《正多边形和圆》同步练习

1、达标训练基础·巩固·达标1正五边形共有 _条对称轴，正六边形共有 _条对称轴 .提示：正 n 边形的对称轴与它的边数相同.答案：562. 中心角是 45°的正多边形的边数是 _.提示：因为正 n 边形的中心角为 360 ，所以 45°= 360nn答案： 8，所以 n=8.3. 若正 n边形的一个外角是一个内角的 23时，此时该正 n边形有 _条对称轴 .提示：因为正 n 边形的外角为 360，一个内角为 n 2 180所以由题意得 360= 2· nnn2 180，解这个方程得 n=5.n3n答案： 54. 圆的半径扩大一倍， 则它的相应的圆

2、内接正 n 边形的边长与半径之比 （）A.B.C.D.提示：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正 n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正 n 边形的边长与半径之比没有变化 . 答案： D5. 正三角形的高A. 321B.4 32C. 4 21D. 6 43提示：如右图，设正三角形的边长为a ，则高 AD=3 a， OA= 3 a，OC= 3 a，236所以 ADOAOC=321.答案：A6. 同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是()A.62B.34C. 63D.43提示：分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A.答案：A7. 周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、

3、S4、S6 之间的大A.S3S4S6B. S6S4 S3C.S6S3S4D.S4S6S3提示：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大.答案：B8. 正六边形的两条平行边之间的距离为 1A.3B.3C.2 3D.36433提示：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为 0.5 ，则边长为 3 .3答案：D9. 已知 O和 O上的一点 A（如图 24-3-2 ）.（ 1）作 O的内接正方形 ABCD和内接正六边形 AEFCGH（ 2）在（1）题的作图中，如果点 E 在 上，求证： DE是 O内接正十二边形的边 .图 24-3-2提示：求作 O的内接正六边形和正方形， 依据定理应将 O的

4、圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂直于弦的直径的性质知把圆四等分 . 要证明 DE是 O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明 DE所对圆心角等于 360°÷ 12=30（ 1作直径 AC作直径 BDAC依次连接 A、B、C、D四点 .四边形 ABCD即为 O的内接正方形 .分别以 A、C为圆心， OA的长为半径作弧，交 O于 E、H、F、G 顺次连接 A、E、F、C、G、H各点 ; 六边形 AEFCGH为 O的内接正六边形 .（2）证明：连接OE、DE. AOD= 360 =90°， AOE= 360 =6046 DOE=A

5、OD-AOE=30°.DE为 O的内接正十二边形的一边.综合·应用·创新10某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数 .提示：由正多边形的内角和与外角公式可求 .解：设此正多边形的边数为n，则各内角为 n 2 180，外角为 360，依题意得 n 2 180- 360 =100°. 解得 n=9.nnnncm的三个圆形纸片两两外切，11如图 24-3-3，在桌面上有半径为 2现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，这个大圆片的半径最小应为多少？图 24-3-3提示：设三个圆的圆心为 O1、O2、O3，连接 O1O2、O2O3、O3

6、O1，可得边长为 4 cm 的正 O1O2O3，设大圆的圆心为 O，则点 O是正 O1O2O3 的中心，求出这个正 O1O2O3 的半径，再加上 O1 的半径即为所求 .解：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连接 O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为 4 cm的正 O1O2O3 ，则正 O1O2O3 的半径为 43 cm ，所以大圆的半径为4 3+2= 4 3 6 (cm).33312 如图 24-3-4 ，两相交圆的公共弦AB，在 O1 中为内接正三角形的一边，在 O2之比 .图 24-3-4提示：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径 R3 与 R6 的平方比即可

7、 .解：设正三角形外接圆 O1 的半径为 R3，正六边形外接圆 O2 的半径为 R6，由题意得 R3= 3 AB，R6=AB， R3R6= 3 3. O1 的面积 O23的面积 =13.回顾·热身·展望13（江苏连云港模拟） 如图 24-3-5 ，ABC是等边三角形， O过点 B、C，且与 BA、CA的延长线分别交于点 D、E. 弦 DFAC， EF的延长线交 BC的延长线于点 G.（ 1）求证： BEF（ 2）若 BA=4，CG=2，求 BF 的长 .图 24-3-5 DFAC， D=BAC=60°, BEF=D=60°.又 BFE=BCA=60

8、76;， BEF是等边三角形 .（ 2） ABC=EBF=60°, FBG=ABE. BFBG =BGBE. 又 BG=BC+CG=AB=CG=6，BE=BF，BABE6 （舍去负值） . BF2=AB·BG=24，可得 BF=214（辽宁大连模拟） 如图 24 -3-6 、 n、 、 M、N分别是 O的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、 、正 n 边形 ABCDE 的边 AB、BC上的点，且 BM=CN，连接 OM、ON.图 24-3-6（ 1）求图 24-3-6 中 MON（ 2）图 24-3-6 中 MON的度数是 _，图 24-3-6 中

9、 MON的度数是 _；（ 3）试探究 MON的度数与正 n 边形边数 n 的关系（直接写出答案） .（ 1）解法一：连接 OB、OC.正 ABC内接于 O， OBM=OCN=30°， BOC=120°.又 BM=CN，OB=OC， OBM OCN. BOM=OCN. MON=BOC=120°.解法二：连接 OA、OB.正 ABC内接于 O， AB=AC， OAM=OBN=30°， AOB=120°.又 BM=CN， AM=BN.又 OA=OB AOM BON. AOM=BON. AON=AOB=120°.（ 2）90° 72

10、（ 3） MON=360 .n15.( 辽宁大连模拟 )将正方形CGEF绕点 C 旋转任意角度后（如图24-3-7 ），其他条件不变 . 探究：线段 MD、MF的关系，并加以证明 .图 24-3-7证法一：延长 DM到 N，使 MN=MD，连接 FD、FN、EN，延长 EN与 DC延长线交于点 H. MA=ME， 1=2，MD=MN AMD EMN. 3=4，AD=NE.又正方形 ABCD、CGEF CF=EF，AD=DC， ADC=90 CFE=ADC=FEG=FCG=90°, DC=NE, 3=4， ADEH. H=ADC=90°, G=90°， 5=6， 7=8, 7 DCF=8 FEN=90 DCF=FEN. FC=FE， DCF NEF. FD=FN， DFC=NFE. CFE=90 DFN=90°. FMMD，MF=MD.证法二：如右图，过点E 作 AD的平行线分别交DM、DC的延长线于 N、H，连接 DF、FN. ADC=H， 3=4. AM=ME， 1=2 AMD EMN. DM=NM，AD=EN.正方