2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）（解析版）

1、2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将答案填涂在答题卡上!）1设集合A=2，5，集合B=1，2，集合C=1，2，5，7，则（AB）C为（）A 1，2，5B 1，2，5C 2，5，7D 7，2，52设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件3不等式的解集是（）A B C D 4设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A 4B 11C 12D 145函数f（

2、x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）A 0B 1C 2D 36已知函数f（x）=sin（2x），若存在a（0，），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A B C D 7函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A B C D 8已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（）A （1，10）B （5，6）C （10，15）D （20，24）二填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在答题纸上!）9已知向量=（2，5），=（，y），且（+2），则y的值为10设向量，其中0，若

3、，则=11已知，其中，则cos=12已知正数ab满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是13若函数f（x）（xR）是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=14有下列四个命题：（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题（3）“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题的是三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分，19至20小题每题14分，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知p：方程x2+mx+1=0有两个不

4、等的负实根，q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根若“p或q”为真，“p且q”为假求实数m的取值范围16已知，（）求tanx的值；（）求的值17解关于x的不等式0（aR）18设xR，函数f（x）=cos（x+）（0，）的最小正周期为，（）求和的值；（）在给定坐标系中作出函数f（x）在0，上的图象；（）若的取值范围19已知向量=（sinx，1），=（cosx，），函数f（x）=（）2（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和ABC的面积S20已知f（x）是定义在1，1上的奇函数，f（1）=

5、1，且若a、b1，1，a+b0，恒有0，（1）证明：函数f（x）在1，1上是增函数；（2）解不等式；（3）若对x1，1及a1，1，不等式f（x）m22am+1恒成立，求实数m的取值范围2014-2015学年天津市南开中学高三（下）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将答案填涂在答题卡上!）1设集合A=2，5，集合B=1，2，集合C=1，2，5，7，则（AB）C为（）A 1，2，5B 1，2，5C 2，5，7D 7，2，5考点：交集及其运算；并集及其运算专题：计算题分析：由A与B求出两集

6、合的并集，找出并集与C的交集即可解答：解：集合A=2，5，集合B=1，2，AB=1，2，5，C=1，2，5，7，（AB）C=1，2，5故选A点评：此题考查了交集及其运算，以及并集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键2设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（）A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：本题考查的判断充要条件的方法，我们可以根据充要条件的定义进行判断，此题的关键是对不等式性质的理解解答：解：因为a，b都是实数，由ab，不一定有a2b2，如23，但（2）2（3）2，所以“ab”

7、是“a2b2”的不充分条件；反之，由a2b2也不一定得ab，如（3）2（2）2，但32，所以“ab”是“a2b2”的不必要条件故选D点评：判断充要条件的方法是：若pq为真命题且qp为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；若pq为假命题且qp为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；若pq为真命题且qp为真命题，则命题p是命题q的充要条件；若pq为假命题且qp为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系涉及不等式平方大小的比较问题，举反例不失为一种有效的方法3不等式的解集是（）A B C D

8、 考点：其他不等式的解法分析：本题为选择题，可考虑用排除法，也可直接求解解答：解：本小题主要考查分式不等式的解法易知x1排除B；由x=0符合可排除C；由x=3排除A，故选D也可用分式不等式的解法，将2移到左边直接求解故选D点评：本题考查分式不等式的解法，注意分母不为0，属基本题4设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=4x+y的最大值为（）A 4B 11C 12D 14考点：简单线性规划的应用专题：计算题；数形结合分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=4x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可解答：解：易判断公共区域为三角形区域，如图所示：三

9、个顶点坐标为（0，1）、（2，3）、（1，0），将（2，3）代入z=4x+y得到最大值为11故选B点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题5函数f（x）=|x2|lnx在定义域内零点的个数为（）A 0B 1C 2D 3考点：函数的零点；对数函数的单调性与特殊点专题：函数的性质及应用分析：先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x2|，y2=lnx（x0）的图象求出方程的根的个数，即为函数零点的个数解答：解：由题意，函数f（x）的定义域为（0，+）；由函数零点的定义，f（x）在（0，+）内的零点即是方程|x2|lnx=0的根令y1

