高中数学 幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)

1、高中数学 幂函数、指数函数与对数函数(经典练习题)  高中数学精英讲解-幂函数、指数函数、对数函数  【第一局部】知识复习     【第二局部】典例讲解  考点一：幂函数  例1、比拟大小     例2、幂函数，(mN)，且在(0，)上是减函数，又，那么m=  A0 B1 C2 D3  解析：函数在(0，)上是减函数，那么有  又，故为偶函数，故m为1 ，  

2、;例3、幂函数为偶函数，且在区间上是减函数  (1)求函数的解析式； (2)讨论的奇偶性 幂函数在区间  又上是减函数，是偶数，解得 ， (2)，  当且时，是非奇非偶函数；当且时，是奇函数； 当 且时，是偶函数；当且时，奇又是偶函数  例4、   下面六个幂函数的图象如下图，试建立函数与图象之间的对应关系  (1)     变式训练： (A)，(2)(F)，(3)(E)，(4)(C)，(5)(D)，(6)(B).  

3、;1、以下函数是幂函数的是   Ay=2x By=2x1 Cy=(x1)2 Dy=  2、以下说法正确的选项是   Ay=x4是幂函数，也是偶函数 By=x3是幂函数，也是减函数  是增函数，也是偶函数 Dy=x0不是偶函数 C  3、以下函数中，定义域为R的是   Ay= By= Cy= Dy=x1   4、函数的图象是   ABCD  5、以下函数中，不是偶函数的是   Ay=3x2 By=3

4、x2 C  6、假设f(x)在5，5上是奇函数，且f(3)f(1)，那么 Dy=x2x1  Af(1)f(3) Bf(0)f(1) Cf(1)f(1) Df(3)f(5)  7、假设   y=f(x) 是奇函数，那么以下坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是   A(a，f(a) B(a，f(a) C(a，f(a) D(a，f(a )  8、，那么以下正确的选项是   A奇函数，在R上为增函数 B偶函数，在R上为增函数  C奇函数，在

5、R上为减函数 D偶函数，在R上为减函数  9、假设函数f(x)=x2ax是偶函数，那么实数a=   A2 B1 C0 D1  10、f(x)为奇函数，定义域为，又f(x)在区间上为增函数，且f(1)=0，那么满足f(x)>0的的取值范围是   A B(0，1) C D  11、假设幂函数的图象过点，那么_  12、函数的定义域是_  13、假设，那么实数a的取值范围是_  14、DACAD ABACD 是偶函数，且在上是减函数，那

6、么整数a的值是_  9、  ax，所以有a=0 ，函数为偶函数，那么有f(x)=f(x)，即xax=x22  10、奇函数在对称区间上有相同的单调性，那么有函数f(x)在上单调递增，那么当x<1时，f(x)<0，当1<x<0时，f(x)>0，又f(1)=f(1)=0，故当0<x<1时，f(x)<0，当x>1时，f(x)>0那么满足f(x)>0的  11、 解析：点代入得，所以  12、解：  13、 解析： &

7、#160; ，解得  14、解：那么有，又为偶函数，代入验证可得整数a的值是5     考点二：指数函数  例1、假设函数y=axm1(a>0)的图像在第一、三、四象限内，那么   A.a>1 B.a>1且m<0 C.0<a<1且m>0 D.0<a<1  例2、假设函数y=4x3·2x3的值域为1,7，试确定x的取值范围  例3、假设关于x的方程有负实数解，求实数a的取值范围

8、0; 例4、函数  (1)证明函数f(x)在其定义域内是增函数； (2)求函数f(x)的值域  例5、如果函数a>0，且a1在1，1上的最大值是14，求a的值 例1、解析：y=ax的图像在第一、二象限内，欲使其图像在第一、三、四象限内，必须将y=a向下移动而当0<a<1时，图像向下移动，只能经过第一、二、四象限或第二、  三、四象限只有当a>1时，图像向下移动才可能经过第一、三、四象限，故a>1又图像向下移动不超过一个单位时，图像经过第一、二、三象限，向下移动一个单位时，x  

