数学分析17.1多元函数微分学之可微性

1、第十七章多元函数微分学1可微性一、可性性与全微分定义1:设函数z=f(x,y而点Po(xo,yo)的某邻域U(Po)上有定义，对于 U(R)中的点P(x,y产()o+ax,yo+4y),若f在点R处的全增量可表示为: Az=f()+Ax,yo+Ay)-f(xo,yo)=AAx+By+o( p),其中 干，Ax? +， 。(9是较p高阶的无穷小量，A,B是仅与点R)有关的常数， 则称函数f在P。可微.并称Azx+Bzy为函数f在点P。的全微分， 记作 dz| p0 =df(xo,yo尸AAx+Bzy.当I Axl，| Ayl充分小时，dz可作为Az的近似值，即f(x,y)2 f(x0,yo)+A

2、(x-x)+B(y-y).有时也表示为: z=Ax+Ry+%4x+2y;其中 jim a= A lim户0.(&,西 I。,。)(&g l(o,o)1例1:考察函数f(x,y尸xy在点(xo,yo)处的可微性.解：在点(x°,yo)处函数的全增量为： z=f(+A X,yo+A y)-f(Xo,yo)=yo x+Xo Ay+AxAy.- X= p-p-0, pQ xy=o( p),f 在(Xo,yo)处的可微,p p p且 df=y0Ax+xbAy.二、偏导数定义2：设函数z=f(x,y), (x,y) D,若两9)6 D且f(x,yo)在x0的某一邻域内有定义，则极

3、限 lim F(X0,y0)= lim f(x0 . x,y0)-f(X0,y0)存在时, 飞一PX-x-p：x这个极限称为函数f在(xo,y0)关于x的偏导数，记作：_ ,、_d f f cfZ.fx(xo,yo)或 zx(x0,y0), (xo,yo),(x°,y°).exex同样定义f在点(xo,y。)关于y的偏导数为：fy(xo,yo)或色(x0,y°). cy若f在区域D上每一点(x,y)都存在对x(或又ty)的偏导数，则f在区域D上对x(或对y)的偏导函数(简称偏导数)，记作：fx(x,y)或曾义二 x(fy(x,y)或 0f(x, y)也简写为 fx

4、,Zx 或二乡( fy,Zy 或=£). cy二 x 二 xcy 二 y注：1、这里符号二,专用于偏导数运算，与一元函数的导数符号 - 二 x :dx相似，又有差别；2、定义中，f在点(刈及)存在关于x(或y)的偏导数，f至少在(x,y)|y=y0,|x-x0|< 虱或(x,y)|x=x0,|y-y01V 0)上必须有定义.二元函数偏导数的几何意义：设P0(x0,y0,Z0)是曲面z=f(x,y)±点，过P0作平面y=y。与曲面的交线为C：其中卜=y°是平面上的一条曲线.z=f (x,y)因此，fx(x0,y°)作为一元函数f(x,y°)

5、在x=x)的导数，就是曲线C在点P°处的切线Tx对于x轴的斜率，即Tx与x轴正向所成倾角的正切tanar同样的，fy(x0,y0)是平面x=x)曲面Z=f(x,y)的交线x = x0 在点P0处的、Z = f (x,y)切线Ty关于y轴的斜率tan d例2:求函数 小)=力+2舄-丫3在点(1,3)关于x和关于y的偏导数.解法 1: fx(l,3)=df(x,3|x4=3x2+12Xx4=15;fy(1,3)=d0=2-3y2h=-25. dy解法 2: . fx(x,y)=3/+4xy,、乂1,3)=15;又 fy(x,y)=-3，+2x2,£(1,3)=-25.例3：求

