大学概率论与数理统计公式全集文档良心出品

1、大学概率论与数理统计公式全集一、随机事件和概率1、随机事件及其概率运算律名称表达式交换律A+B=B+AAB=BA结合律(A+B) +C =A+(B +C) =A + B+C(AB)C = A(BC) = ABC分配律A(B土C) = AB土ACA+(BC) =(A + B)(A+C)德摩根律A+B=ABAB=A+B2、概率的定义及其计算公式名称公式表达式求逆公式P(A) =1 P( A)加法公式P(A+B) =P(A) +P(B)_P(AB)条件概率公式p(b|a)=PAB1P(A)乘法公式P(AB) =P(A)P(B A)P(AB) =P(B)P(AB)全概率公式nP(B)=£ P

2、(Ai)P(BAi) im贝叶斯公式逆概率公式P(Aj)P(BAj) P(Aj|B) *Z P(Aj)P(BA)=1伯努利概型公式Pn(k)=C：pk(1p)J,k = 0,1,n两件事件相互独立相应公式P(AB) =P(A)P(B) - P(B|A)=P(B) - P(BA) =P(B A) -P(B A)+P(BA) =1 ；P(B|A)+P(B A)=1、随机变量及其分布1、分布函数性质P(X 三b) =F(b) P(a : X £b) = F(b) F(a)2、离散型随机变量分布名称分布律0 - 1 分布 B(1, p)P(X =k) = pk(1 p)危,k =0,1二项分

3、布B(n,p)P(X =k) =Ck pk(1 p)n*, k = 0,1,n泊松分布P(Q-kP(X =k)=祟土,k = 0,1,2, k!几何分布G(p)P(X = Q =(1 p)kp, k = 0,1,2,超几何分布H(N,M,n)Ck c n -kP(X =k) = M N项,k =l,l + 1,min(n,M ) Cn CN3、连续型随机变量分布名称密度函数分布函数均匀分布U (a, b)f (x)=, 1 ,a < x < b b a0,其他JF(x)=«0, x<a竺二 a<x<bb a1,x*b指数分布E0)XA0f(x)=、0,其

4、他F(x)='0,x<0、1e公,x芝0正态分布N(P,.2)(x一内212 2f (x) = e&< x <V2H痣x_(t一射F (x)=匚 J e2.2 d tV 2na 6标准正态分布N(0,1)2x小1一 r甲(x)=e 2 scxc*V2x_(t四2F (x) =e 2.2 d tv 2hct 6三、多维随机变量及其分布1、离散型二维随机变量边缘分布Pi .=P(X =为)=P(X =为,丫 =yj) = PijPj =P(Y = yj)=' P(X =Xi,Y = yj)=', pij2、离散型二维随机变量条件分布PijP(X =

5、xi,Y =yj) Pij 'NX Fj/ p(Y=yj)W,2P(X=xi,Y=yi) PhPji= P(Y =yjX =xi)= j,j =1,2 jP(X =x)Pi .3、连续型二维随机变量X ,Y 的联合分布函数Fx,yx y=f (u, v)dvduj_dO '_nO4、连续型二维随机变量边缘分布函数与边缘密度函数边缘分布函数：Fxx =x:-i 1 f (u,v)dvdu边缘密度函数：fX (x) =f (x,v)dv0y-bobef(u,v)dudvfY (y) =f (u, y)duFY(y)=5、二维随机变量的条件分布fY(y)fYX(yx) = f(x,y

6、),-二 y :二fX(x)fxYXy = f,X,y,-二:x :：二四、随机变量的数字特征1、数学期望离散型随机变量：HoDE(X)=七 XkPk连续型随机变量：E(X) = Jxf (x)dx2、数学期望的性质(1) E(C)=C,C 为常数EE(X) =E(X)E(CX) =CE(X)(2) E(X _Y) =E(X)_E(Y) E(aX _b) =aE(X)_bE(CiXiCnXn)=CiE(Xi)CnE(Xn)假设XY相互独立那么：E(XY) =E(X)E(Y)(4) E(XY)2 _E2(X)E2(Y)3、方差： D(X) =E(X2) E2(X)4、方差的性质(1) D(C)

7、=0DD(X) =0 D(aX _b) =a2D(X)D(X) : E(X C)2(2) D(X ±Y) =D(X)+D(Y)±2Cov(X,Y)假设 XY相互独立贝U :D(X 土Y) = D(X)+D(Y)5、 协方差：Cov(X,Y) =E(X,Y)E(X)E(Y)假设 XY相互独立那么：Cov(X,Y)=06、 相关系数：Pxy=Rx,Y)=Q°马里假设XY相互独立那么：Pxy=0即XY不相关.D(X) . D(Y)7、协方差和相关系数的性质(1) Cov(X,X) =D(X) Cov(X,Y) =Cov(Y,X)(2) Cov(X X2,Y) =Cov(

