(完整版)因式分解的常用方法及练习题

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍一、提公因式法 .： ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法 .在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，

2、例如：（ 1）平方差公式： (a+b)(a -b) = a 2-b2(2) 完全平方公式： (a ± b) 2 = a 2± 2ab+b2(3) 立方和公式： a3 +b3=(a+b)(a 2-ab+b2)(4) 立方差公式： a3-b3 =(a -b)(a 2+ab+b2 )（ 5）完全立方公式： (a ±b)3 a3±3a2b3ab2±b3下面再补充两个常用的公式：(6)a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(7)a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2 -ab-bc-ca) ；三、分组分解

3、法 .（一）分组后能直接提公因式例 1、分解因式： am an bm bn分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有 a，后两项都含有 b，因此可以考虑将前两项分为一组， 后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。解：原式 = ( aman)(bmbn)= a(mn)b(mn)每组之间还有公因式！= (m n)(a b)例 2、分解因式： 2ax 10ay 5by bx解法一：第一、二项为一组；解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。第二、三项为一组。解：原式 = (2ax10ay)(5by bx )原式 = (2

4、ax bx)( 10 ay5by)= 2a( x5 y)b( x5 y)= x(2ab)5 y(2ab)= ( x 5y)(2a b)= (2ab)( x5 y)练习：分解因式1、a 2abac bc、2 xy xy1（二）分组后能直接运用公式例 3、分解因式： x 2 y 2 ax ay分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。例 4、分解因式： a 22abb 2c 2解：原式 = (x 2y 2 )(axay)解：原式 = ( a22abb2 )c 2= (x y)( xy) a( x y)= (a b) 2c 2= (x

5、y)( xya)= (ab c)( abc)1练习：分解因式3、 x2x9 y23y4、 x2y 2z22 yz综合练习：（1） x3x2 yxy 2y3（2） ax 2bx 2bxaxab（3） x 26xy9 y 216a28a1（ 4） a 26ab12b9b24a（5） a42a3a 29（6） 4a 2 x4a 2 yb 2 xb 2 y（7） x 22xyxzyzy 2（ 8） a 22ab 22b2ab1（9） y( y2)(m1)( m1)（ 10） ( ac)(ac)b(b2a)四、十字相乘法 .（一）二次项系数为1 的二次三项式直接利用公式x2( pq) xpq( xp)(

6、 xq) 进行分解。2（2）常数项是两个数的乘积；（3）一次项系数是常数项的两因数的和。思考：十字相乘有什么基本规律？例. 已知 0 a 5，且 a 为整数，若 2x23xa 能用十字相乘法分解因式，求符合条件的a .解析：凡是能十字相乘的二次三项式 ax2+bx+c ，都要求b24ac >0 而且是一个完全平方数。于是98a 为完全平方数， a1例 5、分解因式： x 25x6分析：将 6 分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。由于 6=2×3=(-2)× (-3)=1×6=(-1) ×(-6)，从中可以发现只有2×3 的分解适合，即

7、 2+3=5。x 25 x 6解： x25x6= x212( 2 3)x 2 313= (x2)( x 3)1×2+1× 3=5用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。例 6、分解因式： x 27 x6x 27 x6解：原式 = x2(1)( 6) x ( 1)( 6)1-1= (x 1)( x6)1-6（-1）+（-6）= -7练习 5、分解因式 (1)x214 x 24(2) a215a 36(3) x24x 5练习 6、分解因式 (1) x2x 2(2) y 22y 15(3) x 210 x 24（二）二次项系数不

8、为1 的二次三项式 ax2bxc条件：（1） aa1 a2a1c1（2） cc1c2a2c2（3） ba1c2a2 c1b a1c2a2 c1分解结果： ax2bxc = (a1 x c1 )(a2 xc2 )例 7、分解因式： 3x 2 11x 10分析：1-23-5（ -6） +（ -5）= -11解： 3x211x 10 = ( x2)(3x5)练习 7、分解因式：（1） 5x27 x 6（2） 3x 27x 23（ 3） 10x 217 x3（4）6y 211y10（三）二次项系数为1 的齐次多项式例 8、分解因式： a 2 8ab 128b 2分析：将 b 看成常数，把原多项式看成关