6、函数z=e(x>o)的偏导数.解：Zx=yxy-1; zy=xylnx.例4：求三元函数u=sin(x+J-eZ)的偏导数.解：Ux=cos(x+y-ez); uy=2ycos(x+y-ez); uz=-ezcos(x+y-ez).三、可微性条件定理17.1:(可微的必要条件)若二元函数f在定义域内一点(%,y0)可微， 则f在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且 z=AAx+BIAy+o() 中 A=fx(x0,y0), B=t(xo,yo).即全微分 df(x°,y0) =fx(xo,yo) Ax+fy(xo,y°) Ay.或 dz=fx(x0,y0)dx+fy(

7、x0,y0)dy. f 在 D 上全微分为 df(x,y)=fx(x,y)dx+fy(x,y)dy.xy2 + 2例5:考察函数f(x,y)=,&2十y2 ' x y k在原点的可微性.0x2 y2 =0解：根据偏导数的定义，fx(0,0) =胪f9x，0)T(0，0) =0；同理fy(0,0)= 0； xxAz-dz=f(A x,A y)-f(0,0)-fx(0,0) A x-fy(0,0)A y= j AxAy.x2y2lim丝*=lim力2不存在,即Az-dz不是p的高阶无穷小量，PT p 3 Ax十可.f在原点不可微.定理17.2:(可微的充分条件)若函数z=f(x,y

8、)的偏导数在点8次)的某邻域上存在，且fx与fy在点(M,y0)连续，则函数f在点的心)可微.证：z=f(%+4x,y0+4y)-f(x0,y0)=f(xo+Ax,yo+Ay)-f(x0,yo+Ay)+f(xo,yo+Ay)-f(xo,yo);即全增量等于两个偏增量的和.对它们分别应用拉格朗日中值定理得： z=fx(x0+ 9iAx,y0+AyQx+fy(M,y0+ Ay)Ay, 0V牝 &<1.(中值公式) fx与 fy在点(洵丫。)连续，.二 fx(x0+ 9i x,y0+Ay)=fx(x0,y0)+ %,fy(x0,y0+ feAy)=fy(x0,y0)+ ft 其中当(

9、x,zy)-(0,0)时，-0, (3-0. - z=f<(x0,y0)Ax+fy(x0,y0)Ay+ aAx+ 3Ay,即 f 在点(x0,y0)可微.注 1:例 2 函数 f(x,y)=x3+2x2y-y3 在点(1,3)可微，且 df=15dx-25dy;例 3 函数 z=/在 D=(x,y)|x>0,- oo<y<+oo上可微，且 dz=yxy-1dx+xylnxdy.注2:偏导数连续并不是函数可微的必要条件，如函数,22、.122cf(x,y尸产y)sinK7' x y k0在原点(0,0)可微，但2 .20x2 + y2 =0fx与fy却在点(0,0

10、)不连续.若z=f(x,y汪点(M,y0)的偏导数fx,fy连续,则 称f在(x0,y0)连续可微.定理17.3:(中值公式)设函数f在点(Xo,yo)的某邻域上存在偏导数，若(x,y)属于该邻域，则存在=xo+ 9i(x-x)和于yo+&(y-yo), 0< 6, &<1,使得 f(x,y)-f(xo,yo)=&( Eyo)(x-x)+fy(xo, (y-yo).注：1、函数可微必连续，但连续不一定存在偏导数，也不一定可微如：函数f(x,y)=Jx2+y2 (圆锥)在原点连续，但在该点不存在偏导数;2、函数在某一点存在对所有自变量的偏导数，不保证在该点连续

11、,xy如：f(x,y)=x2+y2'0x2y2 =0x2y2 =0在原点不连续，但两个偏导数都为0.四、可微性几何意义及应用定义3:设P是曲面S上一点，T为通过点P的一个平面，曲面S上 的动点Q到定点P和到平面T的距离分别为d与h,若当Q在S上以任何方式趋近于P时，恒有h-0,则平面T为曲面S到点P处的切 d平面，P为切点.定理17.4:曲面z=f(x,y施点(为91的9)存在不平行于x轴的切平面T的充要条件是函数f在点(x°,y0)可微.证：充分性若函数f在点(刈块)可微，由定义知， z=z-z)=fx(x0,y0)(x-x3)+fy(x0,y0)(y-y0)+o( p);