9、;图像恰好经过原点和第一、三象限欲使图像经过第一、三、四象限，那么必须向下平移超过一个单位，故m1<1，m<0应选B  答案：B  例2、分析：在函数y=4x3·2x3中，令t=2x，那么y=t23t3是t的二次函数，由y1,7可以求得对应的t的范围，但t只能取正的局部. 根据指数函数的单调性我们可以求出x的取值范围  解答：令t=2x,那么y=t23t3，依题意有：     x0或1x2，即x的范围是(，01,2  小结：当遇到y=f(ax)类的函数时

10、，用换元的思想将问题转化为较简单的函数来处理，再结合指数函数的性质得到原问题的解  例3、分析：求参数的取值范围题，关键在于由题设条件得出关于参数的不等式 解答：因为方程有负实数根，即x0，  所以，  解此不等式，所求a的取值范围是  例4、分析：对于(1)，利用函数的单调性的定义去证明；对于(2)，可用反解法求得函数的值域  解答：(1)，设x1x2，那么        因为x1x2，所以2x12x2，所以  0

11、, ,所以又110,所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，故函数f(x)在其定义域(，)上是增函数  (2)设，那么，因为102x0，所以，解得1y1，所以函数f(x)的值域为(1，1)  例5、分析：考虑换元法，通过换元将函数化成简单形式来求值域  解：设t=ax>0，那么y=t22t1，对称轴方程为t=1  假设a>1，x1，1，t=ax，当t=a时，ymax=a22a1=14 解得a=3或a=5(舍去)  假设0<a<1，x1，1，t=ax 

12、 当时， 解得舍去  所求的a值为3或  变式训练：  1、函数在R上是减函数，那么的取值范围是   A B C D  2、函数是   A奇函数 B偶函数 C既奇又偶函数 D非奇非偶函数  3、函数的值域是   A B C D  4、,那么函数的图像必定不经过   A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限  5、函数的定义域为   A B C

13、 D  6、函数，满足f(x)>1的x的取值范围是   A B C D  7、函数的单调递增区间是   A B C D  8、，那么以下正确的选项是   A奇函数，在R上为增函数 B偶函数，在R上为增函数  C奇函数，在R上为减函数 D偶函数，在R上为减函数  9、函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是   A B C D  10、以下说法中，正确的选项是   任取x

14、R都有； 当a>1时，任取xR都有； 是增函数； 的最小值为1； 在同一坐标系中，的图象对称于y轴  A B C D     11、假设直线y=2a与函数y=|ax1|(a0且a1)的图象有两个公共点，那么a的取值范围_.  12、函数的定义域是_  13、不管a取怎样的大于零且不等于1的实数，函数y=ax21的图象恒过定点_  14、函数y=的递增区间是_.  15、9x10·3x90，求函数y=()x14()x2的最大值和最小值

15、0; 16、假设关于x的方程25|x1|4·5|x1|m=0有实根，求m的取值范围  17、设a是实数，  (1)试证明对于a取任意实数，f(x)为增函数；  (2)试确定a的值，使f(x)满足条件f(x)f(x)恒成立  18、f(x)a>0且  1求f(x)的定义域、值域2讨论f(x)的奇偶性3讨论f(x)的单调性 答案及提示：1-10 DADAD DDACB  1、可得0<a21<1，解得.  2、函数定义域为R

16、，且，故函数为奇函数.  3、可得2x>0，那么有  4、通过图像即可判断. ，解得y>0或y<1.  5、.  6、由，由，综合得x>1或x<1.  7、即为函数的单调减区间，由，可得， 又，那么函数在上为减函数，故所求区间为.  8、函数定义域为R，且，故函数为奇函数，  又函数. ，函数在R上都为增函数，故函数f(x)在R上为增  9、可得.  10、中当x=0时，两式相等，式也一

