微分几何空间曲线课件

1、微分几何空间曲线 3、1 空间曲线的密切平面空间曲线的密切平面1、定义、定义 过空间曲线上 P 点的切线和 P 点邻近一点 Q 可作一平面 ，当 Q 点沿曲线趋于 P 时，平面 的极限位置 称为曲线在 P 点的密切平面。第三节第三节 空空 间间 曲曲 线线O)(0tP)(0ttQ)(0trR 对于 类的曲线上任一正常点处的密切平面是最贴近于曲线的切平面。2c微分几何空间曲线 2、密切平面的方程、密切平面的方程 给出 类的曲线（C）： 有因为向量 和 都在平面 上，所以它们的 线性组合 也在平面 上。两边取极限得 在极限平面上，即 P 点的密切平面上，因此只要 这个向量就可以作为密切平面的一个法

2、向量。密切平面方程为 2C)(trr2021000)()()()(ttrttrtrttrPQ )(0trPQ )()(0022trttrPQt)(0tr 0)()( trtr0)(),(),(000 trtrtrRO)(0tP)(0ttQ)(0trR微分几何空间曲线用 表示 P 点的密切平面上任一点的向径， 则上式表示为如果曲线用自然参数 s 表示，则将上式中的撇改成点。 ,ZYXR 0)()()()()()()()()(000000000 tztytxtztytxtzZtyYtxXP例题 求园柱螺线上任一点的密切平面。平面曲线的密切平面就是曲线所在的平面。微分几何空间曲线1、给出 类曲线 得

3、一单位向量 ，称为曲线（C）上 P 点的单位切向量单位切向量。 （ 注意到 ） 称 为曲线在 P 点的主法向量主法向量,它垂直于单位切向量。称 为曲线在 P 点的付法向量付法向量。把两两正交的单位向量 称为曲线在 P 点的伏雷内（Frenet)标架。 2C)(srrdsrdrrr 1, 3、2 空间曲线的基本三棱形空间曲线的基本三棱形微分几何空间曲线2、由任意两个基本向量所确定的平面分别叫做密切平面、法平面、从切平面。而由三个基本向量和上面三个平面所构成的图形叫做曲线的基本三棱形。),(trr3、对于曲线（C）的一般参数表示 有rrrrrrrrrrrrrrr )()(,4、例题例题 P34微分

4、几何空间曲线3、3 空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式空间曲线的曲率，挠率和伏雷内公式2、曲率的几何意义曲率的几何意义是曲线的切向量对于弧长的旋转速度。曲率越大，曲线的弯曲程度就越大，因此它反映了曲线的弯曲程度。 设空间曲线（C）为 的，且以 s 为参数。 1、曲率曲率 定义（C）在 P 为的曲率为 有 （一个单位向量微商的模等于它对于变量的旋转速度）3Cssks0lim)()(s)(ss)(skP1P微分几何空间曲线3、挠率挠率 与曲率类似有 ss0lim)(ss )(ss)(s)(skrr )()(,)(sksk./) 1.(, 定义定义 曲线（C）在 P 点的挠率为挠率的绝对值是曲线的付法

5、向量对于弧长的旋转速度。)(s,异向和当.,同向和当微分几何空间曲线 4、由定义可得 又 于是有 这个公式称为空间曲线的伏雷内（伏雷内（Frenet)公式公式。它的系 数组成一反称方阵)(s)()()()()(ssksks)(s)()(ssk)(sk0)(0)(0)(0)(0sssksk微分几何空间曲线5、曲率和挠率的一般参数表示式、曲率和挠率的一般参数表示式给出 类的曲线（C）：所以因此由此得到曲率的一般参数的表示式3C.,)(rdtdsdtdsrdtdsdsrdrtrr,)(22222222dtsdrdtdsrdtsdrdtdsdsrddtsdrdtdsrr ,3222 dtdsrrdts

6、drdtdsrdtdsrrr ), 1(sin33rrrrkdtdsrrrr 3rrrk 微分几何空间曲线 由0262)(),(),(1)1)(1()1)1()1()1()(rrrrrrrrrrrrr 可得挠率公式为2)(),(rrrrr 微分几何空间曲线PCk16、密切园（曲率园）密切园（曲率园） 过曲线（C）上一点 P 的主法线的正侧取线段 PC，使 PC 的长为1/k。以C 为园心，以1/k为半径在密切平面上确定一个园，这个园称为曲线在 P 点的密切园或曲率园，园的中心叫曲率中心，园的半径叫曲率半径。微分几何空间曲线 7、几个例题几个例题例1 园柱螺线的曲率和挠率都是常数。例2 曲率恒为

7、零的曲线是直线。例3 挠率恒为零的曲线是平面曲线。例4 求曲率为 4 ，挠 率为 5 的曲线方程。.16425,4145,42222bababbaa,sin,cosbaar 16425,sin414,cos414r解解 由题意，可设曲线为园柱螺线 因此得所求园柱螺线为微分几何空间曲线3、4 空间曲线在邻近一点的结构空间曲线在邻近一点的结构O)(0sr)(0ssr给定 类曲线 及其上一点 有3C)(srr)(0sr)()(00srssr300000206120021030! 3120!210)()()()()()(sssssrssrssr 300061200210)()(sss 取 为新坐标系，

8、并取 为计算弧长的始点， 则有 。设 为曲线上点 的邻近点的新坐标，则有)(0sr,);(0000srsss , 00)(0sr,300612021sss微分几何空间曲线近似曲线在三个平面上的投影分别为；，半立方抛物线即在法平面上的投影为3020292, 0；物线在从切平面上为立方抛,61, 0300。在密切平面上为抛物线,21, 020 通过画出以上三个投影的立体图形就可以看出空间曲线在一点邻近的近似形状：1、曲线穿过法平面与密切平面，但不穿过从切平面。2、主法向量总是指向曲线凹入的方向，这是主法向量正向的几何意义。3、挠率的符号对曲线的影响见表。微分几何空间曲线微分几何空间曲线3、5 空间

9、曲线论的基本定理空间曲线论的基本定理 曲线上每一点都有确定的曲率和挠率，它们与参数有关，但与刚体运动和坐标变换无关。我们把 称为空间曲线的自然方程。)(),(sskk空间曲线论基本定理空间曲线论基本定理)(),(ssk, 0)(s)(s)(s)(s 给出闭区间s0,s1上的两个连续函数 ,则除了空间的位置差别外，唯一存在一条空间曲线，使得参数 s 是曲线的自然参数，并且 和 分别为曲线的曲率和挠率，即曲线的自然方程为微分几何空间曲线3、6 一般螺线 1、定义：切线和固定方向作固定角的曲线称为一般螺线。 2、性质： （1）主法线与一个固定方向垂直。 （2）、副法线与一个固定方向作固定角。 证明：设 是固定方向上的一个单位向量。它与切向量作固 定角 ，有 微商 pcos p000pppp微分几何空间曲线 （3）曲率与挠率之比为一个常数。)(tan0sincos0)(00常数ppp 可以证明，上面的结论也