12、k«(x - x。)2 + (y- y。)2 .在过 P 的平面 T 上任取点(X,Y,Z)若有 Z-20=fx(x0,y0)(X->0)+fy(x0,y0)(Y-i6);则曲面上任一点Q(x,y,z剂这个平面的距离为：| z-zo -fx(x0,y0)(x -xo) -fy(xo, y()(y - y() |口( p) |h=L ,2,、，2,、= L ,2,、，2,、，,1 fx (xo, yo) fy (xo,yo)1 fx (xo,yo) fy (xo, yo)又 P到 Q 的距离为 d=J(x-xo)2 +(y-y。)2+(z-zo)2 =%: p2 十(z -z。)

13、2 > p.由owh<h=£必,1-o,尸o,根据定义3知,d p p 、?1+f：(xo,yo)+f；(x°,yo)平面T为曲面z=f(x,y在点依及日加也)的切平面.必要性若曲面z=f（x,y在点PWyoxoyo）存在不平行于x轴的切平面, 且Q（x,y,z是曲面上任意一点，则点 Q到这个平面的距离为:h=|z zo A(x X? ?(y yo) | ,令x=x-x),¥=¥*,z=z-z, p=vx2 +Ay2 . 1 A B由切平面定义知，当Q充分接近P时,也-o,.对于充分接近P的Q有 dh = |Az-A)x-BAy | <

14、 1即d d 1 A2 B22、1 A2 B2，| Az-AAx-EIA y|< 2 =-2<Ax2 +Ay2 + Az2 =、%/ p2 十" <1 (的| Az|),又12|-网| x|-|B| Ay| < | Az-AAx-BAy|< 2(| Az|),.1 人人_ 人1-1|Az|<|A| x|+|B| y|+2。又由凶<2(|A| 田+|B| N)+1<2(|A|+|B|)+1知，匹有界，从而 pppp由且=：p2 +42八+区、<1+包<2(|A|+|B|+1)知，d也有界.p p V '< p J

15、 pp于是，当尸o时，有|以"-皿| =陛-d J1+a2+b2 =h d J1+a2+b2 - o, p- o,99i1 '7Pd*'1 + A +B Pd p即z=AAx|+BAy+o( p),即函数 z=f(x,y施点(xo,yo)可微.注：定理17.4说明，若函数f在点(入块)可微，则曲面z=f(x,y施点P(x),yo,f(x0,yo)的切平面方程为:z-z)=fx(x0 ,yo)(x-X3)+fy(xo ,yo)(y-yo), 过切点P与切平面垂直的直线称为曲面在点P的法线.由切面方程知，法线的方向数为：士(fx(xo,y0),fy(X0,yo),-1),

16、即过切点P的法线方程为:x -x0_ y- y(o _z-z0fx(x0,y(o) fx(xo,yo)-1二元函数全微分的几何意义 如图所示：当自变量x,y的增量分别为x,zy时，函数z=f(x,y)的增量Az是竖坐标上的一段NQ,而二元函数z=f(x,y)kB点(xo,yo)的全微分dz=fx(x0,y0) A x+fy(x0,yo) Ay 的值是过点P的切平面PM1MM2上相应的增量NM,于是Az与dz之差MQ的值随着p 0而趋于零, 而且是较p高阶的无穷小量.例6:试求抛物面z=a*+by2在点M(x0,y0,z0)的切平面方程与法线方程 解：: fx(x0,y0)=2ax), fy(x

17、0,y0)=2by0,.在点 M(x0,y0,z0)的切平面方程为: z-z0=2ax0(x-x)+2by0(y-y0), 即 z=2ax)x+2by0y-z0-z=O;在点M(x0,y0,z0)的法线方程为:x-x0 = y-yO 二z-zO 2ax0 2by0-1例7:求1.083.96的近似值.解：设 f(x,y)=xy,令 x0=1, y)=4, x=0.08, y=-0.04,则 1.083.96=f(X0+A x,y0+Ay) f(1,4)+fx(1,4)Ax+fy(1,4)Ay= 1+4 M.08+0 X-0.04)=1.32.例8:应用公式S=1absinC计算某三角形面积，现

