(完整版)排列组合问题常用方法(二十种)

1、解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例 1、由 0，1,2,3, 4,5 可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。 末位和首位有特殊要求。 先排末位， 从 1,3,5 三个数中任选一个共有 C31 种组合；然后排首位，从2,4 和剩余的两个奇数中任选一个共有C41 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有A43 种排列。由分步计数原理得 C31C41 A43288 。变式 1、 7 种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的

2、葵花在不受限制的四个花盒中共有A42 种排列，再种其它葵花有A55 种排列。由分步计数原理得 A42 A551440 。二、相邻问题捆绑法例 2 、 7 人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复 合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理得A55 A22 A22480。变式 2 、 某人射击 8 枪，命中 4 枪， 4 枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为。分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有A52种排

3、列。三、相离问题插空法例 3 、一个晚会节目有 4 个舞蹈， 2 个相声， 3 个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。分两步。第一步排2 个相声和 3 个独唱共有 A55 种排列，第二步将4 个舞蹈插入第一步排好后形成的6 个空位中（包含首尾两个空位）共有A64 种排列，由分步计数原理得A55 A6443200。某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节变式 3、目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为。分析：将 2 个新节目插入原定5个节目排好后形成的6 个空位中（包含首尾两个空位） 共有 A62 种排

4、列，由分步计数原理得 A6230 。四、定序问题除序（去重复） 、空位、插入法例 4 、 7 人排队，其中甲、乙、丙3 人顺序一定，共有多少种不同的排法？分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。共有不同排法种数为：A77840 。A33（空位法）设想有7 把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A74 种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有 1种坐法。总共有A4840 种排法。7思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有C73

5、种选法；余下四个空座位让其余四人就坐，共有 A44种坐法。总共有C73 A44840 种排法。变式 4 、 10 人身高各不相等，排成前后排，每排5 人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？分析： 10 人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有C105252 种排法。解排列组合问题常用方法（共8页）1五、平均分组问题倍除法（去重复法）例 5 、 6 本不同的书平均分成 3 堆，每堆 2 本，有多少种不同的分法？分析：分三步取书有C62 C42C22 种分法，但存在重复计数。记6 本书为ABCDEF ，若第一步取AB ，

6、第二步取 CD ，第三步取EFAB，CD，EF222，C6 C4 C2中还有EF 、，该分法记为，则在AB，CD，EF、 AB，CD， EF 、 AB， CD， EF、 AB，CD，EF共 A33种分法，而这些分法仅是AB， CD， EF一种分法。总共应有C62C42C22 种分法。平均分成的组，不管它们的顺序如何，都A33是一种情况，分组后一定要除以Ann （ n 为均分的组数） ，避免重复计数。变式 5、 将 13 个球队分成3 组，一组 5 个队，其它两组 4 个队，有多少种不同的分法？分析：分三步。第一步取 5 个队为一组， 有 C135种分法；余下 8 个队平均分成两组， 每组 4

7、个队，有 C84C44种分法，但存在重复计数。记8 个队为 ABCDEFGH ，若第二步取ABCD ，第三步取 EFGH ，该分法记为 ABCD，EFGH ，则在 C84 C44 中还有EFGH，ABCD共 A22 种分法，而这A22 种分法是同一种分法。总共应有 C135C84C44种分法。A22变式 5、10 名学生分成 3 组，其中一组 4 人，另两组 3 人，正、副班长不能分在同一组，有多少种不同的分组方法？分析：总的分组方法：分三步。第一步取4 人为一组，有C104种分法；余下6 个人平均分成两组，每组 3 个人，有 C63C33 种分法，但存在重复计数。 记 6 个人为 ABCDE