9、于a 的二次三项式，利用十字相乘法进行分解。1 8b1 -16b8b+(-16b)= -8b解： a28ab128b2 = a28b( 16b)a8b( 16b)= ( a 8b)( a 16b)练习 8、分解因式 (1) x23xy2 y 2 (2) m26mn8n2 (3) a 2ab6b 2（四）二次项系数不为1 的齐次多项式例 9、 2x27 xy 6 y 2例 10、 x2 y 23xy 21-2y把 xy 看作一个整体 1-12-3y1-2(-3y)+(-4y)= -7y(-1)+(-2)= -3解：原式 = ( x 2 y)(2x3y)解：原式 = ( xy1)( xy2)练习

10、9、分解因式：（1）15x 27xy 4 y 2（2） a 2 x26ax8综合练习 10、（ 1）86731（ ）22xx11xy 15 y212x（3）() 23()10（ ）2x yx y4( a b) 4a 4b 3（5） x 2 y25x2 y6x2（ 6） m24mn4n 23m6n24（7） x 24xy4 y 22 x4 y3（8） 5(ab) 223(a2b2 )10(ab) 2（9） 4x24xy6x3yy 210（10） 12( xy)211(x 2y 2 )2(xy)2五、换元法。例 13、分解因式（ 1） 2005x 2(2005 21) x2005（2） ( x 1

11、)( x2)( x 3)( x 6) x 2解：（1）设 2005= a ，则原式 = ax 2(a 21) xa= (ax1)( xa)= (2005 x1)( x2005)（ 2）型如 abcd e 的多项式，分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。原式 = ( x 27 x 6)( x25x 6) x 2设 x25x6 A ，则 x27 x 6 A 2 x原式 = (A2x) A x 2 = A22Axx2= (A x) 2 = ( x26x 6) 2练习 13、分解因式（ 1）( 22 ) 24( 22 )（ ）22xxyyxy xy2)(4x 8x 3) 902 (x 3x六、添项、拆

12、项、配方法。例 15、分解因式（ 1） x 3 解法 1拆项。原式 = x31 3x 23=(x1)( x2x 1)= (x1)(x 2x 1 3x=( x1)( x 24x4)= (x1)( x2) 23x 24解法 2添项。原式 = x33x24x4x43( x1)( x 1)=x( x23x4)(4 x4)3)= x( x 1)( x4)4(x1)= ( x1)( x 24x4)= (x1)( x2) 2练习 15、分解因式（2）4(x21)2(x 1)4x47x 21x 4x22ax 1 a 2( x 1)（ 3）4）5第二部分：习题大全经典一：一、填空题1. 把一个多项式化成几个整式

13、的 _的形式，叫做把这个多项式分解因式。2 分解因式： m3-4m=.3. 分解因式： x 2-4y 2 = _.4、分解因式：x24x4 =_ _ 。5. 将 xn -y n 分解因式的结果为 (x2+y2)(x+y)(x-y)，则 n 的值为.6、若 xy 5, xy6 ，则 x2 yxy 2=_， 2x22y2=_。二、选择题7、多项式 15m3n25m2 n20m2n3的公因式是 ()A、 5mnB 、 5m2n2C 、 5m2 nD 、 5mn28、下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是()A、 a 3 a 3 a29B、 a2b2a b a ba2 4a 5 a a 4 5m22

14、m 3 m m 23C、Dm、10. 下列多项式能分解因式的是（）(A)x 2-y(B)x2+1(C)x2+y+y2(D)x2-4x+411把（ xy）2（ yx）分解因式为（）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各个分解因式中正确的是（）A 10ab2c 6ac22ac 2ac（5b2 3c）B（ab）2（ ba）2 （ ab）2（ a b 1）C x（ b c a） y（abc） abc（ bca）（xy1）D（a2b）（ 3ab） 5（ 2ba）2（ a2b）（11b 2a）13. 若 k-12xy+9x 2 是一个完全平方式，那么

