机械优化设计题库

1、、绪论1. 思考题1. 何为约束优化设计问题 ?什么是无约束优化设计问题 ?试各举一例说明。机械优化设 计问题多属哪一类？2. 一般优化问题的数学模型包括哪些部分 ?写出一般形式的数学模型。3. 机械优化设计的过程是怎样的 ?它与常规的机械设计有什么不同 ?4. 怎样判断所求得的最优解是不是全局最优解？5. 试简述优化算法的迭代过程。6.何为可行域？为什么说当存在等式约束则可行域将大为缩小?当优化问题中有个 等式约束时可行域是什么 ?当优化问题中有两个等式约束时可行域是什么 ?当 n 维优化问题 中有 n 个等式约束时可行域是什么？7. 什么是内点、什么是外点 ?在优化设计中内点和外点都可以作

2、为设计方案吗 ?为什么 ?8. 试写出第一节中第三个问题的数学模型。9. 目标函数及其等值线（等值面）的意义和特性是什么？2. 习题1.设计一容积为 V 的平底、无盖圆柱形容器，要求消耗原材料最少，试建立其优化设 计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。2. 当一个矩形无盖油箱的外部总面积限定为 S 时，怎样设计可使油箱的容量最大？试 列出这个优化问题的数学模型，并回答：属于几维的优化问题？是线性规划还是非线性规划？3. 欲造容积为 V 的长方形无盖水箱，问应如何选定其长、宽、高尺寸，才能使用料消 耗最少？试写出其数学模型。4. 试求直径为 D 的圆内所有内接三角形面积中的最大值。5. 在曲面

3、 f1(X1, X2, X3)=0 上找一点 Pi,在曲面 f2(Xi,X2, X3)=0 上找一点 R,使得 Pi与 F2的距离为最短，试建立优化问题的数学模型。6. 有一薄铁皮，宽 b=14cm 长 L=24cm 制成如图 2-9 所示的梯形槽，求边长 X 和倾斜 角 a 为多大时， 槽的容积最大？试写出此问题的优化设计模型并指出该问题属于哪一类的 优化设计问题。7. 欲制批如图 2-12 所示的包装纸箱， 其顶和底由四边延伸的折纸板组成。 要求纸箱 的容积为 2m，问如何确定 a b 和 c 的尺寸，使所用的纸板最省。试写出该优化问题的数 学模型。8. 一根长 l 的铅丝截成两段，一段弯

4、成圆圈，另一段弯折成方形。问应以怎样的比例 截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化问题的数学模型。9. 某厂生产AB 两种产品：A 每桶需用煤 90kN 电 4 度、劳动日 3 个,获利润 700 元;B 每桶需用煤 40kN、电 5 度、劳动日 10 个，获利润 1200 元。但计划规定可用煤 3600kN 电 200 度、劳动日 300 个，试问AB 各生产多少桶时利润最大？列出其教学模型，并说明 属于何种数学规划问题 ?10. 某厂生产两种机器， 两种产品生产每台所需钢材分别为 2 吨和 3 吨，所需工时数分 别为 4 千小时和 8 千小时，而产值分别为 4 万元和 6

5、 万元。如果每月工厂能获得的原材料 为 100吨，总工时数为 120 千小时。现应如何安排两种机器的月产台数，才能使月产值最 高。试写出这一优化问题的数学模型。11. 要将 10 米长的钢管截成 3 米和 4 米长的各 100 根，要求设计出用料最省的下料方 法。试写出其数学模型。12. 设计一个二级展开式渐开线标准直齿圆柱齿轮减速器，已知总传动比 i = 20,高速级齿轮模数 m,2=2.5mm 低速级齿轮模数 m,4=3mm 要求减速器高速轴与低速轴间中心距a最小，试建立其优化设计的数学模型，并指出属于哪一类优化问题。13. 设计一个展开式二级圆柱齿轮减速器，要求其高、低速轴间的中心距最小

