高等混凝土作业概要

1、高等混凝土受弯构件承载力计算公式的推导及其影响因素的分析姓 名：学 号： 指导老师：日 期： 2013年 6月受弯构件正截面承载力计算公式的推导及其影响因素的分析内容简介：本文首先推导了矩形截面梁正截面受弯承载力的计算公式，然后对影响正截面受弯承载力 的影响因素进行了定量分析，给出了结论。1推导正截面受弯承载力计算公式取一个简支的单筋矩形截面钢筋混凝土梁作为为分析研究对象，给出基本假定，从而分别确定钢筋和混凝土的本构关系，然后进行必要的等效简化，从而建立理论平衡方程， 推导出正截面承载力的计算公式。1.1正截面承载力计算采用的基本假定：（1）截面的应变沿截面高度保持线形关系，平均应变的平截面假

2、定；本假定指的是在荷载作用下，梁的变形规律符合“平均应变平截面假定”，简称平截面假定。即构件受力以后，截面各点的混凝土和钢筋纵向应变沿截面高度方向呈直线变化。（2）不考虑混凝土的抗拉强度；本假定忽略中和轴一下混凝土的抗拉作用，主要因为混凝土抗拉强度很小，且合力作用点距离中和轴很近，内力矩内力臂很小。即忽略了受拉区混凝土对受弯承载力的贡献。（3） 混凝土受压的应力应变关系曲线采用Rusch建议的应力-应变曲线。本假定确定了混凝土的本构关系，如图1，即抛物线上升段和水平段的混凝土受压应力应变关系曲线。抛物线形状、峰值应变和极限压应变随混凝土强度等级而不同。(1.1-1a)当轧 轧%u时（水平段）b

3、e -c(1.1-1b)当电 名0时（上升段）式中，参数n、气、Scu与混凝土强度等级有关系，具体公式可查阅相关文献，此处从略。对于各混凝土各强度等级，个参数计算结果见下表1。表1混凝土应力-应变曲线参数fcu,k<C50<C60<C70<C80n21.831.671.5奄0.0020.002050.00210.00215名cu0.00330.00320.00310.0030按图1,设Ccu为混凝土压应力-应变曲线所围的面积，ycu为吃面积的形心到坐标原点的距离，则有SuCcu =2c(Ec)dEc0(1.1-2)&uJ bcGc) %dScy 0(1.1-3)

4、ycu -Ccu令C2= cu，k2=- %uycu%u把基本假定3推定的应力-应变关系公式以及参数 n、k1、k2，见下E0和cu取值代入以上两式屮求得表2，系数k1、k2只取决于混凝土受压应力-应变曲线形状，称为混凝土受压-应力应变曲线系数。表2混凝土受压应力应变曲线系数k1 > k2fcu,k<C50<C60<C70<C80k10.7970.7740.7460.713k20.5880.5980.6080.619(4)钢筋的应力-应变曲线通常假定为双折线。取纵向钢筋的极限拉应变为0.01，即给出了正截面达到承载力极限状态的另一个标志。其应力应变(1.1-4)关

5、系方程如下：bs=Es 名 s" y1.2受压区混凝土的压应力合力及其作用点本文的分析研究对象为适筋梁，即在外荷载作用下，正截面达到极限弯矩M时，截面受拉区钢筋屈服,截面受压区边缘的混凝土达到极限压应变£ cu。本文采用等效矩形应力图进行公式的推导。试验表明，达到 M时，£ cu约在0.0030.005范围，本文取£ cu=0.0033。即超过该应变值，受压区混凝 土被压坏，表明梁达到极限承载力。实质上是给出了混凝土单周受压情况下的破坏准则。1和3，其受压区混凝土的压应力图形符合图2为一单筋矩形截面适筋梁的应力图形，采用了基本假定图1的变化规律。T图2等