15、k 应为（）A.2 B.4C.2y2D.4y2三、把下列各式分解因式：14 、 nxny15、 4m29n216、 m mnn nm17、 a3 2a2 b ab218、 x224 16 x219、 9( m n) 216(mn) 2；6五、解答题20、如图，在一块边长a =6.67cm 的正方形纸片中，挖去一个边长 b =3.33cm 的正方形。求纸片剩余部分的面积。21、如图，某环保工程需要一种空心混凝土管道，它的规格是内径d45cm，外径D75cm，长 l 3m 。利用分解因式计算浇制一节这样的管道需要多少立方米的混凝土？(取 3.14 ，结果保留 2 位有效数字 )lD d22、观察下

16、列等式的规律，并根据这种规律写出第(5) 个等式。(1) x21x 1x1(2)x41x21x1x1(3) x81x41x21x1x1(4)x161x81x41x21x 1 x 1(5)_1.分解因式 (1+y)2-2x2(1+y2)+x 4(1-y)22.证明：对于任何数x,y ，下式的值都不会为33x5+3x 4y-5x 3y2+4xy 4+12y57因式分解小结7. 因式分解的一般步骤是：（ 1）通常采用一“提” 、二“公”、三“分”、四“变”的步骤。即首先看有无公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前两个步骤都不能实施，可用分组分解法，分组的目的是使得分组后有公因式可提或可利用公式

17、法继续分解；（ 2）若上述方法都行不通，可以尝试用配方法、换元法、待定系数法、试除法、拆项（添项）等方法；1.通过基本思路达到分解多项式的目的例 1.分解因式分析：这是一个六项式，很显然要先进行分组，此题可把分别看成一组，此时六项式变成二项式，提取公因式后，再进一步分解；也可把，分别看成一组，此时的六项式变成三项式，提取公因式后再进行分解。解一：原式解二：原式 =2. 通过变形达到分解的目的例 1.分解因式解一：将拆成，则有解二：将常数拆成，则有3. 在证明题中的应用例：求证：多项式的值一定是非负数8分析：现阶段我们学习了两个非负数，它们是完全平方数、绝对值。本题要证明这个多项式是非负数，需要

18、变形成完全平方数。证明：设，则4.因式分解中的转化思想例：分解因式：分析：本题若直接用公式法分解，过程很复杂，观察a+b，b+c 与 a+2b+c 的关系，努力寻找一种代换的方法。解：设 a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B说明：在分解因式时，灵活运用公式，对原式进行“代换”是很重要的。中考点拨1、在中，三边 a,b,c满足求证：2、 若 x 为任意整数，求证：的值不大于 100。3、 将9试卷（因式分解）一、填空：（30 分）1、若 x 22(m3)x16 是完全平方式，则 m 的值等于 _。2、 x 2xm(xn)2 则 m =_n =_3、 2x3 y2 与12 x6 y 的公因

19、式是4、若 x myn = ( xy 2 )( xy 2 )(x 2y 4 ) ，则 m=_， n=_。5、在多项式 3y2 ?5 y315 y5 中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其结果是_。6、若 x 22(m3)x16 是完全平方式，则m=_。7、 x 2(_) x2( x2)( x_)8、已知 1xx 2x 2004x 20050, 则 x 2006_ .9、若 16( ab) 2M25 是完全平方式M=_。10、 x26x_( x3) 2 ，x2_9( x3) 211、若 9x2ky 2 是完全平方式，则k=_。 14、若 xy4, x2y26 则 xy_。12、若 x 24x4

20、 的值为 0，则 3x 212x5 的值是 _。13、若 x 2ax15( x1)( x15) 则 a =_。 15、方程 x24x0 ，的解是 _。二、选择题：（10 分）1、多项式a(ax)( xb)ab(ax)(bx) 的公因式是（）A 、 a、B、a(ax)( xb)C、 a( ax)D、a( xa)2、若 mx 2kx9( 2x3) 2 ，则 m，k 的值分别是（）A 、m=2，k=6， B、m=2， k=12， C、m= 4，k= 12、D m=4，k=12、3、下列名式： x2y 2 ,x2y 2 , x2y 2 , ( x) 2(y) 2 , x4y4 中能用平方差公式分解因式的有（）A、1 个， B、2 个， C、3 个， D、4 个、计算 (11 )(11 )(11 )(11 ) 的值是（）422339 210 210A、 1B、 1