17、样，式当x增大，y减小，故为减函数 11、0a 提示：数形结合.由图象可知02a1，0a.  12、 提示：由得23x2，所以3x1，  13、(2,2) 提示：当x=2时，y=a01=2  14、(，1  提示：y=()x在(，)上是减函数，而函数y=x22x2=(x1)21的递减区间是(，1，原函数的递增区间是(，1  15、解：由9x10·3x90得(3x1)(3x9)0，解得13x9.  0x2，令()x=t，那么t1，y=4t24t2=4(t)21.

18、60; 当t=即x=1时，ymin=1；当t=1即x=0时，ymax=2.  16、解法一：设y=5|x1|，那么0y1，问题转化为方程y24ym=0在(0，1内有实根.设f(y)=y24ym，其对称轴y=2，f(0)0且f(1)0，得3m0. 解法二：m=y24y，其中y=5|x1|(0，1，m=(y2)243，0)  17、(1)设，     即f(x1)f(x2)，所以对于a取任意实数，  f(x)在(，)上为增函数  (2)由f(x)=f(x)得 

19、 18、解：1定义域为R ，解得a=1，即当a=1时，f(x)=f(x)            值域为1，1  2  f(x)为奇函数 ，  3设，那么 当a>1时，由，得，     ，  当a>1时，f(x)在R上为增函数  同理可判断当0<a<1时，f(x)在R上为减函数     

20、考点三：对数函数  例1、求函数的定义域和值域，并确定函数的单调区间 例2、函数f(x)=lg(ax22x1)aR.  1假设函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；  2假设函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.  例3、  例4、f(x)=loga(ax1)a0，a1.  1求f(x)的定义域；  2讨论f(x)的单调性； 的最大值和最小值以及相应的x值.  3求函数y=f(2x)与y=f1(x)的图象交点的横坐标. &

21、#160; 例1 解：由x22x30 ，得 x22x30，1x3， 定义域为 (1，3)； 又令 g(x)=x22x3=(x1)24，当 x(1，3) 时， 0g(x)4. f(x)=2 ，即函数 f(x) 的值域为2，；   g(x)=(x1)24 的对称轴为 x=1.  当1x1 时， g(x) 为增函数，  当 1x3 时， g(x)为减函数， f(x)为增函数 为减函数.  即 f(x) 在1，1 上为减函数；在 1，3 上为增函数  例2、分析：令g(x)=ax2x1，由f(

22、x)的定义域为R，故g(x)0对任意xR均成立，问题转化为g(x)0恒成立，求a的取值范围问题；假设f(x)的值域为R，那么g(x)的值域为B必满足B0，通过对a的讨论即可  22解答：1令g(x)=ax2x1，因f(x)的定义域为R， g(x)0恒成立  函数f(x)的定义域为R时，有a1.  0，. 2因f(x)的值域为R，设g(x)=ax22x1的值域为B，那么B  假设a0，那么B=，10，；  假设a=0，那么B=R，满足B0，.  假设a0，那么=44a0， a1

23、.  综上所述，当f(x)的值域为R时，有0a1.  例3、分析：题中条件给出了后面函数的自变量的取值范围，而根据对数的运算性质，   可将函数  数在闭区间上的最值问题来求解. 化成关于log2x的二次函数，再根据二次函  解答：      当t=3时，y有最大值2，此时，由log2x=3，得x=8.  当x=2时，y有最小值.  当x=8时，y有最大值2.  例4、 分析：题设中既含有指数型的

24、函数，也含有对数型的函数，在讨论定义域，讨论单调性时应注意对底数a进行讨论，而3中等价于求方程f(2x)=f1(x)的解 解答：1ax10得ax1.  当a1时，函数f(x)的定义域为0，  当0a1时，函数f(x)的定义域为，0.  2令g(x)=a1，那么当a1时，g(x)=a1在0，上是增函数. 即对0x1x2，有0g(x1)g(x2)，  而y=logax在0，上是增函数，   logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2)   f(x)= loga(