6、。已知总 传动比 i=iiX i2=4,齿轮齿数 zi=Z3,模数均为 2.5mm 试建立其数学模型， 并说明属于何 种数学规划问题。14. 自行提出一个数学规划问题，并建立其数学模型。15.如图 2-13 所示，已知跨距为 I、截面为矩形的简支架，其材料密度为P，许用弯 曲应力为Cw，允许挠度为f，在梁的中点作用一集中载荷 P,梁的截面宽度 b 不得小于 bmin,现要求设计此梁，使其质量最轻.试写出其优化设计数学模型。16.矩形截面简支梁，在跨距 I 的全部长度内受到均布载荷 q,其材料密度为 P，许用弯曲应力为Cm。要求梁的宽度不小于bmin,最大挠度不大于S 。试写出此梁重量最轻优化设

7、计的数学模型。17.有一圆形等截面的销轴，一端固定在机架上，另一端作用着集中载荷P 和扭矩 M 其简化模型如图 2-14 所示。由于结构的需要，轴的长度 I 不得小于 Imin。已知销轴材料的 许用弯曲应力Cw和许用扭剪应力T ，允许挠度为f；设计材料的密度为 P 和弹性模 量为 E。现要求设计这根销轴，在满足使用要求下使其质量为最轻，试写出其优化设计数学模型。19.三杆悬挂结构(图 1-5)的材料已经选定，其比重为 P，弹性模量为 E,许用拉应力 为C 。此结构的设计载荷为 2P。试写出其重量最轻优化设计的数学模型。20. 平面桁架(图 I-6)由钢管组成，承受载荷 2P。钢管的壁厚为 t，

8、桁架的跨度为 2B。钢管的直径 d 和桁架高度 H 可以选择。桁架应满足强度和刚度的要求。试写出其重量最轻 优化设计的数学模型。21. 当某试验参数 a 为 1, 2，3, 4, 5 时，其对应结果 f(a)为 3, 5, 4, 2, 1。试用一 个二项式 P(a)=a2X1+ax2+X3,去逼近 f (a)，求 X1, X2, X3为多大时，使得当 a=2, 3, 4, 5 时各点误差平方和为最小，且要求 a=1 时，p(a)=f(a)。试写出该问题的优化设计数学模型。22. 己知两个物理量 x 和 y 之间的依赖关系为18. 试按质量最轻的原则选择平均半径R 和壁厚 t，设计图 2-25

9、所示的薄壁圆柱形容器，要求容积不小于 25.0m3，容器内压力P 为 3.5MPa,切向应力(Te不超过 210Mpa 应变量不超过 0.001 。要求：(1) 建立优化设计的数学模型； (2) 用图解法求出最优解。其中a1a5为待定参数。 为了确定这些参数的值， 对 X和y测得m个实验点： (X1, yj， (X2,y2)， ，(Xm,yd。试将确定参数的问题表示成最优化问题。23. 有一个初始的设计电路，内有 m 个可调整的电阻。如图 1-4 所示。要求的响应是电Vl=VDl,V2=VD2， . ，Vn=VDn，而实际的响应里每一个V=U(R,R,., Rn)， i =1n试建立优化的数学

10、模型。X2和 X3使电阻 R 的计算值与实测值的均方差最小。试建立其数学模型。26.已知一圆形截面悬臂梁，在其悬臂端作用一集中载荷P 和一扭矩 M 要求悬伸长度L=ab，截面直径 d=dodi。问在满足强度和刚度要求的条件下使所需材料最少，应如何建 立该优化设计问题的数学模型？并示出。27.试画出下列约束条件下，x=X1X2T的可行域:(1) g1(x)=X12+(X2-1)2-1 0g2(x)=( xi-1)2+X22-1 0 g1(x)=2x1+X2-6 0g2(x)=- Xi 0 g3(x)=- X2 0,使理论公式与实验数据的偏差平方和为最小。试写出这个问题的数学模型。25.热敏电阻

11、R=x1expX2t X3，今测得温度 t 与 R 的 15 组实验数据。要求确定参数 Xi、g3(x)=X1+X2-1 02 2g4(x)=X1+X2-16 0g2（x）=Xi-X2+3 0g3（x）=-X1-X2+8022（2） gi（x）=Xi+X2/2-3 0g2（x）=xi0 g3（x）= X20 h（x）=-Xi-X2+I6029. 已知约束条件为22g1（x）=-XI+X2-30g2（x）=- X1-X2+90试问X=2,-2T，人=3,3T,X3=-3,0T，X4=-1,1T等四点中有几个可行点？并写出可行点。30. 画出满足下列约束的可行域。gi（x）=48-3XI-2X20