8、F ，若第二步取ABC ，第三步取 DEF ，该分法记为ABC，DEF ，则在 C63C33 中还有DEF ，ABC 共 A22 种分法，而这A22 种分法是同一种分法。总共应有4 C63C332100 种分法。C10A22正、副班长同分在 4人一组：分三步。第一步在8人中取 2 人，加上正、副班长共4人为一组，有 C82 种分法；余下6 个人平均分成两组，每组3 个人，有 C63C33 种分法，但存在重复计数。记6 个人为 ABCDEF ，若第二步取ABC ，第三步取DEF ，该分法记为ABC，DEF ，则在 C63C33中还有DEF，ABC 共 A22 种分法，而这A22 种分法是同一种分

9、法。总共应有C82C63C33280种分法。A22正、副班长同分在 3人一组：分三步。第一步在8 人中取 4 人，有 C84种分法；第二步在余下的 4人中取3 人，有 C43种分法；第三步余下1人加上正、副班长形成一组，只有一种分法。总共应有C84C43280 种分法。减减得：总共有C104 C63C33C82 C63C33C84C4321002802801540种分法。A22A22变式 5、某校高二年级共有6 个班级，现从外地转入 4 名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排 2 名，则不同的安排种数为。分析：分三步。前两步将转入的4 名学生平均分成两组，每组2 名学生，有 C42C22种

10、分法，但存在重复计数。记 4 名学生为 ABCD ，若第一步取 AB ，第二步取 CD ，该分法记为AB，CD ，则在 C42 C22 中还有 CD， AB 共 A22 种分法，而这 A22 种分法是同一种分法。 第三步将分成的两组分配到6 个班级，有 A62种分法。总共应有C42C22A6290 种分法。A22六、元素相同问题隔板法例 6 、有 10 个运动员名额，分给 7 个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解排列组合问题常用方法（共8页）2分析：隔板法也就是档板法。分两步。第一步：每班分配 1个名额，只有 1种分法；第二步：将剩下的 3 个名额分配给 7 个班。取 7 1 6 块相同隔

11、板，连同 3 个相同名额排成一排，共 9个位置。由隔板法知，在 9 个位置中任取 6 个位置排上隔板，有 C96 种排法。每一种插板方法对应一种分法，由分步计数原理知，共有 C96 84 种分法。变式 6 、 10 个相同的球装入5 个盒中，每盒至少一球，有多少中装法？分析：分两步。第一步：每盒先装入1个球，只有 1种装法；第二步：将剩下的5 个球装入 5 个盒中。取 5 14 块相同隔板，连同5 个相同的球排成一排，共9 个位置。由隔板法知，在9 个位置中任取4 个位置排上隔板， 有 C94 种排法。 每一种插板方法对应一种装法，由分步计数原理知，共有 C94126 种装法。变式 6 、 x

12、yzw 100 ，求这个方程的自然数解的组数。分析：取 413块相同隔板，连同 100 个相同的 1排成一排，共 103 个位置。由隔板法知，在103 个位置中任取3 个位置排上隔板，有C1033 种排法。每一种插板方法对应一组数，共有C1033176851组数。七、正难问题则反总体淘汰法（若直接法难，则用间接法）例 7 、从 01，2，3，4，5，6，7，8，9十个数字中取出三个，使其和为不小于10 的偶数，不同的取法有多少种？分析：直接求不小于 10 的偶数很困难，可用总体淘汰法。十个数字中有5 个偶数 5 个奇数，所取的三个数字含有3个偶数的取法有C3，只含有 1个偶数的取法有C1C2，

13、和为偶数的取法共有C1C2C3。淘555555汰和小于10的偶数共 9种 024、0 26 、 013、0 15 、 017 、 019 、2 13 、 215 、 413 ，符合条件的取法共有C51C52C539 。变式 7 、 一个班有43名同学，从中任抽 5 人，正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有多少种?分析：未抽到正、副班长、团支部书记的抽法有C405种；正、副班长、团支部书记至少抽到一人的抽法有 C435C405 种。八、重排问题求幂法例 8 、把 6 名实习生分配到 7 个车间实习，共有多少种不同的分法？分析：完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7 种分法，把第二名

