数型结合思想

1、数型结合思想 2009.3.14 李红虎【教学目标】1让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象；2让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论；3培养学生主动运用数形结合方法解题的意识【教学重点】函数图象的几何变换【教学难点】1各种图象变换之间的区别及灵活应用；2运用数形结合方法解题【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图象法解不等式）【教学过程】第一课时一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象正比例函数，反比例函数， 其图象是以原点为中心，以直线和为对称轴的双曲线一次函数，一元二次函数指数函数且（特征线：） 对数函数且（特征线：）正

2、弦函数，周期余弦函数，周期正切函数周期一个小结论：在区间上恒有（证明文科留至三角函数一节再给出，理科用导数证明如下）证明：记，则在上恒成立，故在上为增函数，所以，即当时，恒有记，则在上恒成立，故在上为增函数，所以，即当时，恒有综上所述，在区间上恒有椭圆X型：；Y型： 双曲线X型： ； Y型： 抛物线； ； 注意：1牢记九种基本函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键2理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解二、图象的初等变换A、平移变换1要作出函数的图象，只需将函数的图象向左或向右平移个单位即可2要

3、作出函数的图象，只需将函数的图象向上或向下平移个单位即可例1的图象可由的图象经过如何变换得到？误解：将的图象往右平移个单位可得到的图象点评：该种解法是学生中最常见的一种错误解法，造成这个错误的主因还是对变换规则理解不透，规则中强调的是将换成而必须将中的换成才会得到，故应是将的图象往右平移个单位可得到的图象B、局部对称变换3要作函数的图象，只需将函数在轴左侧的图象擦掉，再将在轴右侧的图象作关于轴对称，并保留在轴右边部分即可得到4要作函数的图象，只需将函数的图象轴下方的部分沿着轴对折到轴上方，去掉原轴下方部分，并保留的轴上方部分即可得到点评：区别这两种变换的一种方法为偶函数，故其图象关于轴对称；的

4、函数值非负，故在下方无图象作函数与的图象亦可用零点分区间法将其化为分段函数形式再进行作图如：并不是所有含绝对值的函数图象均可用这两种变换作出，如：，此时只能将其化为分段函数：，再作出其图象C、整体对称变换5要作的图象，只需将函数的图象以轴为对折线进行翻转即可得到6要作函数的图象，只需将函数的图象以轴为对折线进行翻转即可得到7要作函数的图象，只需将函数的图象作关于原点对称即可得到8要作函数的图象，只需将函数的图象作关于直线对称即可得到点评：与比较：若值一样，则值相反，故与的图象关于轴对称其它同理可知D、伸缩变换9要作函数的图象，只需将函数图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的（纵坐标不变）即可（

5、若，还得同时进行关于轴的翻转变换）10要作函数的图象，只需将函数图象上所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的倍（横坐标不变）即可（若，还要再进行关于轴的翻转变换）点评：伸缩变换叙述时一定要注意用辞，注意“缩短”与“缩短为”的区别E、按向量平移11若将函数按向量平移，则可依据向量图象将平移转化为：先向左（）或向右（）平移个单位，再向上（）再向下（）平移个单位如按向量平移可转化为先向右平移2个单位，再向上平移1个单位热身训练1函数的图象按平移后得到的图象的函数解析式为 （答案：）解析：即向左平移1个单位，再先向下平移2个单位2利用函数图象变换，快速作出下列函数图象例2利用函数图象变换，快速作出下列函数图象步骤处，可能会出现与例1类似的错误：由变为解：法一：法二：法三：课后练习法一：法二：法一：法二：法三： 法一：法二：解： 【课堂小结】1要牢记九种基本函数与圆锥曲线图象，这是快速作图的基础；2通过图象变换可以解决大部分的函数图象，但还有一些函数（如高次函数、较复杂的复合函