抛物线测试题(含答案).

1、抛物线测试题一、选择题（本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1抛物线 y2x 2 的焦点坐标是（）A (1,0)B(1,0)C (0, 1)D (0,1)4842已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点P (m,3) 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A x28 yB x24yC x24 yD x28y3抛物线 y212x截直线 y2x1所得弦长等于（）A 15B2 15C 15D 1524顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点( 2,3) ，则它的方程是（）A. x29 y 或 y24 x B.y 29 x 或 x 24 yC.x24 y D.y 29 x232332

2、5点 P(1,0)到曲线xt 2（其中参数 tR ）上的点的最短距离为（）y2tA 0B 1C 2D 26 抛 物 线 y22 px( p 0) 上 有 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ), C (x3 , y3 )三点， F 是它的焦点，若AF , BF , CF 成等差数列，则（）A x1 , x 2 , x3 成等差数列B x1, x3 , x 2 成等差数列C y1, y2 , y3 成等差数列D y1 , y3 , y 2 成等差数列7若点 A 的坐标为（3， 2）， F 为抛物线 y22x 的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PA PB 取得最小值时点P 的坐标是（）A

3、（ 0， 0）B（ 1， 1）C（ 2， 2）D (1,1)y22 px( p0)28已知抛物线的焦点弦 AB 的两端点为 A(x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则关系式y1 y2的值一定等于（）x1x2A 4B 4C p2D p9过抛物线 yax 2 (a0)的焦点 F 作一直线交抛物线于P，Q两点，若线段 PF 与 FQ的长分别是 p,q ，则 11=（）pqA 2aB 1C 4aD 42 aa10若 AB为抛物线 y2=2px (p>0)的动弦，且 |AB|= a ( a>2p) ，则 AB 的中点 M到 y 轴的最近距离是（）A aB pC a pD a p

4、2222二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分）11、抛物线 y2x 上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_12、直线 xy10 截抛物线 y28x ，所截得的弦中点的坐标是13、抛物线 y22 px( p0) 上，横坐标为 4 的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的距离为14、设 F 为抛物线 y24x 的焦点， A， B， C 为该抛物线上三点，若FA FBFC 0，FAFBFC则15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（ 1）焦点在 y 轴上；（ 2）焦点在 x 轴上；（ 3）抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；（ 4）抛物线的通径的长为5；（ 5）由原

5、点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2， 1）其中适合抛物线y2=10x 的条件是 ( 要求填写合适条件的序号）_三、解答题16（ 12 分）已知点 A（2， 8），B（ x1， y1），C（ x2， y2）在抛物线 y 22 px 上， ABC的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（ 1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（ 2）求线段 BC中点 M的坐标；（ 3）求 BC所在直线的方程 .17（ 12 分）已知抛物线y ax21上恒有关于直线 xy 0 对称的相异两点，求a 的取值范围 .18（ 12 分）抛物线 x2=4y 的焦点为 F，过点 (0 ， 1) 作直线 L 交抛物线

6、A、B 两点，再以 AF、 BF 为邻边作平行四边形 FARB，试求动点 R 的轨迹方程 .19、（ 12 分）已知抛物线C 的方程 C ： y22 px( p0) 过点 A（ 1，-2 ）.（ I ）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程；（ II ）是否存在平行于OA （ O 为坐标原点）的直线l ，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，5且直线 OA 与 l 的距离等于 5 ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由 .20（ 13 分）已知抛物线y2=4 ax(0 a 1的焦点为F，以 A( a+4,0)为圆心， AF 为半径在 x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和 N，设

7、P 为线段 MN 的中点（ 1）求 MF + NF的值；（ 2）是否存在这样的a 值，使 MF、 PF、 NF成等差数列 ?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.21（ 14 分）如图 ,直线 y= 1 x 与抛物线y= 1 x2 4 交于 A、B 两点 ,线段 AB 的垂直平分线28与直线 y= 5 交于 Q点 .（ 1）求点 Q的坐标；（ 2）当 P 为抛物线上位于线段 AB下方（含 A、 B）的动点时 ,求OPQ面积的最大值 .参考答案一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号12345678910答案CDABBACBCD二、填空题（本大题共4 小题，每小题6

8、分，共24 分）11 (1,2 )121315 （ 2），（5）84三、解答题（本大题共6 题，共 76 分）15（ 12 分） 解析 ：（ 1）由点 A（ 2， 8）在抛物线 y 22px 上，有 822 p 2 ，解得 p=16.所以抛物线方程为 y232x，焦点 F 的坐标为（ 8， 0） .（ 2）如图，由于F（ 8， 0）是 ABC的重心， M是 BC的中点，所以F 是线段 AM的定比分点，且AF2 ，设点 M的坐标为 (x0 , y0 ) ，则FM22x 08,82 y00 ，解得 x0 11, y04 ，1212所以点 M的坐标为（ 11， 4）（ 3）由于线段 BC的中点 M不

9、在 x 轴上，所以 BC所在的直线不垂直于 x 轴. 设 BC所在直线的方程为：y4k (x11)(k 0).由 y4k (x 11), 消 x 得ky232y32(11 4)0 ，y232xk所以 y1y232 ，由（ 2）的结论得 y1y24 ，解得 k4.k2因此 BC所在直线的方程为：4xy400.16（ 12 分） 解析 ：设在抛物线 y=ax2 1 上关于直线 x+y=0 对称的相异两点为P( x,y),Q( y, x) ，则yax 21xay 21 ，由得 x+y=a( x+y)( xy), P、Q为相异两点， x+y0，又 a0，1122+1=0，其判别式=22 )0，xy,即

10、 yx，代入得 a xa 4a(1aaaxaa解得 a3 4FARB的中心为 C( x , y1) ，L:y=k x17（ 12 分） 解析 ：设 R(x,y),F(0,1),平行四边形 1, 代入抛物线方程得x 4kx+4=0,设 A( x ,y),B( x ,y22x =4 ，且1), 则 x +x =4k, x21221212=16k 2 16 0，即 |k| 1，y1y 2x1 2x2 2( x1x2 ) 22x1x 24k22 ，C为 AB的中点 .44xx2x22k22y 1y2y22k 2122x4k，消去k得 x2=4(y+3),由得， x 4，故动点R 的轨迹方程为y4k 2

11、3x2=4(y+3)(x4 ) 1819（ 14 分） 解析 ：（ 1）F（ a,0 ）, 设 M(x,y ),N ( x,y), P ( x, y) ，由 y 24ax112200(xa4)2y216x 22(a 4)x(a 28a)0，0,x1x22(4a) ， MFNF(x1a)( x2a) 8（ 2）假设存在 a 值，使的 MF,PF,NF成等差数列，即 2 PFMFNFPF4x 04a( x0 a) 2216( 42a)2216y0216a4a2y0y0y0 2( y1y2 ) 2y1 2y2 22 y1 y2244ax1 4ax224ax14ax2a( x1x2 )2ax1 x2 = 2a( 4a)2aa28a42a(4a)2aa 28a16a4a2a10x1x200a1矛盾 .x1x20y020假设不成立即不存在a 值，使的 MF,PF,NF成等差数列或解 :PF 4x04 ax0a4 知点 P在抛物线上 .矛盾 .y1xx14x 2820（ 14 分）【解】 (1)2解方程组1得或yx24y12y248即 A( 4, 2),B(8,4),从而 AB的中点为 M(2,1). 由 kAB= 1 , 直线 AB的垂直平分线方程y 1= 1 ( x2).2令 y= 5,得 x=5,Q(5, 5) 21 x24). 点 P 到直线 OQ的距