18、测得 a=12,50, b=8.30,C=30 若测量a,b的误差为士 0.01, C的误差为士 0.1?,求用 此公式计算三角形面积时的绝对误差限与相对误差限.解：依题意，测量中a,b,C的绝对误差限分别为：| Aa|=0.01,| Ab|=0.01, | C|=0.1?=闲'.'S的绝对误差限分别为:| AS|-|dS|= Aa+Ab+AC< 至由+至加+里211 1 1 &cbcCca1 1 cb1 1 cC1= 1|bsinC| Aa|+ -2 |asinC| Ab|+ 1 |abcosC| 0.13.又S=1 absinC- 25.94,. S的相对误差

19、限为： 四30.5%.2'S 25.94习题1、求下列函数的偏导数：(1)z=/y; (2)z=ycosx (3)z=-= ； (4)x=ln(x2+y2); (5)z=3y； x y(6)z=arctan-; (7)z=xy建n(xy); (8)u=y+- ; (9)u=(xyf; (10)u=xyz. xx y z解：(1)zx=2xy;4=W.(2)zx=-ysinx; z=cosx.，、2；)3； " &)2xzx=r ； zy=x2y2 2y(5)4=yexy; zy=xexy.(6)zx= 一2 x/21 1 + y -x-2； zy=x +yx 1 +1

20、2- i<x,'(7)zx=yesin(xy)+xy2 esin(xy)cos(xy); z=xesin(xy)+x2 yesin(xy)cos(xy).y11z1x(8)ux=-2 - ; uy= " - ; uz= +.xzxyyz(9)ux=yz(xyj-1; uy=xz(xyf1; uz=(xy)zln(xy).(10)ux=yzxy 1; uy=zf1xy Inx; uz=yzxy Inx lny.2、设 f(x,y)=x+(y-1)arcsi,x ,求 fx(x,1).解：vf(x,1)=x, . .fx(x,1)=1.3、设 f(x,y)= ysin012

21、2c;7'x y°,考察f在原点(0,0)的偏导数.解：.她f (0 x,0) -f (0,0) _y2 = 00-0.蚂=0，.fx(0,0)=0;又 帆f(0,0丁(0,0)= 1ym0sin yr 不存在，fy(0,0)不存在.4、证明函数z=&2 +y2在点(0,0)连续,但偏导数不存在.证：: (叫00)寸2.、(.：x)2 (.：y)2 +y2 =0=z(0,0) /.z=x2 +y2 在点(0,0)连续.f(0：x,0) -f (0,0)| x| f (0,0：y) -f (0,0)| ：x|乂 lim - =lim , lim -= lim ,.x0x

22、x0 x4y03yx0 x即两个极限都不存在，两个偏导数都不存在.wein 1v25、考察函数 f(x,y)= xy x2 y解：: lim.x00f(0 - ：x,0)-f(0,0)=lim0-0_x J0 x2y *0在点(0,0)的可微性.2-y 二 0=0, /.fx(0,0)=C；同理 fy(0,0)=0；-=f -fx(0,0) ：x-fy(0,0).：y(x)2 - (：y)2.：x.：yIsin.(；：x)2Gy-_ ( x)2 (, ：y)2-0,尸0,.f在点(0,0)可微.22(x) (7)x2y6、证明函数f(x,y尸x2 y2 =0在点(0,0)连续且偏导数存在,但在