10、=|x2|，y2=lnx（x0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选C点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数6已知函数f（x）=sin（2x），若存在a（0，），使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立，则a=（）A B C D 考点：三角函数的周期性及其求法；函数恒成立问题专题：计算题分析：首先求出f（x+a）和f（x+3a），然后根据正弦的周期性求出a的值解答：解：f（x+a）=sin（2x+2a）f（x+3a）=sin（2x+6a）因为f（x+a）=f（x+3a），

11、且a（0，）所以2x+2a+2=2x+6aa=即存在a=使得f（x+a）=f（x+3a）恒成立故选D点评：本题考查了三角函数的周期性，要注意a（0，）的范围，属于基础题7函数f（x）=2sin（x+）（0，）的部分图象如图所示，则，的值分别是（）A B C D 考点：y=Asin（x+）中参数的物理意义专题：三角函数的图像与性质分析：根据函数在同一周期内的最大值、最小值对应的x值，求出函数的周期T=，解得=2由函数当x=时取得最大值2，得到+=+k（kZ），取k=0得到=由此即可得到本题的答案解答：解：在同一周期内，函数在x=时取得最大值，x=时取得最小值，函数的周期T满足=，由此可得T=，解

12、得=2，得函数表达式为f（x）=2sin（2x+）又当x=时取得最大值2，2sin（2+）=2，可得+=+2k（kZ），取k=0，得=故选：A点评：本题给出y=Asin（x+）的部分图象，求函数的表达式着重考查了三角函数的图象与性质、函数y=Asin（x+）的图象变换等知识，属于基础题8已知函数f（x）=，若a、b、c均不相等且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围为（）A （1，10）B （5，6）C （10，15）D （20，24）考点：函数的零点与方程根的关系专题：计算题；作图题；数形结合分析：画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨abc，求出abc的范围即可解

13、答：解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设abc，则 ab=1，则abc=c（10，15）故选C点评：此题是中档题本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力二填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在答题纸上!）9已知向量=（2，5），=（，y），且（+2），则y的值为3考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：平面向量及应用分析：由题意可得=29+2（+5y）=0，解此方程求得 y的值解答：解：由题意可得=+2=29+2（+5y）=0，解得 y=3，故答案为3点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于中档

14、题10设向量，其中0，若，则=考点：向量的模分析：利用向量模的坐标公式求出两个向量的模，利用向量的数量积公式求出；利用向量模的平方等于向量的平方列出方程求出，求出两个角的差解答：解：，=cos（）即cos（）=0；又有0，故答案为点评：本题考查向量模的坐标公式、向量的数量积公式、向量模的平方等于向量的平方11已知，其中，则cos=考点：两角和与差的正弦函数专题：三角函数的求值分析：由的范围求得的范围，由平方关系结合已知求得，再由cos=cos（）展开两角差的余弦得答案解答：解：，又，则cos=cos（）=cos（）cos+sin（）sin=故答案为：点评：本题考查已知角的三角函数值求未知角的三

15、角函数值，考查了两角和与差的三角函数，关键是“拆角与配角”思想的应用，是中档题12已知正数ab满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a，b）是（5，10）考点：基本不等式在最值问题中的应用专题：不等式的解法及应用分析：利用“1”的代换，结合基本不等式，即可求得结论、解答：解：正数ab满足4a+b=30，=（4a+b）（）=（5+）=0.3，当且仅当，即a=5，b=10时，取最小值0.3实数对（a，b）是（5，10）故答案为：（5，10）点评：本题考查基本不等式的运用，考查“1”的代换，考查学生的计算能力，正确运用“1”的代换是关键13若函数f（x）（xR）是周期为4的奇函数，且在0，2

16、上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=考点：函数的值专题：函数的性质及应用分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可解答：解：函数f（x）（xR）是周期为4的奇函数，且在0，2上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8）+f（8）=f（）+f（）=f（）f（）=故答案为：点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力14有下列四个命题：（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题；（2）“全等三角形的面积相等”的否命题（3）“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题；（4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题其中真命题的是