14、实习生分配到车间也有7 种分法，依此类推，由分步计数原理共有76 种不同的分法。变式 8 、某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为。分析：完成此事共分两步：把第一个新节目插入原定5 个节目排后形成的六个空中，有6 种插法；把第二个新节目插入前面6 个节目排后形成的七个空中，有7 种插法。由分步计数原理共有6742种不同的插法。变式 8 、 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客，他们到各自的一层下电梯，下电梯的下法有多少种？分析：完成此事共分八步：第一名乘客下电梯有7 种下法，第二名乘客下电梯也有7 种下法，依

15、此类推，由分步计数原理共有78 种不同的下法。九、环（圆）排问题直排法环形排列问题： 如果在圆周上 m 个不同的位置编上不同的号码，那么从 n 个不同的元素的中选取m个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从 n 个不同的元素的中选取m个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题。环形排列数：一个 m 个元素的环形排列，相当于一个有m 个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个m 个元素的环形排列对应着m 个直线排列。设从 n 个元素中取出m 个元素组成

16、的环形排列数为N 个，则对应的直线排列数为mN 个。又因为从 n 个元素中取出 m 个元素排成一排的排列数为mm1mAn 个，所以 mN An ，即 NmAn 。环形排列数公式：解排列组合问题常用方法（共8页）3从 n 个元素中取出 m 个元素组成的环形排列数为N1Anm 。1 Annn!m n 个元素的环形排列数为 Nn1 ! 。nn例 9 、 8 人围桌而坐，共有多少种坐法？分析：围桌而坐与坐成一排的不同点在于坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线（如图所示） ，其余 7 人共有 8 1 ! 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040种不同的坐法。CDBEAABCDEF

17、GHAFHG变式 9 、 6 颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈？分析：可穿成61 !5!5432 1120种不同的钻石圈。十、多排问题单排法例 10 、 8 人排成前后两排，每排 4 人，其中甲、乙在前排，丙在后排，共有多少种排法？分析： 8人排前后两排，相当于8 人坐 8 把椅子，可以把椅子排成一排。先排前4 个位置上的 2 个特殊元素甲、乙有 A42 种排法；再排后4 个位置上的 2 个特殊元素丙有A41 种；其余的5 人在5个位置上任意排列有 A55 种。共有 A42 A41 A 555760 种不同的排法。排好后，按前4 人为前排，后4 人为后排分成两排即可。变式 10 、有两排座位

18、，前排11 个座位，后排 12 个座位。现安排2 人就坐，规定前排中间的3 个座位不能坐，并且这 2 人不左右相邻，那么不同坐法的种数为。分析：前后两排共有 23 个座位。前排中间第 5，6，7 号 3 个座位甲、乙二人不能坐。甲、乙二人不能左右相邻。前排第1，4，811， 号和后排第 112， 号 6 个座位，甲、乙中任一人就坐，有C61 种坐法，与之相邻座位只能排除一个，另一人有C2313 1 1 C181 种坐法，共有 C61C181种坐法；而其它23 3 6 14个座位，甲、乙中任一人就坐， 有 C141 种坐法，与之相邻座位要排除两个， 另一人有 C1321C1 种坐法，共有 C1C

19、123171417种坐法。总共有 C61C181C141C171108 238 346 种不同坐法。十一、排列组合混合问题先选后排法例 11、 有 5 个不同的小球，装入 4 个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少种不同的装法？分析：第一步从 5 个球中选出2 个组成复合元素，有 C52 种方法；第二部把4 个元素（包含一个复合元素）装入 4 个不同的盒内，有A44 种方法。由分步计数原理得C52 A44240 。变式 11 、一个班有 6 名战士，其中正、副班长各1人。现从中选 4 人完成四种不同的任务，每人完成一种任务，且正、副班长有且只有1人参加，则不同的选法有多少种？分析：正、副班长

20、选一人，有C21 种选法。 4 名战士选三人，有 C43 种选法。给选出的4 人分配四种不同任务，有 A44 种分配法。由分步计数原理得C21C43 A44192 。十二、小集团问题先整体后局部法例 12 、用 1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数在1，5之间，这样的五位数有多少个？分析：两个偶数2，4 在 1，5之间是一个不能打破的小集团，3在这个小集团之外。把1，5，2，4 当作一个小集团与排列，有A22 种排法。再排小集团内部。1，5 有 A22 种排法； 2，4 也有 A22 种排法。由分步计数原理得 A22 A22 A228 。变式 12 、 计划展出10 幅