23、此点不可微.证：.2x y22x y“喟-0,(x,y尸 0,2xy即(吗。)收丫)=0=0,0),.、在点(0,0)连续.又lxm0f(0x,0) -f (0,0) _.0-0 ,蚂M=0，曲f (0,0 y) -f (0,0)0一0八=lim =0,x Q xfx(0,0)=0； 1(0,0)=0.但:f -fx(0,0)：x-fy(0,0)：y(x)2 yV9x)2+(Ay)23 .(jx) 2K(x)2 (.：y)23喘，当y=0时,2 .( x) : y(x)2( y)23=0.&一"0小-"0两不存在,.f在点(0,0)不可微.,22、.1227、证明函

24、数f(x,y)"xy)s"2 2，x y在点(0,0)连续且偏0x2 y2 = 0导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在点(0,0)可微.证：: (x2 +y2)sin , 21 2 <x2+y20,(x,y)-0,<x2 +y2即(X肥。°)f(x,y)=0=f(0,0)， f 在点(0,0)连续. (x,y)0,0)当 x2+y2* 0 时，fx(x,y)=2xsin , 21 2 - 2x 2 cos ： 21 2 ，x2 y2x2 y2,x2 y2lim 2xsin-p=1=F=0, 而 lim ： J ° cos j J5不

25、存在, (x,y) (0,0)x2 y2(x,y)(0,0) x2 y2x2 y2.(吗0,0)fx(x,y)不存在,即fx(x,y渔点(0,0)不连续, 同理fx(x,yX点(0,0)不连续.但以 f(0 +&x，f (0,0) =也"后冶出=0,.fx(0,0)=0；同理 fy(0,0)=0.Af -fx(0,0)Ax-fy(0,0)Ay 9x)2+(N)21=sin PJ(Ax)2+(Ay)2J(Ax)2+9y)2W Mx)2 +(Ay)2 -0, p-0,.f 在点(0,0)可微.8、求下列函数在给定点的全微分:(1)z=S+y4-4x2y2在点(0,0), (1,1

26、); (2)z= 在点(1,0),(0,1). ,x2 y2解：(1)vzx=4x3-8xy2, zy=4y3-8x2y 在(0,0)和(1,1)都连续,.z在(0,0)和(1,1)都可微；又 zx(0,0)=0,乃(0,0)=0; zx(1,1)=-4,乃(1,1)=-4;(2).Zx=22 xy2 dz|(0,o)=0； dz|(i,i)=-4(dx+dy).212y 2 3 在(1,0)和(0,1)都连续;.(x y )_ xyZy= <X2 +f = , y 2 3 在(1,0)和(0,1)也都连续；x y ,(x2 y2)3.z在(1,0)和(0,1)都可微;又 Zx(1,0)

27、=0, 2y(1,0)=0; &(0,1)=1,4(0,1)=0; dz|(1,0)=0； dz|(0,1)= dx.9、求下列函数的全微分：(1)z=ysin(x+y) (2)u=x3z+e-z+y.解：(1) zx=ycos(x+y), z=sin(x+y)+ycos(x+yj)E R2上都连续， 二在片上可微；且 dz=ycos(x+y)dx+sin(x+y)+ycos(x+y)dy.(2) ; ux=eyz, Uy=xz3z+1, uz=xyeyz-e-z 在 R3 上都连续,. .口在才上可微；且 dz=dzdx+(xzdz+1)dy+(xydz-e-z)dz.10、求曲面z

28、=arctan；在点(1,1,；)的切平面方程和法线方程.解：:z在(1,1)处可微，切平面存在.又zx(1,1)=-：,zx(1,1)=q , 切平面方程为 1 (x-1)+； (y-1)-(z-j)=0,即 x-y+2z=j;冗法线方程：-1=匕1=，即2(1-x)=2(y-1)z. 11T4- 2211、求曲面3x2+y2-z2=27在点(3,1,1)的切平面与法线方程 解：3*+丫2-22=27两边对 x 微分得：6x-2zzx=0, /. zx=6x- xz3 =9;2z -3x2+y2-z2=27两边对 y 微分得：2y-2zzy=0, /. Zy=|y|Z31 =1;切平面方程为