12、 g2（x）=18-XI-X20 g3（x）=Xi 0 g4（x）=X2 031. 试将优化问题的目标函数等值线和约束边界曲线勾画出来，并回答下列问题：(a)X=1,1T是不是可行点？(b)X=5/2,1/2T是不是可行点？(c)可行域 D 是否为凸集，用阴影线描绘出可行域的范围。32. 已知某约束优化问题的数学模型为(1) 该问题是线性规划问题还是非线性规划问题？ 按一定比例画出目标函数 F(X)的值分别等于 1, 2, 3 时的三条等值钱，并在图上划出可行域。(3) 在图上确定无约束最优解和约束最优解。(4)若在该问题中又加入等式约束 h(X)=Xi-X2=0,其约束最优解 X*、F(X*

13、)又为多少？33.画出下列目标函数的等值线， 并指出函数值为正和负的区域； 它有没有极小值点？2 2 2 2 2 21)F(X1,X2)=X1X；2)F(X1,X2)=X1-X2；3)F(X1,X2)=X1+3X1X+4X2+634. 用图解法求解下列优化问题的最优点。21)minF(X) (X13)2(X2s.t. 2X1X20; X1,X23)202)minF(X) (X12)2(X2s.t. X12X24; X1,X22)2023)minF(X) (X13)2(X2s.t.X1/2X24; 3X1X215X1X21X1,X203)235.如图所示，设有一箱形盖板，已知长度 I =600c

14、m 宽度 b=60cm 侧板厚度 ts=0.5cm.翼板厚度为 tf(cm)，高度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q=10000N/cm 盖板的许用弯曲应力(T = 70MPa 许用剪切应力T =45MPa 单位长度允许挠度f0=0.0025mm,弹性模量E=7X 104MPa 泊松比 U =0.3 .要求在满足强度、刚度和稳定性等条件下,设计一个质量最小的结构方案。5-17 搪瓷厂要生产一种容积为 785cm 的圆柱形茶杯，试用拉格朗日乘子法设计茶杯的尺寸使所用的原材料最省。1. 设计一曲柄摇杆机构（见图 7-16），已知：杆 1 的长度 11=1，杆 4 的长度 14=5（均为相对长度

15、）。要求曲柄由 4。转到 4。十 90。时，摇杆的输出角实现如下给定的函数关免V y,十方（4 40），式中 4。和贝。分别为对应于摇杆在右极限位置时曲柄和摇杆的位置角.运动过程中的最小传动角不小于45。，即 7m , 7 = 45。试建立上述问题的数学模利，并选择优化方法，有条件的同学可2:= 4. 1286, z := 2. 3325)。2. 如图为一批量生产的压力容器， 其结构方案和有关尺寸已定。 内部气压为P=12.75MPa 容器内径 A=120mm 安装螺栓的中心圆直径 D=200mm 壁厚 E=H=20mm 用衬垫密封，为保证拆装时具有足够的扳手空间，螺栓间的周向间隔不应小于 径

16、），同时为保证螺栓间的密封压力均匀，不致有局部漏气，螺栓间的周向间距不应大于 10d。螺栓树料选用 35 号钢，长度为 50mm 型式为六角头半精制螺栓，其单价见下表:要求合理地选择紧固螺栓的直径 d 和螺栓的数量 n,使压力容器的螺栓总成本最低。试建立上述优化设计问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学可上机计算。（答案为 d=25， n=3)。3. 设有一重量 P=10000N 的物体悬挂在两根钢丝绳上，如图 7-18 所示。已知钢丝绳长I1=14.1m, 12=11.5m,许用应力c =100Mpa,弹性模量 E=2X 105MPa 为保证此装置正常工 作，除钢丝绳的工作应力不应大于许用应力外， 还规定悬挂点的铅垂位移不应越过 f4=5mm，现在要求得出钢丝绳的横截而积 A 和 A,使承受该载荷的结构重量为最轻。试建立上述优化问题的数学模型，并选择优化方法，有条件的同学可上机计算。A2=1.15834) 。5d（d 为螺栓直( 答案为 AI=0.81687，15. 如图所示的二级斜齿圆柱齿轮减速器，高速轴输入功率N=6.2kW,高速轴转速ni=1450r/min，总传动比 i =31.5，齿轮的齿宽系数书=0.4 ;大齿轮材料为45 钢正火HB