21、不同的画，其中 1幅水彩画，4 幅油画， 5 幅国画，排成一行陈列。要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为。解排列组合问题常用方法（共8页）4分析： 4 幅油画是一个小集团，内部有A44 种排法；5 幅国画也是一个小集团，内部有A55 种排法；两个小集团排列，有 A22种排法；将 1幅水彩画插入两个小集团排列后形成的一个空中，有1种排法。由分步计数原理得 A44 A55 A22 1 5760 。变式 12 、 5 男生和 5 女生站成一排照像，男生相邻且女生也相邻的排法有种。分析： 5男生是一个小集团，内部有A55 种排法； 5 女生也是一个小集团，内部也有A

22、55 种排法；两个小集团排列，有 A22 种排法。由分步计数原理得A55 A55 A2228800。十三、含约束条件问题合理分类与分步法例 13 、在一次演唱会上共10名演员，其中8 人会唱歌， 5 人会跳舞，现要演出一个 2人唱歌 2 人伴舞的节目，有多少种选派方法？分析： 10 名演员中有5人只会唱歌，2 人只会跳舞，3 人为全能演员。 以选上唱歌人员为标准分三类，每一类中再分步：只会唱歌的5 人中没有人选上唱歌人员，有C32C32 种；只会唱歌的5 人中只有 1人选上唱歌人员，有 C51C31C42 种；只会唱歌的5 人中有 2 人选上唱歌人员，有 C52C52 种。由分类计数原理得，共

23、有 C32C32C51C31C42C52C52199 种选派方法。解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步。做到分类标准明确，贯穿解题过程始终；每一类中分步层次清楚，不重不漏。本题还有如下分类标准：以3 个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3 个全能演员是否选上跳舞人员为标准；以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准。变式 13 、 从 4 名男生和 3 名女生中选出 4 人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种。分析：以选上女生为标准分三类，每一类中再分步：选上女生1人，有 C31C43 种；选上女生 2 人，有 C32C42

24、种；选上女生3 人，有 C33C41 种。由分类计数原理得，共有 C1C3C2C2C3C134种选派方343434法。本题还可以选上男生为标准分三类。1221变式13、3成人2小孩乘船游玩，3人，号船最多乘人， 3号船只能乘号船最多乘人，他们任选2 只船或 3只船，但小孩不能单独乘一只船，这3人共有多少种乘船方法？分析：分两大类。第一大类为选2 只船，则只能选1号船和 2 号船。以 1号船乘成人为标准，又可分为两小类：每一小类乘成人1人，有 C31C22 种；每二小类乘成人2 人，有 C32C21 种。第二大类为选3 只船。以 1号船乘成人为标准，又可分为三小类，每一小类均有C21C21C22

25、C21 种。由分类计数原理得，共有C31C22C32C213 C21C21C22C2127 种乘船方法。十四、简单问题实际操作穷举法124例14、设有编号1，2， 3 ，4，5 的五个球和编号， 3 ， 5的五个盒子，现将5个球放入 5个盒子内，要求每个盒子放1个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？分析：从5个球中取出2 个与盒子对号，有C 2 种取法；剩下3 球 3 盒不对号，利用实际操作法。如果5剩下 3，4，5号球， 3，4 ， 5 号盒， 3 号球只能装入4 号或 5号盒，有两种装法；当3 号球装 4 号盒时，则4 ，5 号球，只有1种装法；同理 3号球装

