数学物理方法(1)--数学物理方法课程期中考试试卷及答案题解1

1、«数学物理方法期中考试试卷姓名： 学号： 一选择题（每题3分，共30分）1关于复数辐角的运算，下述等式中正确的是（）。(a) argz2=2argz (b) argz2=2argz(c) arg(ziz2)=argzi+argz2 (d) arg(ziz2)=argz广argz:2 若/(：)=x2+/r,则/u)()。 (a)在全平面上解析(b)仅在直线x = y上可导(c)仅在直线x = -y上可导(d仅在0. 0)点可导3设函数7u）在复连通区域g内解析，c为g内的分段光滑曲线，端点为a和b,则积分（ ）o（a）与积分路径无关，但与端点坐标有关（b）与积分路径有关，但与端点坐标

2、无关（c）与积分路径及端点坐标均无关（d）与积分路径及锥点坐标均有关4 s级数的收敛半径r及和函数为（厕u 占，及=1=15 7=1是函数61的（a本性奇点（b） 阶极点（c）可去奇点d）二阶极点“冰是/）。 （a） 一阶极点（b本性奇点（c）解析点（d）非孤立奇点7若函数加）在，a点解析，/= /'（a） = - = /（”= 0，/;t0.则函数/(=)/(-)在点的留数为()。(a) 1 - n (b)w1(c)-w(d) ti8r（r）r（l-r） = 的成立区域为（）o sm/r 二（a>全平面印>带形区域0<rez<l（c）右半平面rez>0（

3、d）左半平面rez<l9对数函数ln（l+z）是多值函数，其原因是（）。（a）argz的多值性（b）arg （1+z）的多值性（c>z的数值不确定（d）l+z的数值不确定i10 设 w=#r2-l，并规定则 u=()0(a) -3/ (b) ifii (c) v3 (d) 二已知解析函数/u）在正实轴上的数值为纯虚数.且虚部v（.v,y） = -t-t,试求如0（14分）三试将函数/u）=（卜丄_3）以z = 2为中心在全平面展开为泰勒级数或罗朗 级数。（16分）四证明颞（20分）1试证明小圆弧引理：若例0在2 = «的无心邻域内连续，在小圆弧cr(z-a = re10d

4、ed02)上 (z-a)(p(z) = k 一致成立，贝ij liiu :(p(z)dz = ik(0: -)2设，z)在|r-6| < r内解析，则y(z)可在圆内任恵点z展开为泰勒级 c1数 /(-)=其中=-fw(b介=0，1，2。*.0k!五(20分)计算下列积分:(1)/rdx1 + cos" .vsin x，3 x(x2 + 4)dx数学物理方法期中考试试卷1参考答案 一选择颗(每题3分，共30分)1关于s数辐角的运算，下述等式中正确的是(d )。(a) argz:=2argz (b) argz2=2argz(c) arg(zz2)=argzi+argz2 (d)

5、arg(ziz2)=argzi+argz23 若/(z) = x2+/y2,则/(z)( b )o(a)在全平面上解析 b)仅在直线x = y上可导 (c仅在直线x = -y上可导(d仅在(0, 0)点可导3设函数/(z)在g连诵区域g内解析，c为g内的分段光滑曲线，端点为a和 b,则积分( a )o(a与积分路径无关.但与牌点坐标有关(b)与积分k径有关.但与端点坐标无关4幂级数的收敛半径r及和函数为（c ）。 1-1：1 (b),/? = l(c)r = i (d)r = l5 z=l是函数ei的（a ）（a>本性奇点（b） 阶极点（c）可去奇点 <以二阶极点 6艸是，士的（d

6、）e（a>阶极点本性奇点（c>解析点（d>非孤立奇点 7若函致/u）在z=a点解析，f（a） = fa） =严=0,戶）* 0，则函数(二)/(:)在z=a点的留数为(c )。(a) 1 - n (b) n1(c) - n (d) 118r（z）r（i-z）= -的成立区域为（b ）。2>m ji （a）全平面（b）带形区域0 < rez < 1（c>右半平面rez>0（d>左半平面rez<l9对数函数w=ln（l+z）是多值®数.其原因是（b ）。 （a）argz的多值性 （b）arg （1+z）的多值性（c） z的数值不

7、确定（d） 1 + z的数值不确定10 设w=jz2-l » 并规定、鋤=*，则 u<2> = （a ）。（a） -3/ （b） i/ii （c） v3 （d） -i/3二已知解析函数在正实轴上的数值为纯虚数，且虚部、.(x，y)= r'了,试 x + v求如o (14分)解:设z平面正实轴上的点为z=«0(flo>o), /(no) = o。为便于积分，将直角坐标系下的柯西-黎曼条件转换为及坐标系下柯西-黎曼条件，即=r一二0 lt且由已知条件，瓜)的虚部为v = 。由此得到，/， m 1 q，lzsin0du = rfr + do =dr-r

8、do= dtr 0 r 0>r上式两边积分，有则上式中的常数c为c，-士)。故所求解析函数为如="竽佛。士 :右广点+咏-念)三试将函数/(z)= 以z = 2为中心在全平面展开为泰勒级数或罗朗 (z-4)(z-3)级数。(16分)解：函数/的奇点为z = 3、z = 4、z=oo，它们均为一阶极点。由展开中心和奇点，可得到展开区域为k-2|<i、1<1二-2|<2、2<|r-2|<。将函数化为部分分式，即/(z) =5于是.得到函数在三个展开区域的级数展开分别为(3) 2<|:-2卜口 :(r-2)l-2/(z-2)_(r-2)l-l/(:

9、-2)四证明题（20分）试证明小弧引理：若例u在z = «的无心邻域内连续，在小圆弧cr(z-a = wi 口lta(z-amz) = ar 致成立，则 lim (p(z)dz = ik(0: -0)证明:因为(z-a)(p(z) = k t所以，对于任恵的5>0,有 (z-a)q>(z)-k<s而q 么=叭-'、|(z)rfz|zr(z)|,因此，可得到(z-a)(p(z)dz-k-:max(z-a )(p(z)dz-a-|dzz-t<e(62-6)由于s可以任意地小，为常量，所以(02-0)为无穷小量，即有lim一(p(z)dz = ik(6. -

10、d) r: 02设/(z)在-6 </?内解析，则/可在圆内任恵点z展开为泰勒级|数/(:) = (:一6)*，其中=/w(*)，ar = 0，l，2 .。 *-ok证明：以6为圆心、p为半径作一圆周g,则/(z)在g内解析。柯西公式为 =g上的点，z为的点)因为-b>z-bt所以有1 _ 1 _ _117=(-z>)-(z-b)=l-(z-fe)/(-b)=q (:_fr)*将上式代入柯西公式，得到離靜呼由高阶导数公式，有/(:) =b)k =心:- b，五(20分)计算下列积分:解'= 则上式变为1a 1 dz !呢3 + (: + :-1)/2三其中的被积函数有两个一阶极点=l>2 =-3c2v2，只有=-3+2 在闭 合回路r =1之内。由留数定理，得到i - im 务 lim ；a= in limx:(:2 + 6: + 1)t :2: + 6解：将被积函数化为于是