6、效矩形应力图但是，受压区压应力理论应力图与图1所示的应力-应变曲线图形两者变量是不同的，前者变量是任纤维到中和轴的距离 y, y=0 X,，后者的应变量是 sc , sc=0 scuXn故受压区混凝土压应力的合力(1.2-1)c = 2c(Ec) b dy0合力C到中和轴的距离Su(轧)b ”y dy0yc =XcJbc(%)ydy0XJbcQJdy0(1.2-2)y处的压应变式中Xc 中和轴高度，即受压区的理论高度。再来研究变量y与甩的关系，因为中和轴高度为兀，则由平截面假定可得距离中和轴(1.2-3)dy dcu，代入上式（1.2-1 ）和（1.2-2），得受压区应力的合力C和C轧u到中和

7、轴的距离分别为(1.2-4)&XcC = / c(电)b d 耳=Xc 占=k1 fcbXc Z£0cucu(1.2-5)=Xc= kzXc®cu1.3等效矩形应力图由式（1.2-4 ）和（1.2-5 ）知，合力C和作用位置yc仅与混凝土应力-应变曲线系数k1、k2及受压区高度Xc有关，而在极限受压承载力 Mu的计算中也仅需知道 C的大小和作用位置 yc就够了。鉴于此，为简化计算，可取等效矩形应力图来代换受压区混凝土的理论应力图,（1）混凝土压应力的合力 C大小相等；（2）两个图形中受压区合力 C作用点不变。，如图2,两个图形等效的条件是:设等效矩形应力图的应力值为

8、a1 fc，高度为X，则按等效条件，由式（1.2-4）和（1.2-5）可得:C =6 fcbx = k1 fcbx(1.3-1a)x=2(Xc yc) =2(1 k2)Xc(1.3-1b)令 P =x/Xc =2(1-k2),则a 1KE_ki一2(1-k2),可见系数口1、P1也仅与混凝土应力-应变曲线有关,J bcGc) b(玉)2 他 q 名c0Ecuyc =CXc b色Ecu设界限破坏时中和轴高度为Xcb，则有称为等效矩形应力图系数。 系数01是受压区混凝土矩形应力图的应力值与混凝土轴心抗压强度设计值的比3。值；系数 附是矩形应力图受压区高度 X与中和轴高度Xc的比值。取值如下表表3混

9、凝土受压区等效矩形应力图系数<C50C55C60C65C70C75C801.00.990.980.970.960.950.94p10.80.790.780.770.760.750.741.4界限配筋率该推导过程针对的是适筋梁，适筋梁与超筋梁的界限为“平衡配筋梁”，即在受拉纵筋屈服的同时，混凝土受压边纤维也达到极限应变值Scu，截面破坏。设钢筋屈服时的应变为Ey，则y=，此处Es为钢筋的弹性模量。Es(1.4-1)把Xcb = 01 ”Xcb代入上式，得xcb _呂cuhoScu +%py PzJrf-4 a唱gjf f图3适筋梁、超筋梁、界限配筋梁破坏时正截面平均应变图Xb=%(1.4-

10、2)设 =Xb/h0，称为界限相对受压区高度,P1(1.4-3)正截面受弯承载力计算中，如果出现1 + esyr'cu，则梁超筋,超筋破坏为脆性破坏，结构设计中必须免。1.5等效矩形应力图表示的截面平衡方程一基本方程4所示，图中X称为混凝土受压区高度。单筋矩形截面受弯构件的正截面受弯承载力计算简图如图图4单筋矩形截面受弯构件正截面受弯承载力计算简图取钢筋的屈服应力为 bx = fy，fy为钢筋的设计强度。由力的平衡条件及力矩平衡条件可得Mu = fyAs(ho-O.5x)(1.5-2a)M u =8 fcbx(h0 -0.5x)(1.5-2b)其中X用相对受压区高度表示，即x = th