26、5 号盒时， 4 ，5 号球有也只有1种装法。 由分步计数原理有 2C52种。变式 14 、同一寝室 4 人，每人写一张贺年卡集中起来，然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？分析：设甲、乙、丙、丁4 人，甲可拿乙、丙、丁的贺年卡。分三类。第一类：甲拿乙的，则乙可拿甲、丙、丁的，无论乙拿甲（或丙或丁）的，丙、丁的拿法都唯一，有3 种。第二类：甲拿丙的，则乙只能拿甲、丁的。若乙拿甲的，丙、丁的拿法唯一，有1种；若乙拿丁的，则丙拿甲丁拿乙或丙拿乙丁拿甲，有 2 种。小计有 3 种。第三类：与第二类同理，有3 种。由分类计数原理知，共有3339种。十五、数字排序问题查字典法

27、5324105例15、由01，2，3，4，六个数字可以组成多少个没有重复的比大的数？，解排列组合问题常用方法（共8页）5分析：数字排序问题可用查字典法。从高位向低位查，依次求出其符合要求的个数，根据分类计数原理求出其总数。首位（十万位）为5 或 4，各有A55个；首位为 3，万位为 5或 4，各有 A44个；首位为3 ，万位为2，千位为5 ，有 A33 个；首位为3 ，万位为 2 ，千位为4 ，百位为 5 ，有 A22个；首位为 3，万位为 2，千位为 4，百位为 5，十位为 1，有 A11个。共有 2A552A44A33A22A11297个。变式 15 、用 0 ，1， 2 ， 3 ， 4

28、， 5这六个数字组成没有重复的四位偶数，将这些数字从小到大排列起来，第 71个数是。22分析：千位为1，个位为0，有12A4121A4 12，有个；千位为，个个；千位为 ，个位为位为4 ，有 A4212 个；千位为2 ，个位为 0 ，有 A4212 个；千位为 2 ，个位为4 ，有 A4212 个；千位为 3，十位为 0 ，个位为2（或4 ），各有 3个。共 66 个。接下来有3102， 3104， 3120， 3124，3140， L，第 71个数是 3140。十六、复杂问题分解与合成法分解与合成法是解排列组合问题的一种最基本的解题方法。把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决，然后依据问题分

29、解后的结构，用分类计数原理和分步计数原理将问题合成。从而得到问题的答案。每个比较复杂的问题，都要用到这种解题方法。例 16、 30030能被多少个不同的偶数整除？分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030 235 7 11 13 。依题意可知：偶因数必先取 2 ，再从其余5 个因数中任取若干个组成乘积。所有的偶因数为：C51C52C53C54C55。变式 16 、正方体的 8 个顶点可连成多少对异面直线？分析：从 8 个顶点中任取4 个顶点构成四面体共有 C841258 个，每个四面体有3 对异面直线，正方体的 8 个顶点可连成 3 58174对异面直线。十七、复杂问题转化归结法（

30、化归法）例 17 、 25 人排成 5 5 方阵，现从中选 3 人，要求 3 人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？分析：将问题退化成 9 人排成 3 3 方阵，现从中选 3 人，要求 3人不在同一行也不在同一列，有多少种不同的选法？这样每行（列）有且只有1人，从其中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去，从3 3方队中选3 人的方法有 C31C21C11 种。再从 5 5方阵选出3 3方阵便可解决问题。从55 方队中选取 3 行 3 列，有 C53C53选法。所以从55 方阵选不在同一行也不在同一列的3 人有 C53C53C31C21C11选法。变式 17 、某城市

31、的街区由12 个全等的矩形区域组成，B其中实线表示马路，从A 走到 B 的最短路径有多少种？分析：将问题退化成从A 走到 B 的最短路径需要七步，四步向右三步向上，共有C73 （或 C74 ）35 种。十八、复杂分类问题表格法A例 18 、有红、黄、兰色的球各5 只，分别标有A、 B、C、 D、E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备，则共有多少种不同的取法？分析：一些复杂的分类选取题，要满足的条件比较多，无从入手，经常出现重复遗漏的情况，用表格法，则分类明确，能保证题中须满足的条件，达到好的效果。红111223黄123121兰321211取法C51C 41C51C42C51C43C52 C31C52C32C53C21解排列组合问题常用方法（共8页）6十