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文档简介

1、变更主元法在解答与函数、方程、不等式有关的数学题目时，常常把数学式子中的主元与常量换位（即将主元看作常量） ，主元与参数换位，参数与常量换位，产生一种认识上的转化 , 但并不换元 . 借助这种思维方式解题的方法叫做变更主元法 .例 1.若不等式 x 2mx 4 xm 3 对于满足1 m 4 的所有实数 m 恒成立，求实数 x 的取值范围 .【巧解】变更主元法不 等 式 x2mx 4x m 3 ( x 1)m x 24 x 30设 f (m)( x 1)m x 24 x 3 .视参数 m 为自变量，主元 x 为参数，f (m) 关于 m 的一次函数 .1°当 x =1 时， f (m)

2、 恒等于 0，即 f (m) 0 不成立即 x 2mx 4 x m3不成立 .2°当 x 1 时，（ x -1 ） m x 2-4 x+30f (1) 0f (4) 0x 23x 2 0x 1或 x 2x1或 x 2x 21 0x 1或 x 2综合 1°、 2°得： x -1 或 x 2例 2.求函数 yx2x1 的值域x2x1【巧解】变更主元法 易知函数的定义域为 R 将原函数去分母整理，得：( y1)x 2( y1)x( y1)0 视 y 为某常数 .（ 1）当 y 1时， x 0（ 2）当 y 1 时，因 x R，即方程有实根故( y1) 24( y1)20

3、即 3 y 210 y3 0得 1y331综合（ 1）、（2）得y33例 31997 年全国数学高考理科题 若 (zx) 24(x y)( y z) 0 ，求证： x, y, z 成等差数列【巧证】变更主元法将已知式视为 y （ y 为主元、 x、 z 为常量）的二次方程，有：4 y 24( xz) y( xz) 20即 2 y ( x z) 2 02yxzxyyz按定义， x、 y、 z成等差数列例 4. 设 a,b R，求证：直线（ 2a+b）x+( a-b)y+( a-b)=0 总是经过一个定点：【巧证】变更主元法 将原方程变形为：（2xy1)a( xy1)b0（1）视参数 a,b 为主变数a,b R，即 a,b 为任取的两个实数，要（1）式成立，必有2xy10解得 x2xy10y3就是说，不论 a,b 取什么实数， x =-2， y =3，适合上述方程，即系列直线总是经过定点（-2 ，3）巧练 1. 函数 y x23 的值域是.x巧练 2.对满足 log 2p 2的一切实数p ，求使不等式x2px 1 3xp 都成立的 x 的取值范围 .巧练 3. 求证：当动点 P（a,b

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