8、X,Y) Cov(X2,Y) Cov(aX c,bY d) =abCov(X,Y)8、常见数学分布的期望和方差分布数学期望力差0-1 分布 B(1, p)Pp(1-p)二行分布B(n, p)npnp(1p)泊松分布P舄兀几何分布G(p)1p1 p2 p超几何分布H(N,M,n)M n NMM N _mn (1 )NN N 1均匀分布U(a,b)a +b2(b-a)212正态分布N(H,o2)P2G指数分布E1 赤"2五、大数定律和中央极限定理D(X)D(X)¥ 或 PX_E(X) <眼一1、切比雪夫不等式假设 E(X) K,D(X) =.2,对于任意 t>0 有

9、 P( X E(X)河 <-2、大数定律：假设XiXn相互独立且nT*时,W Xi马】£ E(Xi)n i4n J1 n1 n(1)右 Xi Xn 相互独,E(Xi) =&D(Xi) =O 且 Gi <M 贝 U：Xin E(Xi),(nT8)1 n -右X1Xn相互独立同分布,且E(Xi)=R那么当18时：-Z Xi%卜 n i a3、中央极限定理(1)独立同分布的中央极限定理：均值为 方差为aS-0的独立同分布时,当n充分大时有：nXk -nJYn N(0,1).n；(2)拉普拉斯定理：随机变量气(n =1,2) B(n, p)那么对任意X有:t2 -npx

10、1lim F 一xe 2 dt =： "(x)x、np(1-p)=加2 二n 近似计算：F(a X Xk旬)=F(罕吠 上：n"壬牛世)g(工)q(号世)k 注,nc n 二 ,n 二 ,nnc六、数理统计1、总体和样本总体X的分布函数F(x)样本(Xi,X2Xn )的联合分布为F(Xi,X2Xn)=y (Xk)2、统计量 样本平均值：X=W Xi (2)样本方差：S2=£(Xj_X)2=£ (Xi2_nX2) n i4nJni(3)样本标准差：S=二乏(Xi 又)2 (4)样本k阶原点距：Ak=W Xik,k = i,2,In-1 i4n i4(5)

11、样本k阶中央距:Bk =Mk =M (Xi _又)k,k =2,3n i 4(6) 次序统计量：设样本(Xi,X2Xn )的观察值(Xi,X2Xn),将Xi,X2Xn根据由小到大的次 序重新排列,得到X(i) MX(2)kMX(n),记取值为X(i)的样本分量为X(i),那么称X(iX(2) MMX(n) 为样本(Xi,X2Xn)的次序统计量.X(i) =m i g,X2Xn)为最小次序统计量； X(n) =m aXX(,X2Xn)为最大次序统计量.3、三大抽样分布(1) 72分布：设随机变量Xi,X2Xn相互独立,且都服从标准正态分布N(0,1),那么随机变 量尹=Xi2十X2 2X2所服从

12、的分布称为白由度为n的72分布,记为X2Z2(n) 性质： E%(n)=n,D乂 2(n) =2n 设 X 乂2 (m),Y X2(n)且相互独立,那么 X+Y/2(m+n)t分布：设随机变量X N(0,1),Y /2(n),且X与Y独立,那么随机变量:的分布称为白由度的n的t分布,记为Tt(n)(x_J2性质： Et(n) =0, Dt(n),(n >2) lim t (n) = N (0,1) =- e 沿n -2n ,二2 二(3) F分布：设随机变量U X2(ni),V 如2),且U与V独立,那么随机变量F(ni,n2)=y所 V r)2服从的分布称为白由度(ni,n2)的F分布

13、,记为F F(n,n2)性质：设 X F(m,n),贝U F(n,m)X七、参数估计1、参数估计(1) 定义：用色Xi,X2,Xn)估计总体参数6,称S(Xi,X2,Xn)为一的估计量,相应的 令Xi,X2,Xn)为总体e的估计值.(2) 当总体是正态分布时,未知参数的矩估计值=未知参数的最大似然估计值2、 点估计中的矩估计法：(总体矩=样本矩)离散型样本均值：X=E(X)=£Xi连续型样本均值：X =E(X)=(气f(x,e)dx n i 4-离散型参数：E(X2) =1寸Xi2 n i43、点估计中的最大似然估计最大似然估计法：Xi,X2,Xn取白X的样本,设X f(x£)或P(X=Xi) = P("那么可得到概率密度：f(xi ,