正余弦定理的应用

1、最新高考数学二轮专题训练（附经典解析）1、正余弦定理的应用【优质试题年高考全国卷文数】 ABC的内角A, B, C的对边分别 为 a, b, c.已知 bsinA+acosB=0，贝U B=2、【优质试题年高考浙江卷】在 ABC中，ABC 90 , AB 4 , BC 3 ,点D在线段AC上，若BDC 45 ,则BD,cos ABD【优质试题年高考江苏卷】 在MBC中，角A, B, C的对边分别为a,b, c.2(1) 若 a=3c, b=72 , cosB=-，求 c 的值;3,求sin(B -)的值./c、卄 si nA cosB 若盲百O的圆，【优质试题年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是

2、圆心为湖的一侧有一条直线型公路I，湖上有桥AB （AB是圆0的直径）.规划在 公路I上选两个点P、Q,并修建两段直线型道路 PB QA.规划要求：线段PB QA上的所有点到点 0的距离均不小于圆 0的半径.已知点A、B到直 线I的距离分别为 AC和BD（C、D为垂足），测得 AB=10, AC=6, BD=12（单位：百米）.(1)若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长;(2) 在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在 D处？并说明理由;(3) 在规划要求下，若道路 PB和QA的长度均为d (单位：百米).求当d最小时，P、Q两点间的距离.4H【优质试题年高考全国 m卷文数】 ABC的内角A、B

3、、C的对边分别b、C.已知 a sin _C bsi nA .2(1)求 B；(2)若 MBC为锐角三角形，且c=1，求ABC面积的取值范围.【优质试题年高考北京卷文数】在ABC中1,a=3, b -c 2, cosB=-.(1)求b, c的值;(2)求 sin (B+C)的值.【优质试题年高考天津卷文数】在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别最新高考数学二轮专题训练（附经典解析）为 a,b,c.已知 b c 2a , 3csinB 4asinC(1)求cosB的值;(2)求 sin 2B n 的值.6一、正弦、余弦定理1、在ABC中，若角A B, C所对的边分别是a，b，c，R为ABC外接

4、圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容abc_=2 Rsin A sin B sin Ca2= b2+ c2-2bccos A ；.2 2,2b = c + a 2cacos B；2 2 . 2c = a + b 2abcos C变形(1) a= 2Ftein A b= 2Ftein B, c= 2R3inC;cos A=A a r b (2)sinA= 2R, sin B=sinC= 2R；(3) a : b : c = sin A： sinB : sin C;(4) asin B= bsin A, bsin=csin B, asin C= csin Ab2+ c2-2 a2bc；cosB=2

5、2c + a -b22accosC=2,l.2a + b -2 -cC2ab111abc2、$ ABC= 2absin g 2bcsin A=2acsin B= IR3、正余弦定理的作用:(1).正弦定理的作用：边角互化问题，方法有:利用 a = 2FteinA b = 2Ftein B c = 2RsinC将边化为角;利用cosA= 雹三等将余弦化为边;ccos B+ bcos C= a等化角为边.(2).求边长问题，方法有：利用正弦定理求边；利用余弦定理求边.二、在 ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下:图形A为锐角A为钝角或直角关系cA £“J 一ra=bsina>

6、ba>b最新高考数学二轮专题训练(附经典解析)式bsin AA<a<b解的个数一解两解一解一解、实际问题中的常用角1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角评如南偏东30°，北偏西45°等.(2)方向角：相对于某正方向的水平角， 方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方 位角为a (如图).(4) 坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，

7、则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到2关于解三 角形问题，一般要用到三角形的内角和定理， 正弦、余弦定理及有关三角形 的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”， 即“统一角、统一函数、统一结构”题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量(1)三角形的基本量主要是指变、角、面积等。解题时注意一下两点:根据所给等式的结构特点利用正、 余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.（2）熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用例1、（优质试题通州、海门、启东期末）在 ABC 中，角 A，B，Cn所对的边分别为 a,

8、 b, C,若 acosB = 3bcosA, B = A -,贝U B =6中，已知C= 120°,例2、（优质试题苏州三市、苏北四市二调）在 ABC sinB = 2sinA，且 ABC的面积为2/3,贝卩AB的长为例3、（2020镇江期末）在ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且 ccosB + bcosC = 3acosB.(1)求cosB的值;若|CA - CB|= 2, ABC的面积为212，求边b.题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围运用正余弦定理研究三角形中的范围主要涉及两方面的问题：一是：与不等式结合；二是有角的范围，确定三角函数值的范围例