11、o，代入（1.5-1 ）和（1.5-2）得到用受压区高度表示的界面平衡方% fcbho = fyA,(1.5-3)其中Mu = fyA(ho-0.5纸)Muk XfyAsU. . h。Ct fcbh。p-(1.5-4a)(1.5-4b)(1.5-5)P ,也反映了钢筋与混凝土的材料强度相对受压区高度不仅反映了钢筋与混凝土的面积比（配筋率 比，是反映构件中两种材料配比本质的参数。2受弯构件正截面承载力的影响因素分析由1中推导的公式可知正截面受弯承载力是若干个设计变量控制的函数，如构件的截面尺寸、配筋率、材料的强度。即控制其它参数不变，当某个参数单独发生变化时，正截面承载力也随之变化，逐个绘制曲

12、线，通过对曲线形状的分析，考察其对正截面承载力的影响程度。2.1两种不同的混凝土本构关系对正截面抗弯承载力的影响对于不同的混凝土本构关系，可以通过以上公式计算k1和k2。本文中采用两种混凝土应力 -应变曲线（如图1和图5）。Rusch 建议的模型，k,、k2计算结果如下表4。表4混凝土受压应力应变曲线系数匕、k?fcu,k<C50<C60<C70<C80k10.7970.7740.7460.713k20.5880.5980.6080.619为了便于比较，取另一种应力 -应变曲线模型。图5 Hongnestad建议的应力-应变曲线图5中曲线的上升段采用抛物线形式，下降段为

13、斜直线，表达式为：bc(2.1-1)H=fc 1-1L伍丿当£o吒S < Su （斜线下降段）(2.1-2)<C50C60C70C80k10.779-k20.575-式中:fc为峰值应力（混凝土极限抗压强度）；为相应与峰值应力时的应变，取印=0.002; &u为极限压应变， 取%u=0.0038。为了便于横向比较两种不同的本构关系对抗弯承载力影响，计算时取©1=0.0033以左的图形进行计算。Hongnestad建议的应力-应变曲线图计算的 b和k?如表5所示。表5 Hongnestad受压应力-应变曲线系数 匕和k2计算应力-应变曲线系数的目的是确定应

14、力图形系数a和等效矩形受压高度系数其对应关系的推导过程如下：由实际应力图和等效应力图的对应关系，有CfcbXc = ki fcbXc(2.1-3)由上面两式可得:x=2(Xcyc)=2(1-k2 )Xc(2.1-4)2(1-k2)(2.1-5) k12(1 k2)(2.1-6)可见，若采用实际应力图计算抗弯承载力时，只需知道系数k1和k2的值，若采用等效应力图计算抗弯承载力时，需要根据 k1和k2的值来确定a和B的值，按照实际应力图计算抗弯承载力公式为：fyAs 1Mu = fyAsh0-（1-k2）卡ILkjjb(2.1-7)将前面已经计算好的两种不同的混凝土本构关系的k1和k2的值分别代入

15、公式（2.1-7）中，可以得到两个不同的抗弯承载力值，且相差很小。即在截面配筋相同，尺寸相同，材料相同的前提下，抗弯承载力 因采用了不同的混凝土应力-应变曲线相差很小，这足以说明不同的混凝土本构关系对截面抗弯承载力的影 响，正因如此，我国规范建议采用上升段加水平直线段的本构关系图。2.2截面尺寸的影响分析每个因素的影响程度时都取三组数据，而且受弯构件承载力计算是建立在适筋梁基础上的，题中 每组给定的钢筋面积均已经过计算，从而保证了不少筋也不超筋，即为适筋梁，然后计算得到三组结果， 绘制出受弯承载力关于响应因素变化的三条曲线。2.2.1宽度b变化的影响三组数据梁高均为h=600，配筋面积均为 代

