高中数学基本不等式知识点归纳及练习题

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除高中数学基本不等式的巧用 / a+b1 .基本不等式：>/ab< 2(1)基本不等式成立的条件：a>0, b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号.2 .几个重要的不等式(1)a2+b2>2ab(a, bCR)； (2)b+ a>2(a, b 同号)；(3)ab< Jayb !2(a, bC R);a2+b2a+b 2(4)> f(a, b R).3 .算术平均数与几何平均数a b设a>0, b>0,则a, b的算术平均数为一工一，几何平均数为 相，基本不等式可叙述为两个 正数的算术平

2、均数大于或等于它的几何平均数.4 .利用基本不等式求最值问题已知x>0, y>0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当xy时，x+ y有最小值是2心.(简记：积定和最小)2如果和x+y是定值p,那么当且仅当xy时，xy有最大值是勺.(简记：和定积最大)一个技巧运用公式解题时既要室握公式的正用，也要注意公式的逆用工一例如一a2±.b!> 2ab逆用就是a2+b2 a+bbabm37'3尸事底(ab?0)逆川就是aDW 1 六2(a,b*Q等;还要注意一麻一拆项二 22<2/技巧和公式等号成立的条件等.两个变形a2+b2a+b 2(1)一=2/全一2J

3、r>ab(a.b.R,当H仅当a三b时取等一号_)一;一(2)一、/也券一汽.呼2>一朝 岂产7(anO,bn -0-当且仅当一 a-b时取等号).一-122I . I_+一b这面个不等式链用处很.大，注意掌握它们，.一三个注意(1) 一使儿基本不等式求最值，其去一误的真正原因是其荏在一前提:二正、一二定、三相一等，一的忽只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权 请联系网站删除视.要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可.在运用基本不等式时，要特别注意“拆” “拼” “凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” “定” “等”的条件.(3)连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足

4、任何一次的字母取值存在且一致.应用一：求最值例1 ：求下列函数的值域2 11(1) y= 3x +2x2-1(2) y= x+ - x解题技巧：技巧一：凑项一 一， 5例1 ：已知X < ,求函数y 4x _2 + 的取大值。44x -5技巧二：凑系数例1.当。t彳M 4时，求y = x(8 -2x)的最大值。技巧三：分离2_ 一,x ：|i'7x ：'i10例3.求丫=一S_0(x A 1)的值域。x 1O技巧四：换元技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数x2 5例：求函数y = x 5的值域。x2 4练习.求下列函数的最小值，并求取得最

5、小值时，x的值.f (x) = x +的单调性。xx2 3x 111(1) y=,(x >0) (2)y = 2x +,x>3 (3) y = 2sinx+,x=(0,n)xx- 3sin x2.已知0<x<1,求函数y = Jx(1 x)的最大值.;3.0 <x <|,求函数 y =0x(23x)的最大值.条件求最值1.若实数满足a + b = 2 ,则3a + 3b的最小值是、一，八 11变式：右log 4 x +log4 y =2,求一+一的最小值.并求x,y的值 x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出

6、错。一，一 一 一 192：已知x>0,y >0,且一十一=1,求x + y的最小值。x y只供学习与交流资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除变式：（1）若x, y w r+且2x + y = 1,求1 +1的最小值 x y（2）已知a,b, x, y W R + 且a+b=1,求x + y的最小值x y2技巧七、已知x, y为正实数，且x 2 + y =1,求x. + y 2的最大值.1技巧八：已知 a, b为正头数，2b+ab+a= 30,求函数y= 的取小值. ab技巧九、取平方5、已知x, y为正实数，3x+ 2y=10,求函数 W= 4 +2y的最值. 应用二：利用基本

7、不等式证明不等式2221 .已知a,b,c为两两不相等的实数，求证： a +b +c >ab + bc + ca1）正数 a, b, c 满足 a+b+c=1,求证：（1 a）（1 b）（1 - c） >8abc111例 6：已知 a、b、cw R+,且 a + b+c = 1。求证： 一一1 I 1 I 1 l>8 abc应用三：基本不等式与恒成立问题19例：已知x >0, y >0且一 +一=1,求使不等式 x + ym恒成立的实数 m的取值范围。x y应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若 a ab a 1,P = Jg a lg b,Q =3（1g a

8、 + 1g b）, R = lg（a一b）,则 P,Q,R 的大小关系是.22解:3x 2 - "2x7 = 6 ，值域为，6 ,21(1)y=3x +2-2 Nx+oo)只供学习与交流(2)当 x>0 时，y=x + 11 >2A /x 1 =2;当x<0时,1y=x+x一2，值域为（一8, 2 U 2 , +8）解：因4x-5<0,所以首先要“调整”符号所以对4x-2要进行拆、凑项,3-23 = 1尹十7刀十10了十1x+1)的项，再将其分离。(511,x < 一,二 5一4x >0，. y=4x2 += _.54x+44x55-4x一，1 一

