cos B1,2 n Z冲，所以b| b|cos B a=|a|1也=12，| a| = 2cos B，所以ab=| a|cos BI b|例2：答案A解析本题考查三角函数的和角公式，点的坐标.c3.410sin a )? cos a = , sin a =,55设/ POx= a ,因为 P(6, 8)，所以 OP= (10cos a ,=2cos2 B 2,所以 1ab2，所以 ab=|.所以选择 C.【家庭训练题】平面向量及向量的应用I基础演练1. 设向量a = (1, 0), b= 2, 1，则下列结论正确的是()A . |a|= |

8、b|B. ab= C. a / b D . a b 与 b垂直2. 已知e1, e2是两夹角为120的单位向量，a= 3+ 2勺，则|a等于()A . 4 B. ,11 C. 3 D. 73. 对于平面内任意两个非零不共线向量a, b,下列结论错误的是()A.各与b的模相等B. a在b方向上的投影为|a | |b|C. a b与a+ b共线a b a b 士D诵-而与矿而垂直4 .已知P是边长为2的正方形 的取值范围是(1A.ABCD及其内部一动点,若厶PAB , PBC面积均不大于1,则AP -BP2 3B . (- 1 , 2)c. 0, 25.定义: 等于()A. - 8|ax b|=

9、|a|b|sin 0 ,D. 1 , 1I提升训练其中0为向量a与b的夹角，若|a|= 2, |b|= 5, a b= 6,贝U |aX b|C.- 8 或 86. 已知两点 A(1 , 0), B(1 , .3), O为坐标原点，点 C在第二象限，且/ AOC = 120,设OC=-25a +忌(入 R),贝y入等于()A . - 1 B . 2C. 1 D . - 27. 已知平面向量 a, b满足|a|= 1, |b|= 2, a与b的夹角为60,贝U m= 1是(a-mb)丄a的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件 C.充要条件D .既不充分也不必要条件&在四边形ABCD中，A

10、B = DC = (1 , 0)，卫合+ -BC =-BD，则四边形ABCD的面积是()|BA| |BC| |BD|3 33A， B. .3C.：D9.设i, j是平面直角坐标系(坐标原点为O)内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，且 OA =-2i + j, OB= 4i+ 3，则厶OAB的面积等于 .10 .已知a = (1, 2), b= (1, 1), a与a+血的夹角为锐角，则实数入的取值范围为 .11.0 O 的半径为 1,点 A, B, C 是O O 上的点，且/ AOB= 30, AC = 2AB ,则OA -BC=12. 已知向量 a= (cos0 , sin0 ),

11、0 0, n ，向量 b= C 3, 1).(1)若a丄b, 求 0的值； 若|2a b|BD|BA|MBD|7BC = -BD，所以四边形 ABCD是边长为1的菱形且|BC| |BD|2， BA, BC = 120 ，故 S?ABCD = -X 2 = _23.9. 55 =丄55. 5，解析由题可知|OA|=5, |OB|= 5,OA OB = 5,所以 cosOA, Obsin OA, Ob=*，所求面积为S= X5X 5X-2 = 5.10.5,0 u(0 ,+s)解析由题意可得a （a+ 血）0,a与a +血的夹角不是0,即(1，2)(仆人2 +|1 - (2 + X) 2 (1+

12、Z)11. 3-3 - 3解析在厶AOB中,5，0 u(0,+).|OA|=|OB|= 1, / AOB = 30,所以 |AB|2= 12+ 12 2cos302目3,-f-f-f-f-f-f-f-f-f12221222OA BC = OA (AC AB) = AO AB AO AC= 2(|OA|2+ |AB|2 B|2) 別OA+ AC|2 |OC|2)1 f 21 f 2=2ABI 2AC，因为 |AC|2= 4|AB|2，所以BC = |AB|2= 2(2 . 3)=努3.12.解： Ta 丄 b,. 3cosB si nB= 0，得 tan B=江3n又张0 , n ，二=三.(2

13、) / 2a b= (2cos B , 3, 2sinB + 1),|2a b|2= (2cosB , 3)2 + (2sinB + 1)2=8+ 8 gin B 3cos B = 8+ 8sin B 才.又 B 0 , n , 专 寸,号, sin B 亍子，1, |2a b|2的最大值为16,.|2a b|的最大值为 4. 又|2a b|4.13.解：(1)x+ y= (sinB+ cosB, sinC+ cosC), z/ (x+ y), cosB(si nC + cosC) + cosC(si nB + cosB)= 0 , 整理得 tanC+tanB + 2= 0 , tanC + tan B= 2.由正、余弦定理得：a + b cb + c aa + 3 xx c = 0 ,2ab2bc证明：T sinAcosC+ 3cosAsinC= 0 ,22 2 a2 c2= 2b14.解：(1) t m n= (cosx 1, sinx 3),由 |m n|= 5得 cos2x 2cosx+ 1 + sin2x 2 . 3sinx+ 3= 5 , tanx=-整理得 cosx= 3sinx，显然 cosxz0,5 n x (0