9、4、（优质试题苏州期初调查） 在斜三角形ABC1 1中，已知tanA+蔷 +tanC = 0,贝y tanC的最大值等于例5、(优质试题苏锡常镇调研(二)在厶ABC中，三个内角A , B , C的对边分别为a , b , c，设 ABC的面积为S，且4S V3(a2 c2 b2).(1)求B的大小;(2) 设向量 m (sin2A,3cosA) , n(3, 2cos A)，求m n的取值范围.题型三、正余弦定理与向量的综合正余弦定理与向量的综合主要就是借助于向量的知识转化为边角的函数关系式，然后运用正余弦定理解决问题。例6、(优质试题无锡期末)在 ABC中，设a, b, c分别是角A , B

10、,C 的对边，已知向量 m= (a, sinC sinB) ,n = (b+c, sinA+sinB),且 m / n.(1)求角C的大小;若c=3,求 ABC的周长的取值范围.题型四、运用正余弦定理解决实际问题解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦 定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果例7、（优质试题苏北三市期末）如图，某公园内有两条道路AB , AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把 ABC所在的区域改造成绿化区域.已知/ BAC =（1）若绿化区域ABC的面积为1km2，求道

11、路BC的长度;若绿化区域ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设/ ABC =6 0< 9W 2n，当0为何值时，该计划所需总费用最小?、填空题1、（优质试题苏中三市、苏北四市三调） 在 ABC中，若 sinA:sin B:sinC 4:5:6，贝U cosC 的值为 _中，角A, B, C的对边分别为a, b,2、（优质试题常州期末）在 ABCc,若 a2= 3b2 + 3c2 2>/3bcsinA,贝U C =中，已知C= 120°,3、（优质试题苏州三市、苏北四市二调） 在 ABC sinB = 2sinA，且 ABC的面积为2/3,贝

12、卩AB的长为最新高考数学二轮专题训练（附经典解析）4、（优质试题南京学情调研）已知 ABC的面积为315,且AC -AB1=2, cosA = -4,贝y BC 的长为5、（优质试题苏州期初调查）已知 ABC的三边上高的长度分别为 2,3, 4，则 ABC最大内角的余弦值等于6、（优质试题南通、扬州、泰州、淮安三调）在锐角 ABC中,AB 3，AC 4 .若 ABC的面积为3丽，则BC的长是7、（优质试题苏锡常镇调研（一） 在 ABC中，角A，B，C所对的n边分别为 a, b, c,已知 5a= 8b, A = 2B，贝U si nA-& （优质试题苏锡常镇调研）设 ABC的内角A ,

13、 B , C的对边分别是a , b , c，且满足 acosB bcosA -c，贝tan-A _5tan B9、（优质试题南京、盐城二模）在 ABC中，若 sinC= 2cosAcosB，则cos2A + cosB的最大值为10、（优质试题南京、盐城一模）在 ABC中，A, B, C所对的边分别为a, b, c,若a2+b2+ 2c2 = 8，则 ABC面积的最大值为二、解答题11、（优质试题南京、盐城一模）在 ABC中，设a, b, c分别为角A,B, C的对边，记 ABC的面积为S,若2S= AB AC ,（1）求角A的大小;4、若c= 7, cosB = 5，求a的值.12、（优质试题

14、南通、泰州、扬州一调）在 ABC中，a, b, c分别为角3A , B, C 所对边的长，acosB = V2bcosA, cosA =专-（1）求角B的值；若a=/6，求 ABC的面积.13、（优质试题宿迁期末）已知 ABC的面积是S, AB AC = 誉S.（1）求sinA的值；若BC = 2也，当 ABC的周长取得最大值时，求 ABC的面积S.最新高考数学二轮专题训练(附经典解析)14、(优质试题苏州期末)已知函数f(x) =23sin2x- cos2x-2.(1) 求函数f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量 x的集合；(2) 设 ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且c=V3, f(C)=0,若 sinB = 2sinA，求 a, b 的值15、(优质试题镇江期末)某房地产商建有三栋楼宇A , B, C,三楼宇 间的距离都为2千米，拟准备在此三楼宇围成的区域 ABC外建第四栋楼宇D，规划要求楼宇D对楼