9、 ， .当且仅当54x=一，即x=1时，上式等号成立，故当x = 1时，ymax=1。max5 -4x评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。解析：由。fx4知，6- 2工> 口，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。 注意到2x + (8-2x) =8为定值，故只需将y = x(8-2x)凑上一个系数即可。j = 4S-2x) = l2* (2-2初4("十；-2余=8当2工=g2工，即x=2时取等号 当x=2时，y = x(82x)的最大值为8。评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定

10、值，从而可利用基本不等式求最大值。解析一：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有(当工二一1,即工+1>口时，y±2 J(x+1)M 4 +5 = 9 (当且仅当x = 1时取"="号) x 1解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x+ 1,化简原式在分离求最值。(t -1)2 7(t 1)+10 t2 5t 4 , 4 Ly =二 t - 5ttt当 x > 1 ,即 t = M+ 1 > 0 时，y2，tx： +5 = 9 (当 t=2 即 x=1 时取“=”号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开

11、或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最A值。即化为y =mg(x)+B(A>0, B >0) , g( x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。g(x)解：令Jx2+4 =t(t 之2),贝U、：_ +5= Jx2+4+ . 1=t +1(t22).x2 4. x2 4 t一 11,因t >0,t - =1 ,但t =-解得t = ±1不在区间12,),故等号不成立，考虑单调性。 tt15因为y=t+ ：在区间口，+至)单调递增，所以在其子区间2+8 )为单调递增函数，故 y >- o所以，所求函数的值域为J5,joH2分析：“和”到“积”是一个缩

12、小的过程，而且 3a 3b定值，因此考虑利用均值定理求最小值,解：3a和3b都是正数，3a +3b> 2v3a 3b = 2插%=6当3a =3b时等号成立，由a+b = 2及3a =3b得a = b=1即当a = b = 1时，3a+3b的最小值是6.错解：: x >0, y A0 ,且1 +_9 x y故(x + y 1in = 12 。=1 ,x + y = | + |(x +y )>2 /2xy =22x y, xy ,错因：解法中两次连用基本不等式，在x十y22Jxy等号成立条件是x = y ,在二十号>2叵等号成立x y - xy1 9 条件是=即y =9x

13、,取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用基本不等式处理问题时，列出 x y等号成立条件是解题的必要步骤，而且是检验转换是否有误的一种方法。正解:；'x >0,y >0,1+9 =1， x x+y =(x + y y1 +9 K- +9x + 10 >6 + 10=16y 9x当且仅当2 = 一时，上式等号成立，又x y19+ 1 ,可得 x=4, y=12 时, x y(x+y)min=16。分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab<同时还应化简 5+ y 2中y2前面的系数为 1 ,xR 1 + y 222x 2 +y2分析：这是一个二元函数的

14、最值问题，通常有两个途径,1 +23434是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的;二是直接用基本 不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值,考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。法 : a=302bb+1ab=302bb+ 1.2.2 b +30bb+ 1由 a> 0得，0v bv 15令 t = b+1, 1vtv16, ab=.2.2t +34t3116、，16 八=2 (t +-p ) + 34. t +-p >2'abw 18当且仅当t = 4,即b=3, a=6时

15、，等号成立。x ylx y J x y由已知得：30-ab=a+2b / a + 2b>22 ab z. 30 -ab>22ab令 u= Vab-贝Uj+272 u-30W0, -5/2 <u<372yab- w 3近,ab< 18, y>18a ' b _点评：本题考查不等式 Jab (a,b=R5的应用、不等式的解法及运算能力；如何由已知不等2式ab=a+2b+30 (a,be R。出发求得ab的范围，关键是寻找到a + b与ab之间的关系，由此想到不等a b式 Vab (a,b=R 5,这样将已知条件转换为含 ab的不等式，进而解得 ab的范围

16、. 2资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除变式：1.已知a>0, b>0, ab (a+b) = 1,求a+ b的最小值。2 .若直角三角形周长为 1,求它的面积最大值。,，一 a+ba+b解法一：若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，一2,本题很简单其 +而杂 q(4)2+(V2y)2 =V2 .3x+2y =2/5解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和为定值”条件靠拢。W 0, W= 3x+2y+24 圾=10+2 啊 © w 10+(麻)2 (必)2 = 10+(3x+2y) = 20 此窜=25变式：求函数

17、y=r充二1+二27(1 <x<5)的最大值。22解析：注意到2x -1与5 - 2x的和为定值。y2 =(、.2x -1.5 -2x)2 =4 2 . (2x -1)(5 - 2x) < 4 (2x-1) (5 - 2x) =8又 y >0,所以 0 <y <272当且仅当2x 1=5 2x ,即x =|时取等号。故ymax=2j2。评注：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件。总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等"，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用基本不等式。分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用基本不等式可得三个“2”连乘，又1 -1=上一 二2_ 2 bc,可由此变形入手。 a a a a1 / 1 -a b c 2、bc 1 / 2. ac 12 ab解. *a、b、c匚 R , a+b+c = 1。一-1 =-。向理一一1 之 ,1 之。a a a ab b c c上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得1-1 / 4 -WW*=8当且仅当