N-S摸型的低密度极限

1、 N-S模型的低密度极限 我们在一个很大的速度极限下研究N-S模型的低密度极限。出现在基本图中的三个不同的区域是相同的。通过对三个参数（速度极限，随机刹车概率p ，格子长度L ）的依赖关系的讨论获得了分析上的近似。同时还讨论了系统有限尺寸的影响。1 引言最近，交通所涉及的问题已经引起了迅速增加的物理学家团体相当大的注意。这不仅因为它们在优化高速公路交通方面的实际应用，而且更是因为观察到的非线性动力学现象和非平衡相变。研究交通动力学的一些经典的模型有：流体力学模型，跟驰模型，气体动力学模型。这些经典方法之外，一种新的时空离散的元胞自动机模型已经吸引了很大的兴趣，因为它的简洁性和计算效率性。一方面

2、，这种模型很成功地再现了在实际交通中观察到的许多特征。另一方面，这种简单模型的行为是很复杂的，直至现在还没有完全理解。我们分析性地模拟已经下了很大的努力，至少在基本图方面（如流量密度图）。但是，直至现在仅仅一些确切的结果是知道的。甚至到低密度极限这种最简单的情形。近来，在零密度极限交通流的奇怪的增加已经被注意到了。在这篇论文中，我们着重研究在低密度极限基本图的一些特征。这种基础模型是：在周期性边界条件下，在长为L个格点的一维道路上分布N辆移动的汽车。因此密度是一个守恒量。每一个格点可以是空，也可以被一辆车占据。所有的车只能向一个方向移动。每一辆车的速度是一个介于0和之间的整数值。这里是速度的极

3、限。第i 辆车在t 时刻的位置和速度用x(i, t) 和v(i, t)来单独地表征。因此t 时刻，前面临近的车的位置是x(i+1, t) 。在这种模型的确定性的译文中，系统演化遵循下列同步规则： （1） （2）这三项分别表示安全距离，加速a ,和速度极限 。为了和实际的交通对比，下列参数通常取：和a=1 格子常数大约是和时步1秒。因此速度极限对应于135千米/时。为了解释实际交通中的波动现象，进一步引进了一个随机噪声。一辆车倾向于随机刹车，即车的速度以一定的概率p 减少1 ，也就是说方程（2）被如下方程所替换： （3） 研究这种模型的一种通常的方法是画出流量密度图象，即所谓的基本图。它是一条伴

4、随在某一密度有一定义很好的最大值的光滑曲线。在低密度流量是自由的并因为波动而出现少量的密度波，它很快消失了。在高密度区域起止波占主导地位。即进入堵塞相。因为“粒子空隙”对称，对于这种情形。随着的值增加的值减小。在p=0 这种特殊的情形，一种分析性的表达是知道的。 （4）最近，基本图的低密度极限出现的奇怪的行为已经被注意到了。在极限时，随着密度的减少，流量并没有象预想中的减少。而是突然增加到1 ，参见图（1）。这种奇怪的行为在文献（5）中被平均场理论所忽略。这涉及到在时的相变。这篇论文致力于在零密度极限和无穷大速度（）情形下，基本图的奇怪行为的细节性研究。2和情形采用一个很大速度极限，在低密度区

5、域基本图的典型行为在图（2）中可以见到。可以观察到三个不同区域。在区域（1）流量随密度的增加而线性增加。在区域（2）流量随密度的增加而突然减少。在区域（3）流量随密度的进一步增加而达到一个平台。和这个奇怪的增加相对比，基本图的行为在中高密度区域曲线更加光滑。当我们进一步增加密度到它的最大值1 ，流量逐渐下降到值为0 。区域（1）的线性行为可以被理解为速度极限的。当车辆间的相互作用被忽略时，速度仅仅受到速度极限的约束。考虑到随机刹车，平均速度由给出。因此流量变成： （5）当我们考虑和p<1 时，线性关系通过速度极限来定义，随机刹车概率p仅仅起了一个不重要的作用。当密度增加时，在区域（2），