29、 9(x-3)+(y-1)-(z-1)=0 即 9x+y-z-27=0;法线方程： £3=匕1=二1,即 x-3=9(y-1)=9(1-z). 91-112、在曲面z=xy上求一点，使这点的切平面平行于平面 x+3y+z+9=0, 并写出该切平面方程和法线方程.证：设该点为(%»0,刈丫0), zx(x0,y0)=y0；4的观尸沏；切平面方程为 y0(x-x)+x0(y-y0)-(z-x0y0)=0,即 y0x+x)y-z-x)y0=0;由切平面平行于平面x+3y+z+9=0知，y0=-1;m=-3.该点切平面方程为-x-3y-z-3=0即x+3y+z+3=0.由 x-x0

30、 = y-y° =z-x°y0 得 x +3=y +1 =z-3y° x0-1-1-3-1 .该切平面的法线方程为：3(x+3)=y+1=3(z-3).13、计算近似值：(1)1.002>2.0032 M.0043; (2)sin29?tan46?.解：(1)iS u=xy2z3; x0=1,y0=2,z=3; Ax=0.002, Ay=0.003, z=0.004;贝U u(1,2,3)=108; 4(1,2,3)=108; w(1,2,3)=108; "(1,2,3)=108.由 u(1.002,2.003,3.004)=u(1,2,3)+Lx

31、(1,2,3)Ax+Uy(1,2,3)Ay+Uz(1,2,3)Az, 得 1.002 >2.0032 M.0043 108(1+0.002+0.003+0.004)=108.972.(2)设 z=sinxtany;为=6,y0=；; 乂=-孟，丫=喧；贝巾z( -, - )=1 ;zx( -, - )=tan - cos - =_3 ; uz(-,-尸sin - sec2 - =1; 6 426 44626 464. sin29?tan46?= 1 -苴+ 0.5023.2 2180 18014、设圆台上下底的半径分别为 R=30cm, r=20cm,高h=40cm.若R,r,h分别增加

32、3mm,4mm,2mm,求此圆台体积变化的近似值.解：圆台体积为：V(R,r,h)-h(R2+Rr+r), 3 ' Vr(30,20,40)=- (2 >40 刈0+40 >20)=32003'，3Vr(30,20,40)=(2M0 >20+40切0)=28002c33Vh(30,20,40)=-(302+30X20+202)=190033当 R=0.3A r=0.4,A h=0.2 时, V"3200 7r3X Q.+2800 7r3X (4+1900 7r3x (2=820 4 2576(cm3).此圆台体积约增加了 2576cm3.15、证明：

33、若二元函数f在点P(M,y°)的某邻域U(P)±的偏导函数fx 与fy有界，则f在U(P止连续.证：fx,fy在U(P)W界，设此邻域为U(P;),则存在M>0,使|fx|<M,|f y|<M在U(P;8)内成立.又| f|=|f(x+ Ax,y+Ay)-f(x,y)|=|f x(x+ &Ax,y+Ay)Ax+fy(x,y+ fhy)Ay|<M| Ax |+M| Ay|, /.? e>0, ? min » ,使2(M 1)当 | x |< 可 Ay |< S时,就有 |f(x+ Ax,y+Ay)-f(x,y)|&l

34、t; 工.f在U(P;。上连续.16、设二元函数f在区域D=a,b4c,d上连续.若在intD内有fx4，试问f在D上有何特性？(2)若在intD内有fx=fy女,f又怎样?(3)在(1)的讨论中，关于f在D上的连续性假设可否省略？长方形区域 可否改为任意区域？解：(1)f(x,y)=岫).即函数值与x无关.理由如下：对intD内任意两点(xi,y),(x2,y),由中值定理知：f(x2,y)-f(xi,y)=fx(x+ 9(X2-xi),y)(X2-xi)=O,即 f(x2,y)=f(xi,y), 由(xi,y),(x2,y)的任意性知,f(x,y)=咐).(2)若在intD内有fx=fy4，则f(x,y尸常数，即函