相似三角形中的辅助线专题-教师版

1、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找 到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点D和E,且使AD =AE , DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BF BDCF CE例2.如图，ZXABC中，AB<AC ,在AB、AC上分别截取BD=CE, DE, BC的 延长线相交于点F,证明：AB DF=AC EF。B二、作垂线3.如图从" ABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证

2、：AB AE AD AF AC2。三、作延长线例5.如图，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD的平分线CHXAB于点H, BH=3AH ,且四边形AHCD的面积为21,求 HBC的面积。例6.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC于F, FG AB于G,求证：FG2=CF?BF四、作中线例 7 如图，ABC 中，AB，AC,AE，BC于 E,D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1 , 求AC。AE M五、综合练习题1、在 ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上白一点，BE=AD , DE 交AB于F。求证：EFXBC=ACXDF2

3、、 ABC 中， ACB 90 , AC=BC , P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点（不是 中点），MN 过 Q且 MN，CP,交 AC、BC 于 M、N,求证：PA: PB CM : CN。p3、 . |如图,一ABC 中，ABAC, BD AC,那么 BC22CA CD吗？试说明 理由？（用三种解法）A相似三角形中的辅助线（教师版）在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找 到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、作平行线例1.如图， ABC|的AB边和AC边上各取一点D和E,且使A

4、D =AE , DE延长线与BC延长线相交于F,求证:BF BDCF CE例2图例3图证明：过点C作CG/FD交AB于G小结：本题关键在于AD=AE这个条件怎样使用例2.如图，ZXABC中，AB<AC ,在AB、AC上分别截取BD=CE, DE, BC的 延长线相交于点F,证明：AB - DF=AC EFo分析：证明等积式问题常常化为比例式，再通过相似三角形对应边成比例来证明。欲证AB DF AC EF,需证 烟 空，而这四条线段所在的两个三角形显然AC DF不相似，因而要通过两组三角形相似，运用中间比代换得到，为构造相似三角形， 需添加平行线。方法一：过E作EM/AB ,交BC于点M,

5、则EMCsABC （两角对应相 等，两三角形相似）EM EC 口门一 一即 EM AC AB EC,AB ACAB EMAC EC同理可得 EMF DBFEF EM ，DF BD又 BD EC,EM EMEC BDEM为中间比），BDAB EF ,AC DFAB DF AC EF方法二：如图，过D作DNEC交BC于N,则有， BDN BAC,BD DN,即BD AC AB DN （比例的基本性质）AB ACABBDACDN同理 ECF DNF ,ECEF 田f,而 BDEC （已知）DNDFBD生（里为中间比），DNDNDNAB EF一, AB DF AC EFAC DF二、作垂线3.如图从

6、OABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线CE和CF,垂足分别为E、F,求证:_ 2AB AE AD AF AC 。证明：过B作BM ±AC于M ,过D作DN ±AC于N ABM s aceAM ABAE ACADNs ACF AB AE AC AM （1）(1)AN 处 AD AF AC ANAFAC+ (2)AB AE AD AF AC AMAC ANAC(AM AN)ADNBCMAN=CMAB AE AD AF AC (AM CM )AC2三、作延长线CH，AB 于点 H,例5.如图，在梯形 ABCD中，AD / BC,若/ BCD的平分线 BH=3AH ,且四边形A

7、HCD的面积为21,求 HBC的面积。分析：因为问题涉及四边形AHCD,所以可构造相似三角形。 相似三角形的面积比而加以解决。解：延长BA、CD交于点P,. CHXAB, CD 平分 / BCDBH=PH.CB=CP,且, BH=3AH. PA: AB=1 :. PA: PB=1:, AD / BC PADAPBC-SA PAD : SAPBC 1 : 9, SAPCH_ SAPBC2SA PADS 四边形 AHCD2 : 7, S四边形AHCD 21-SA PAD6SAPBC541SAHBC2 SPBC 27例6.如图，Rt ABC中，CD为斜边AB上的高，E为CD的中点，AE的延长 线交

8、BC 于 F, FG AB 于 G,求证：FG2=CF?BF解析：欲证式即£G CF 由“三点定形”，ABFG BF FG显然不可能。（因为A BFG为RtA）,但由E为CD的中点，可设法构造一个与A BFG相似的三角形来求解。不妨延长GF与AC的延长线交于H ,则"ZG里 ZG里AE ED EC ED EC又 ED=EC .,.FG=FH又易证CFFG FG RtACFHsRtAGFBFHBFFH=CF - BF.FG=FH . FG2=CF BF四、作中线 例7如图， 求AC。解：取BC的中点M,连AMAB，AC AM=CM /1 = /C BD=DCDBC DCBMA

9、Cs DBC1 C DBCMCDCAC 又 DC=1ACBCMC BCMC= - BC2DCRt AEC s Rt1BC2 2BAC(1)v EC=1AC2 CE BC BC (2)ABC 中，AB，AC,AE，B E,D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1 ,1由（1） （2）得，AC AC ； AC 3/22小结：利用等腰三角形有公共底角，则这两个三角形相似，取 BC中点M,构造MAC与 DBC相似是解题关键五、综合练习题1、在 ABC中，D为AC上的一点，E为CB延长线上白一点，BE=AD , DE 交AB于F。求证：EFXBC=ACXDFk题一图题二图2、 ABC 中， ACB

10、90 , AC=BC , P 是 AB 上一点，Q 是 PC 上一点（不是 中点），MN 过 Q且 MN，CP,交 AC、BC 于 M、N,求证：PA: PB CM : CN。3、 . |如图， ABC中，AB AC, BD AC,那么BC2 2CA CD吗？试说明|理由？（用三种解法）1、过D作DG/BC交AB于G,则 DFG和 EFB相似,DGBEDFEF,.BE=AD,/. DG 更 由DG/BC可得4ADG 和 ACB相似, AD EFDG ADBC ACDG BCAD AC由得，DFEFBCAC .EFXBC = ACXDF2、过 P作 PEL AC 于 E, PFCB 于 F,贝

11、U CEPF 为矩形PF/ECA B 45PA PE PB PFPEECRt AEPs Rt PFB； AP: PB PE: PF(1) 在 ECP和 CNM 中：CP±MN 于 QEC=PFQCN QNC 90 又 QCN QCM 90MCQ CNQRt PECsRt MCN-EP- -ECgp EP CMCM CN EC CNPA CMPB cN3、方法一：如图(1),设BC中点为E,连接AE。(2)由(1) (2)得AB ACAE BC AEC BDC 90BE CEBDC AECC CBC CDAC- CEBC CE AC CDBC 2 2CA CD1CE BC2方法二：如图（2）,在DA上截取DE=DC。在 BED与 BCD中,BD CE BDE BDC 90DE DCBD BDBE