6、车辆间的相互作用不再被忽略。流量的突然减少蕴涵了车辆之间强大的相关性。随着不止一辆车增加进道路，车辆速度非偶然的下降。基本图由下列二次形式得到很好的描述， （6）这里系数X是独立于速度极限的。当固定了格子长度L和随机刹车概率p ，对于不同的速度极限流量密度关系遵循相同的曲线微妙地降落。当随机噪声被忽略时，我们得到X=0，获得流量的线性下降，而不是突然下降。在这个模型中，一辆车的速度受到前面邻近车辆进展的约束。随着密度的增加，平均进展下降并且由给出。如果没有随机刹车概率，每一辆车可以跟上前面临近车辆进展。这样平均速度就等于平均进展。也就是说，和X=0。有了随机刹车概率，这就不再可能。假如车辆随机

7、刹车，平均速度将要小于平均进展。当有m辆车随机刹车，对于跟随的车辆可达到的进展将减少m并且平均速度仅仅可假定为这样的一个值。在平均意义上，我们得到m=Np。当平均速度下降Np，流量将要减少。这对应于一个系数X=Lp。公式要求不止一次的修正。在周期性边界条件下，所有的车辆在一个环型轨道上运行并且随机刹车概率p应重新标准化成如下的形式： （7）因此流量变成： （8）它是独立于的，随着更大的p值和更大的L值，流量更加突然地下降。在区域（3），流量达到一个平台。平均速度与流量成反比。这可以被看作交通堵塞的一个符号。这里车辆之间的关联不再是无限范围的。堵塞的出现将消除长程相互作用。因此平均速度将不再随着

8、密度的差异而迅速的变化。，随着堵塞的出现，流量可以由堵塞的可解决性来决定。陷入堵塞的第一辆车以概率（1-p）离开，并且流量被幼稚地期望为(1-p)然而，假如第一辆车保持静止，对于第二辆车是不可能向前移动的。这有一个概率p ，因此期望的流量是： （9）速度极限的独立性是预料之中的。当一辆车陷入交通堵塞，来自速度极限的约束将是不关联的。当相关的范围缩短，对格子长度的依赖将得到提高。因此平台的值由随机刹车概率p唯一确定。总而言之，方程（5），（8），和（9）提供了一个简单但令人满意的对基本图的描述；见图（2）。3讨论 在这篇论文中，我们在一个高的速度极限下，研究NS模型的低密度极限。在基本图中三个不

9、同的区域是相同的。通过唯象论的考虑获得了分析性的表达式数值结果能够很好地被描述在区域（）流量与密度的线性关系是由速度极限所控制的每一车辆之间是相互独立的在区域（）获得了流量与密度的二次的关系相关的参数是随机刹车概率p和格子长度L车辆之间关联很强在区域（）流量达到了一个平台，它的值是由随机刹车概率p唯一决定的交通堵塞开始出现并且车辆之间的关联减弱当随机噪声被忽略时，即p=0，仅能观察到二个区域当密度增加时，在区域（）流量线性地增加，在区域（）流量线性地减少，这与格子长度L无关当速度极限增加时，区域（）的范围开始膨胀在一个大的速度极限下，区域（）形成了整个基本图观察不到奇怪的行为，除了在零密度流量

10、的不连续性当增加时，假定在零密度流量的值为零，但它有一个极限值在零密度极限单一性的起因很容易被理解为只有一辆车的情形在这种固定的状态，速度等于它的最大值，也就是因此流量为，这时密度为L 在强加的周期性边界条件下，极限通过来实现这对于一个大的系统流量有一个统一性的极限值当随机噪声被引进时，这幅图也是正确的因此在零密度流量的不连续性可以看作两种标度：竞争的结果当随机噪声被引进时，在区域（）随着密度的增加，流量下降的更快，得到了一个近似的二次关系这涉及到其中无限范围的关联随着密度的进一步增加，在区域（）观察到一个平台流量与密度的近似独立涉及到其中有限范围的关联在极限，区域（）象预想中的那样消失，区域（）和区域（）形成基本图在区域（）平台的出现和区域（）流量奇怪的增加（当密度减小时），这都是随机噪声的直接表现形式借助分析性的表达形式，很容易获得了临界密度：（）（）假定近似值，我们注意到当，临界密度在数值计算时很容易被忽略仅仅将临界密度报道出来有趣的是，我们注意到在区域（）有一个与格子长度L的明确的依赖关系因此流量的奇怪增加可以看成系统有限尺寸的影响在以前的工作中，仅仅注意到在小的条件下系统有限尺寸的影响当固定了，区域（）的范围随着L的增加而收缩在极限，区域（）光滑地穿过区域（）在基本图中平台变