16、=2000 mm2，钢筋强度等级均为 HRB335，梁宽度从200增a第一组b第二组截面宽度变化对受弯承载力的影响300-250-加到380，增加幅度均为20mm，混凝土强度等级为：第一组 C25，第二组C30，第三组C35，每组均使截面 宽度b变化，其他数据不变，承载力计算结果分别如表6、图6所示。bh/bM幅度1幅度2数据组别3801.58290.2296.9301.60.76%0.64%0.50%13.99%11.04%9.24%3601.67288.0295.0300.10.88%0.68%0.64%13.21%10.45%8.69%3401.62285.5293.0298.20.99

17、%1.0%0.64%12.22%9.70%8.00%3201.72282.7290.1296.31.11%1.04%0.75%11.12%8.61%7.32%3001.83279.6288.0294.11.30%1.05%0.89%9.91%7.82%6.52%2801.96276.0285.0291.51.55%1.21%1.04%8.49%6.70%5.58%2602.12271.8281.6288.51.80%1.44%1.19%6.84%5.43%4.49%2401.29267.0277.6285.12.22%1.76%1.46%4.95%3.93%3.26%2202.50261.22

18、72.8281.02.67%2.13%1.77%2.67%2.13%1.77%2002.75254.4267.1276.10%0%0%0%0%0%表6截面宽度b对抗弯承载力的影响说明：增幅1是相对于前一个截面，增幅2是相对于最初截面。350200竞gb200240280320360 ' 400c第三组承载力只增加了 10%左右，并且随从三组数据的图和表可以看出，截面宽度从200mm增加到380mm着截面宽度的增加，承载力增加逐渐减缓，所以宽度的变化对正截面抗弯承载力的提高较小。因此，增加 宽度以提高正截面受弯承载力不是一种有效的方法。2.2.2 高度h变化的影响三组数据梁宽度均为 30

19、0mm配筋面积 A =2200 mm2，钢筋强度等级为 HRB335，梁高从500mm增加 到950mm增加幅度取为50mm。混凝土强度等级为：第一组 C25，第二组C30，第三组C35，每组均使截 面高度h变化，其他数据不变，承载力计算结果如表 7、图7所示。600-,豌“5Q0-450-400350300- 珈Mol500550600650700750 80 03 509 00 S50I000a 第一组b图7截面高度变化对受弯承载力的影响从三组数据的图和表可以看出，随着截面高度h的增大，受弯承载力M显著增大。截面高度由500mm 增大至950mm时，截面受弯承载力 Mu增大了 120%左右

20、，增大截面是一种比较有效的方式。然而增大截 面高度即增大了截面面积，导致增加水泥用量，成本提高。因此，提高截面高度是一种有效的方式。600-.550-:500-'450-4-D0-S50-31X1-250-1”5005 50600 650700750 800 35 03 009 5010 00第二组舉高n:550-；500- R450400350300250-1梁髙h500550600650 700 75 OB 0 OS 50 900 9501000第三组表7截面宽度h对抗弯承载力的影响bh数据组别M幅度1幅度29503.17533.0543.2550.56.6%6.47%6.38%1

21、25.85%120.64%117.16%9003.00500.0510.2517.57.07%6.92%6.81%111.86%107.23%104.14%8502.83467.0477.2484.57.60%7.43%7.31%97.88%93.82%91.12%8002.67434.0444.2451.18.23%8.03%7.89%83.90%80.42%78.11%7502.50401.0411.2418.58.97%8.73%8.56%69.92%67.02%65.097002.33368.0378.2385.59.85%9.56%9.36%55.93%53.61%52.07%650

22、2.17335.0345.2352.510.93%10.57%10.33%41.94%40.21%39.05%6002.00302.0312.2319.512.27%11.82%11.52%27.97%26.81%26.04%5501.83269.0279.2286.513.98%13.40%13.02%13.98%13.40%13.025001.67236.0246.2253.50%0%0%0%0%0%2.3材料强度等级的影响根据计算公式（1.5-2b），材料强度等级的改变将会影响到截面破坏时的受压区高度的大小，详细分析 如下。2.3.1钢筋强度等级的影响钢筋共 HPB300 HRB335