25、ax1)在0，上是增函数；  当0a1时，g(x)=ax1在(,0)上是减函数.  即对x1x20，有g(x1)g(x2)0  而y=logax在0，上是减函数，   logag(x1) logag(x2)，即f(x1)f(x2)   f(x)=loga(a1)在，0上是增函数.  综上所述，f(x)在定义域上是增函数  3 f(2x)= loga(a2x1)，令y=f(x)= loga(ax1)，  那么ax1=ay， ax=ay1，

26、 x= loga (ay1)(yR) xxx   f(x)= loga (a1)xR  由f(2x)=f1(x)，得loga(a2x1)= loga(ax1)   a2x1= ax1，即(ax)2ax2=0.   a=2或a=1舍   x=loga2.  即y=f(2x)与y= f1(x)的图象交点的横坐标为x=loga2 xx1x  变式训练：  一、选择题  1、当a>1时，在同一坐标系中，函数y=ax与y

27、=logax的图象是   A BC D  2、将y=2x的图象 ，再作关于直线y=x对称的图象，可得函数y=log2(x1)和图象  A先向左平行移动1个单位 B先向右平行移动1个单位  C先向上平行移动1个单位 D先向下平行移动1个单位  3、函数的定义域是   A1， B2， C，2 D1，2  4、函数y=lg(x1)3的反函数f1(x)=   A10x31 B10x31 C10x31 D10x31  5、函数

28、的递增区间是   A，1 B2， C， D，  6、f(x)=|logax|，其中0<a<1，那么以下各式中正确的选项是   A B  C D  7、是   A奇函数而非偶函数 B偶函数而非奇函数  C既是奇函数又是偶函数 D既非奇函数也非偶函数  8、0<a<1,b>1，且ab>1，那么以下不等式中正确的选项是   A B  C D  9、

29、函数f(x)的图象如下图，那么y=log0.2f(x)的图象示意图为      A BC D  10、关于x的方程a0，a1，那么   A仅当a1时有唯一解 B仅当0a1时有唯一解  C必有唯一解 D必无解  二、填空题  11、函数的单调递增区间是_.  12、函数  _. 在2x4范围内的最大值和最小值分别是  13、假设关于x的方程至少有一个实数根，那么a的取值范围是_. 

30、0;14、  围. a0，b0，求使f(x)0的x的取值范  15、设函数f(x)=x2xb，log2f(a)=2，且f(log2a)=b(a>0且a1)，  (1)求a，b的值；  (2)试在f(log2x)>f(1)且log2f(x)<f(1)的条件下，求x的取值范围  16、函数f(x)=loga(x3a)a0且a1，当点Px，y是函数y=f(x)图象上的点时，点Qx2a，y是y=g(x)图象上的点.  1写出y=g(x)的解析式； 

31、0;2假设当xa2，a3时，恒有|f(x)g(x)|1，试求a的取值范围.  答案及提示：1-10 DDDDA BBBCC  1、当a>1时，y=logax是单调递增函数，  D正确. 应选D. 是单调递减函数，对照图象可知  2、解法1：与函数y=log2(x1)的图象关于直线y=x对称的曲线是反函数y=2x1的图  象，为了得到它，只需将y=2x的图象向下平移1个单位.  解法2：在同一坐标系内分别作出y=2x与y=log2(x1)的图象，直接观察，即可得D.  3、由0，得 0<x11， 1<x2.  5、应注意定义域为，12，答案选A.  6、不妨取，可得选项B正确  7、由f(x)=f(x)知f(x)为偶函数，答案为B.  8、由ab>1，知，故且，故答案选B.  10、当a1时，01，当0a1时，1，  作出y=ax与y=的图象知，两图象必有一个交点.  11、答案：，6  提示： x24