17、考点：命题的真假判断与应用专题：阅读型分析：可写出各选项的命题内容，再去判断真假解答：解：（1）“若X+Y=0，则X，Y互为相反数”的逆命题是“若X，Y互为相反数，则X+Y=0”为真命题 （2）“全等三角形的面积相等”的否命题是“不全等三角形的面积不相等”是假命题（3）“若q1，则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题是“若x2+2x+q=0没有实根，则q1”=44q0，q1 所以为真命题 （4）“不等边的三角形的三个内角相等”的逆命题是“三个内角相等的三角形是不等边的三角形”是假命题故答案为：点评：本题主要考查四种命题及命题的真假属于基础题三、解答题：（本答题共6小题，15至18小题每题13分

18、，19至20小题每题14分，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15已知p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负实根，q：方程4x2+4（m2）x+1=0无实根若“p或q”为真，“p且q”为假求实数m的取值范围考点：复合命题的真假；一元二次方程的根的分布与系数的关系专题：分类讨论分析：根据题意，首先求得p、q为真时m的取值范围，再由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，分p假q真与p真q假两种情况分别讨论，最后综合可得答案解答：解：由题意p，q中有且仅有一为真，一为假，若p为真，则其等价于，解可得，m2；若q为真，则其等价于0，即可得1m3，若p假q真，则，解可得1m2；若p真q假，

19、则，解可得m3；综上所述：m（1，23，+）点评：本题考查命题复合真假的判断与运用，难点在于正确分析题意，转化为集合间的包含关系，综合可得答案16已知，（）求tanx的值；（）求的值考点：同角三角函数基本关系的运用；二倍角的正切分析：（1）由可直接求出tan，再由二倍角公式可得tanx的值（2）先对所求式子进行化简，再同时除以cosx得到关于tanx的关系式得到答案解答：解：（1）由，（2）原式=，由（1）知cosxsinx0，所以上式=cotx+1=点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系这里二倍角公式是考查的重要对象17解关于x的不等式0（aR）考点：其他不等式的解法专题：不等式的解法及应

20、用分析：不等式即 0，分a1、a=1、1a2、a=2、a2这5种情况，分别求得它的解集解答：解：关于x的不等式0，即 0，当a1时，原不等式解集为（，a）（1，2）；当a=1时，原不等式解集为（，1）（1，2）；当1a2时，原不等式解集为（，1）（a，2）；当a=2时，原不等式解集为（，1）；当a2时，原不等式解集为（，1）（2，a）点评：本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化和分类讨论的数学思想，属于基础题18设xR，函数f（x）=cos（x+）（0，）的最小正周期为，（）求和的值；（）在给定坐标系中作出函数f（x）在0，上的图象；（）若的取值范围考点：由y=Asin（x+）的部分图象

21、确定其解析式；余弦函数的图象；余弦函数的单调性分析：（I）由周期求，由特殊点求；（II）明确函数f（x），借用五点法，先列表，再画图；（III）利用余弦函数的单调性解之即可解答：解：（I）周期，=2，且，（II）知，则列表如下：图象如图：（III），解得，x的范围是点评：本题考查三角函数中、的确定方法、五点法作图及三角函数的单调性19已知向量=（sinx，1），=（cosx，），函数f（x）=（）2（1）求函数f（x）的最小正周期T；（2）已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）=1，求A，b和ABC的面积S考点：解三角形；平面向量数量积的运算；三角函数的周期性及其求法专题：计算题分析：（）利用向量数量积的坐标表示可得，结合辅助角公式可得f（x）=sin（2x），利用周期公式可求；（）由结合可得，由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，从而有，即b24b+4=0，解方程可得b，代入三角形面积公式可求解答：解：（）=（2分）=（4分）因为=2，所以（6分）（）因为，所以，（8分）则a2=b2+c22bccosA，所以，即b24b+4=0则b=2（10分）从而（12分）点评：本题主要考查了向量的数量积的坐标表示，辅助角公式的应用，三角函数的周期公式的应用，由三角函数值求角，及三角形的面积公