23、HRB4O0 HRB500四个级别，强度分别为 fy =270、300、360、410N /mm2,分析强度变化的影响，仍取三组数据，三组数据钢筋面积均为2As =2200 mm，混凝土强度等级均为C35，截面尺寸第一组为b*h=250*500，第二组b*h=300*700，第三组b*h=350*900，每组均使钢筋强度变化，其表8钢筋强度等级fy的影响钢筋f y -N /mm 2数据组别AsMU增加幅度1增加幅度2HRB5004102000288.5465.9639.510.15%11.91%12.77%38.64%44.73%47.32%HRB4003602000261.9416.3567

24、.115.4%17.56%19.61%25.85%29.33%30.64%HRB3353002000226.9354.1474.19.03%10.00%9.21%9.03%10.00%9.21%HPB3002702000208.1321.9434.10%0%0%0%0%0%6503600-亍550-器500-40-400.350300.350200150-250500-:550-"500450400350300250-200150 250.囲筋菠度300'' +000第二组650.:600-:550- ij500450400-350，3Q0-250200150-250

25、c胡霸爼度300' 350' 4000第三组堀®强度_ 4000a 第一组b图8钢筋强度变化对受弯承载力的影响由三组数据的图和表可知，在四种不同钢筋强度情况下，随着钢筋强度等级的提高，截面抗弯承载力也在提高，并且提高幅度明显，最大增幅达到40%左右，但是需要指出的是钢筋随着强度提高,韧性在降低。232混凝土强度等级的影响三组数据梁配筋面积均为As=2400mm2，强度等级为 HRB335,截面尺寸分别为第一组250*550，第二组 300*650，第三组 350*800，混凝土强度等级依次取为C25、C30、C35、C40、C45、C50、C55、C60、9、图9所示

26、。C65、C70,每组均使混凝土强度变化，其他数据不变，其他条件均不变，分析结果如表 表9混凝土强度等级fc对正截面受弯承载力的影响混凝土组AsMu增幅1增幅2别C702400320.6399.1522.60.22%0.13%0.096%17.48%11.05%6.96%C652400319.9398.6522.10.38%0.25%0.15%17.22%10.91%6.86%C602400318.7397.6521.30.47%0.33%0.21%16.78%10.63%6.69%C552400317.2396.3520.20.67%0.43%0.29%16.23%10.27%6.47%C5

27、02400315.1394.6518.71.35%0.89%0.58%15.46%9.79%6.16%C452400310.9391.1515.71.70%1.11%0.72%13.92%8.82%5.55%C402400305.7386.8512.02.62%1.71%1.09%12.02%7.62%4.79%C352400297.9380.3506.53.62%2.34%1.50%9.16%5.81%3.66%C302400287.5371.6499.05.34%3.39%2.13%5.34%3.39%2.13%C252400272.9359.4488.60%0%0%0%0%0%表10配筋

28、率对正截面受弯承载力的影响f y组另Up -%M-KN增幅1增幅2300 N/mm21.6485.7506.3521.010.79%11.47%11.95%555.47%579.60%597.46%300 N/mm21.4438.4454.2465.413.19%13.86%14.32%491.63%509.66%523.03%300 N/mm21.2387.3398.9407.116.55%17.19%17.62%422.67%435.44%444.98%300 N/mm21.0332.3340.4346.121.50%22.14%22.60%348.44%356.91%363.32%300

29、 N/mm20.8273.5278.7282.329.68%30.36%30.75%269.10%274.09%277.91%300 N/mm20.6210.9213.8215.946.05%46.74%47.27%184.61%186.98%189.02%300 N/mm20.4144.4145.7146.695.27%95.57%96.25%95.27%95.57%96.25%300 N/mm20.274.174.574.70%0%0%0%0%0%- o o5 o5 5- o o o 5 0 5 5 5 4Do5 o5 5400-400-400-35035035D-SOO-SOO-300-"碇强度忆'' I '